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n•
= lim =
n →∞
1+ n 2 2 n
1 2
1 x −1 1 x −1
4 解： lim e +
x →1 x →1
= +∞(e
1 x −1
x → 1+ e +∞ → +∞)
lim e = 0(e −
1 x −1
x → 1− e −∞ → 0)
1 1 1 + + 2 2011n 2 求 lim 2011 2011 x →∞ 1 1 1 + + 2 2012 2012 2012n
3 设 f ( x) = e , 求 lim
x
1
1 ln [ f (1) f (2) f (n) ] x →∞ n 2
4. lim e x −1
x →1
x+a 5.若 lim = e ，试求常数 a x →∞ x − a
x x2 + 1
x
，则 f [ f ( x) ] =
3. lim(1 + ) =
x →0
1 x
4.曲线 = y x ln(2 + ) 的渐近线为 5.函数 y =
1 x
1 e
x x−2
的间断点为
−1
2
三、计算题（共 50 分，每小题 5 分） 1.设函数 f ( x) = sin x, f [ ( x) ] = 1 − x ，求 ( x)
n
收敛
B.
∑ (−1) a
n =1
∞
n 收敛
C.
∑a a
n =1
∞
n n +1
D.
∑
an + an +1 2 n =1
∞
二、填空题（共 15 分，每小题 3 分）
−1, x < 0 = y sgn = x = 0, x 0 的值域为 1．函数 1, x > 0

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2.设 f ( x) =
x →1 x →1 1 1 − −∞ x −1 x −1 lim 0( 1 e e x e → 0) = → − 1
左右极限不相等则 lim e x −1 不存在
x →1
x+a x 5 解： lim( ) x →∞ x − a x − a + 2a x = lim( ) x →∞ x−a 2a x = lim(1 + ) x →∞ x−a
lim x
x→∞ x − a 2a x−a 1 2a = lim(1 + ) x →∞ x−a 2a
=e
2a
6 解： y =
/
a 1 + ax a / y// = ( ) 1 + ax
= −
a2 (1 + ax) 2
1 dy (arctan t )′ 1 + t 2 1 + t 7.解 : = = = 1 1+ t2 dx (ln(1 + t ))′ 1+ t
2 4. y ln x + =
{
}
x x2 + 2
1 2
5.x=0，
x=2
三、计算题
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1，解；因为 f ( x) = sin x 则 f (( x)) = sin(( x)) 又 f (( x)) = 1 − x 2 所以 sin (( x)) = 1 − x 2 ）
所以 = ( x) arcsin(1 − x 2 )
山东省 2012 年普通高等教育专升本统一考试 高数试卷
一、 单选题（共 15 分，每小题 3 分）
1,. 函数 y =
x +1 +1 的定义域为 x + x −1
B, −1,
A, [ −1, +∞ )
1 , +∞ 2

1 2 1 1 ∪ , +∞ 2 2
1
左右极限不相等则 lim e x −1 不存在
x →1
5 解： lim(
x →∞
x+a x ) x−a x − a + 2a x = lim( ) x →∞ x−a 2a x = lim(1 + ) x →∞ x−a x 1 x2−aa ) • = lim (1 + x →∞ x−a x−a 2a 2a
1 . 12
3.求
dy y + x 2 − y 2 的通解. = dx x
4.证明:双曲线 xy = 1 上任一点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积均相等.
山东省 2012 年普通高等教育专升本统一考试 高数答案
一、选择题： D A C B D 二、填空题 1. y y = −1, y = 0, y = 1 2. 3. e
0 x + 3y + 2z +1 = 与平面 4 x − 2 y + z − 2 = 0 的关系为 0 2 x − y − 10 z + 3 =
B.直线与平面垂直 C. 直线与平面平行 D.直线与平面斜交
∞
A.直线在平面上 5.若级数
∑a
n =1
∞
n
收敛，下列结论正确的是
n
A． n =
∑a
n =1
1 1 (1 − ) n 2011 2011 2．解；= lim n →∞ 1 1 2012(1 − ) 2011n 2012 = . 2011
提示：等比数列求和公式： sn = 3．解； lim
an (1 − q n ) 1− q
1 ln [ f (1)............. f (n) ] n →∞ n 2 ln f (1) + ln f (2) + ........ln f (n) = lim n →∞ n2 1 + 2 + 3......... + n = lim n →∞ n2 1+ n n• 2 = lim n →∞ n2 1 = 2 1 1 + +∞ x −1 x −1 4 解： lim ( 1 e e x e → +∞) = +∞ → +
2
x y
∂ 2u . ∂x∂y
x 3 ∫∫ e dxdy ,其中,D 为 y = x 与 y = x 所围区域. D
四.应用和证明题(每小题 5 分,共 20 分) 1.求 lim( 1 + 2 + + n − 1 + 2 + + ( n − 2)) .
n →∞
2.在曲线 = y x 2 , ( x > 0) 上求一点,使得曲线在该店处的切线与曲线一起 x 轴所围图面积为
即 y′ = 令
y = u ,即 y =ux ⇒ y′ =u + xu ′ x
代入上式得
u + xu ′ = u + 1− u2
⇒x du =1 − u 2 dx
⇒
1 = dx x 1− u
2
du
∫
1 = ∫ dx x 1− u2
du
⇒ arcsin u = ln x + c
即 arcsin = ln + c
6 解： y =
/
a 1 + ax a / y// = ( ) 1 + ax
= −
a2 (1 + ax) 2
1 dy (arctan t )′ 1 + t 2 1 + t 7.解 : = = = 1 1+ t2 dx (ln(1 + t ))′ 1+ t 1+ t ′ 1 + t ′ 1 + t 2 − (1 + t ) ⋅ 2t 1 1 − 2t − t 2 1 (1 − 2t − t 2 )(1 + t ) d2y )x ( = )t = ( = = ⋅ ⋅ = 1 (1 + t 2 ) 2 (1 + t 2 ) 2 d 2x 1+ t2 1+ t2 (1 + t 2 ) 2 xt′ 1+ t
6.设 ，求 y '' = y ln (1 + ax ) . ( a > 0 ) ） 7.设
x
= x 6n(1 + t ) d2y ,求 2 . dx y = arctan t
8.设 f ′(ln x) = 1 + x ,求 f ( x) .
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9.若 u = e ,求 10.求
所以 = ( x) arcsin(1 − x 2 )
1 1 (1 − ) n 2011 2011 2．解；= lim n →∞ 1 1 2012(1 − ) 2011n 2012 = . 2011
提示：等比数列求和公式： sn = 3．解； lim
an (1 − q n ) 1− q
1 ln [ f (1)............. f (n) ] n →∞ n 2 ln f (1) + ln f (2) + ........ln f (n) = lim n →∞ n2 1 + 2 + 3......... + n = lim n →∞ n2
∂u x 1 e ( x + y) 1 1 1 1 = e (− 2 ) ⋅ + e ⋅ (− 2 ) = − (e ⋅ ) y′ = (e ) y′ ⋅ + e ⋅ ( ) y′ = ∂x∂y y y y y y y y3
2
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