FG ∥BD且FG ＝1 BD 2
E，F，G，H分别是各边中点
H
E
D G
B
F
C
-
26
例题示范
例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分
别是AB，BC，CD，DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
证明： 连结BD
ALeabharlann ∵ EH是△ABD的中位线
∴EH ∥BD且EH = 1 BD
同理，FG
2 ∥BD且FG
-
17
ab
a
b
a'
•
O
如果两条异面直线所成的角为直角， 那么就称这两条异面直线垂直。
例1： （2）求直线BA1和CC1所成角的度数。
D1
C1
A1
B1
45o
D
C
A
B
例1： （3）哪些棱所在直线与直线AA1垂直？
D1 A1
C1 B1
D
C
A
B
二、空间直线的平行关系
1、平行关系的传递性
公理4 平行于同一直线的两直线互相平行
观察：如图2.1.2-5,长方体 ABCDA'B'C'D ' 中, BB'∥ AA'
DD'∥ AA'
那么 B B ' 与 D D ' 平行吗?
D'
C'
A' D
B' C
A
-B
23
D
1
1）直线AD1与B1C所成的夹角
9 0° A 1
2）与棱BB1垂直的棱有：
D
相交：A1B1、 AB、B1C1、BC、
A
a∥b
a∥c
c∥b
想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直
线垂直,是否也有类似的规律?
-
25
例题示范
例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分
别是AB，BC，CD，DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
分析： 欲证EFGH是一个平行四边形
A
只需证EH∥FG且EH＝FG
连结BD,只需证： 1 EH ∥BD且EH ＝ 2 BD
如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O， 过O点分别作 a，b的平行线 a′和 b′， 则这两条线所成
的锐角θ（或直角）， 称为异面直线a，b所成的角。
b a′ ？ OP a
b′
平
a′ θ O
移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。
异面直线a与b垂直也记作a⊥b
（0 ，9 0 ] 异面直线所成角θ的取值范围：
板的左右两侧所在的直线,想一想:它 们相交吗?平行吗?共面吗?
观察上方体的棱所在 直线,回答类似的问题.
思考：我们把具有上述特征的两条 直线取个怎样的名字才好呢？
-
3
螺母
e
a
f
b c
d
南海万泉河立交桥
-
5
请为异面直线选择合适的定义：
A、空间中不相交的两条直线； B、某平面内的一条直线和这平面
外的直线； C、分别在不同平面内的两条直线； D、不在同一平面内的两条直线。 E、不同在任一平面内的两条直线；
DB F
AB与CD AB与GH EF与GH
-
13
探究:
CA
G HE
DB
A
H G(C)
D F(B)
F
E
AB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异 面直线的有几对?相交直线有几对?平行直 线有几对?
-
14
空间中两条直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有且只有三种
共面直线
平行直线 相交直线
异面直线
11
想1.已一知想M,做、一N做分：别是长方体的棱C1D1与CC1 上的点，那么MN与AB所在的直线是异面直 线吗？
D1
M
C1
A1
B1
N
D
C
A
B
-
12
想一想,做一做：
2. 下图是一个正方体的展开图，如果将它
还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这
四条线段所在直线是异面直线的有几对？
CA
三对
G HE
只有一个公共点
没有公共点
在同一平面
没有公共点 不同在任一平面
-
8
空间中两直线的位置关系
m
m
P
l
ll
图
图
1
2
从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平行。空间中 直线之间的这种关系称为异面直线。
-
9
异面直线的画法:
通常用一个或两个平面来衬托,异面直线
不同在任何一个平面的特点
a
b
b
a
b
a
-
10
练习：
１、一条直线与两条异面直线中的一条相交，
那么它与另一条之间的位置关系是（ ）
Ａ、平行
Ｂ、相交
Ｃ、异面
Ｄ、可能平行、可能相交、可能异面
２、两条异面直线指的是（ ）
Ａ、没有公共点的两条直线
Ｂ、分别位于两个不同平面的两条直线
Ｃ、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
Ｄ、不同在任何一个平面- 内的两条直线
=
1
BD
2
∴EH ∥FG且EH =FG
H
E
D G
B
F
C
∴EFGH是一个平行四边形
若a∥b，b∥c, 则a∥c
c
a
a
bc
α
-
21
例1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线 AB与 C1D1 ，AD1与 BC1 是什么位置关系？为什么？
D
A1 1 练习：在上例中，AA1与CC1，AC与A1C1
的位置是什么关系？
D
A
C1 B1
C B
-
22
2. 空间两平行直线 提出问题：在同一平面内，如果两条直线 都与第三条直线平行，那么这两条直线互 相平行。在空间中，是否有类似的规律？
异面：A1D1、AD、D1C1、 DC、
D1
A1
相交垂直
垂直
异面垂直
D
-
A
C
1
B
1
C
B C1
B1
C B 24
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 平行。
公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间 这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c,若
位置关系 公共点个数 是否共面
相交
平行
只有一个 没有
共面 共面
异面
没有
不共面
-
15
定义 经过空间任一点分别作两条直线的平行
线，这两条平行线所成的锐角(或直角)
叫做两条异面直线所成的角或夹角。
b
b'
•
a'
O
•O ＇
a
两条异面直线a和b所成的角的大小，只与
它们的位置有关，而与点 o位置无关。
三、两条异面直线所成的角
2.1.2空间中直线与直线 之间的位置关系
主讲老师：田斌
-
1
复习引入： 1、同一平面内不重合两条直线有几种位置 关系？
(1)、相交：有且仅有一个公共点。 (2)、平行：在同一平面内没有公共点。
2、在同一平面内，同平行于一条直线的两 条直线有什么位置关系？
互相平行
提出问题：空间中的两条直线呢？
-
2
1.空间中两条直线的位置关系 观察：观察教室内的日光灯管所在直线与黑
异面直线的定义: 我们把不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线（skew lines）。
想一想:怎样通过图形来表示异面直线? 为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图 时，通常用一个或两个平面衬托。如下图:
m
m
l
l
-
7
2、空间中两直线的三种位置关系
1、相交
2、平行
3、异面直线
m
m
P
m
l
l
lP