49
50
51
2. 相角裕量 设幅频特性过零分贝时的频率为ωc，(幅值穿越频率)，则定 义相角裕量γ为 γ＝180º +φ(ωc) (5．34) 相角裕量γ指明了如果系统是不稳定系统，那么系统的 开环相频特性还需要改善多少量就成为稳定的了。如果系统 是不稳定的，与上述描述相反。 对于某一控制系统，若相角裕量γ大于零，幅值裕量kg大于1， 则系统稳定，并且γ和kg的值越大，系统稳定程度越好；苦γ 小于零，kg小于1，则系统不稳定。 一阶、二阶系统的γ总是大于零，而kg无穷大。因此， 理论上讲系统不会不稳定。但是，某些一阶和二阶系统的数 学模型是在忽略了一些次要因素后建立的，实际系统常常是 高阶的，其幅值裕度不可能无穷大。因此，开环增益太大， 系统仍可能不稳定。
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
(3)当ω=1时，最左端直线或其延长线的分贝值 等于20lgK。 (4)在交接频率处，曲线斜率的变化取决于典型环 节的种类，如惯性环节，斜率减少 20dB／dec；一阶微分环节，斜率增加20dB／dec， 振荡环节，斜率则减少40dB／dec。 绘制对数相频特性时，首先绘制低频段的相位 角，每经过一个交接频率，相应的相角就改变成90º 或180º 。其中称L(ω)与ω轴相交处的频率ω c为穿越 频率。
59
MATLAB将把系统的频率响应表示成矩阵re ，im和ω ，在屏幕上不产生图形。短阵re和im包 含系统频率响应的实部和虚部，它们都是在矢量 ω 中指定点的频率点上计算得到的。应当指出， 矩阵re和im包含的列数与输出量的数目相同，而 ω 中的每一个元素与re和im中的一行相对应。 命令bode可以计算线性连续定常系统频率响 应的幅值和相角。当不带左端变量时， MATLAB可以在屏幕上产生伯德图。 当包含左端变量时，即 [mag，phase，ω ] ＝bode(num，den，ω )
1
2
3
4
线性控制系统对正弦输人信号的稳态响应称 为频率响应；系统输出稳态分量与输入的复数比 为频率特性，记作G(jω)；输出与输入信号的振幅 比称为系统的幅频特性；记作A(ω)；输出与输入 信号的相位差称为系统的相频特性，记作φ(ω)。 幅频特性、相频特性总称为频率特性。幅频特性 表征系统输出对不同频率正弦输入信号幅度衰减 或放大的特性;相频特性描述系统输出对不同频率 正弦输入信号相位的超前或滞后的特性。而频率 特性反映了系统对正弦输入信号的同频、变幅、 移相特性。
52
γ和kg可以用来作为控制系统的开环频域性能指标。 在分析设计一个控制系统时，系统的性能常用γ与kg 的定量值来描述。 在使用时，γ和kg通常是成对使用的，但有时也 使用一个裕量指标，如用相角裕量γ来分析控制系统 的性能指标。这时对于系统的绝对稳定性的分析没 有什么影响，但是在γ较大，而kg较小的情况下。对 于系统动态性能的影响是很大的。
12
13
5.2.1 比例环节 比例环节传递函数为G(s)＝K，则频率特性 为 G(ω)＝k∠0º (5.10) 根据系统对数频率特性的定义可得对数幅频特性 为 L(ω)＝20lgK (5.11) 对数相频特性为 φ(ω)＝0º (5.12) 比例环节的伯德图如图5.5所示。 从系统的伯德图可以看出，比例环节只有 幅值放大K倍的功能，它能既无超前又无滞后地 复现输入信号。
10
11
通常称图5.3所示的坐标系为半对数坐标，其主要优点为： (1)横轴按频率的对数lgω 标尺刻度，但标出的是频率ω 本身的数值，因此，横轴的刻 度是不均匀的。 (2)横轴压缩了高频段，扩展了低频段。 (3)在oJ轴上，对应于频率每变化一倍，称为一倍频程， 例如ω从1到2，从2到4，从10到20等，其长度均相等。对应 于频率每增大十倍的频率范围，称为十倍频程(dec)，例如ω 从1到10，从2到20，从10到100等，所有十倍频程在ω轴上 的长度均相等。 (4)可以将幅值的乘除运算化为加减运算。 (5)可以采用分段线性的方法绘制近似的对数幅频曲线， 从而使得频率特性的绘制大为简化。 图5.4是RC滤波电路当丁取0.5时的系统伯德图。
60
命令bode将把系统的频率响应转变成mag， phase和ω 矩阵，这时在屏幕上不显示频率响应图 。矩阵mag和phase包含系统频率响应的幅值和相 角，这些幅值和相角值是在用户指定的频率点上 计算得到的。相角以度来表示，表达式magdB＝ 20o10g10(mag)可以把幅值转变成分贝。 为了指明频率范围，采用命令logspace(dl， d2) 或 logspace(dl，d2，n)。logspace(dl，d2) 在 两 个十进制数l0d1 和l0d2 之间产生一个由50个点组成 的矢量，这50个点彼此在对数上有相等的距离。 这就是说，在0.1rad／s与l00 rad／s之间将产生50 个点。为此输入命令 ω ＝logspace(-l，2)
53
54
55
56
57
5．6 MATLAB绘制系统的频率特性图 利用MATLAB绘制系统的频率特性图，是指绘 制伯德图、奈奎斯特曲线等，所用的函数主要是 Control SystemToolbox中的bode、nyquist等函数。 命令nyquist可以计算连续时间、线性定常系统的 频率响应。当命令中不包含左端变量 时，nyquist仅在屏幕上产生奈奎斯特图。 命令nyquist(num，den)将在屏幕上画出下列传递 函数的奈奎斯特图
42
43
2．伯德图上的稳定判据极坐标图上的奈奎 斯特判据虽然应用简单，判断闭环系统的稳定性 较为方便，但前提是首先要画出开环系统的幅相 频率特性曲线。由于该曲线作图并不方便，因此， 有必要研究作图方便的伯德图上的奈奎斯特.15。
44
45
(1)极坐标图上以原点为圆心的单位圆对应于对 数坐标图上的0dB线[A(ω)＝l时，L(ω)=20lg l＝0]。 L(ω)在ωc处穿越0dB线，因此又称ωc为增益穿越频 率。 (2)极坐标图上的负实轴对应于对数坐标图上的 φ(ω)=-180。线，这样，极坐标图上的 (-1，j0)一个点和对数坐标图上0dB线及-180º 两条线 对应起来。某系统的开环频率特性的 极坐标图和对数坐标图的对照如图5.15所示。 伯德图上的奈奎斯特稳定判据可表达为： 若系统开环是稳定的，则闭环系统稳定的充要条件 是，当L(ω)线过0dB线时，φ(ωc)在 -π线上方或当φ(ω)线到达-π时，L(ω g)在0dB线下方。
8
在这些特殊点间适当地取一些点，逐点连接成一条平 滑曲线，就得到了系统的极坐标图，如图5.2所示。在作图 时，规定逆时针方向为正角度，顺时针方向为负角度。 G(ω)的极坐标因由于在绘制时需要逐点作出，因此 不便于徒手作图。通常只是徒手绘制出极坐标的草图，作 分析图。若要精确作图，可借助于计算机，如利用 MATLAB来完成G(ω)的极坐标图的绘制。 9
46
47
48
5.5 系统的稳定裕量 一个正常工作的系统必须是一个稳定的系统， 但不同稳定系统的相对稳定性并不完全相同，也就 是它的稳定裕量不同。稳定裕量是控制系统中必须 考虑的一个问题，因为系统的稳定 度与系统的暂态 响应有着密切的关系。控制系统中表征系统稳定程 度的指标常用相角裕量和幅值裕量来表示，如图5.17 所示。 根据奈氏判据可知，系统开环幅相曲线临界点 附近的形状对闭环稳定性影响很大，曲线越是接 近临界点，系统的稳定程度就越差。当系统穿越 临界点时，系统处于临界稳定状态。
第5章 控制系统的频率分析
对于高阶系统，由于求解其特征方程的根较 为困难，因此，在工程上多采用图解分析法来研 究控制系统的性能。频率分析法作为一种常用的 图解分析法，由于具有物理意义明确，作图简单， 并可通过实验方法来获取一些结构参数不易确定 的控制系统的频率特性等特点，成为自动控制系 统中非常重要的分析方法之一，也是工程上应用 最为广泛的分析方法之一。
37
38
(4)由低频段向高频段延伸，每经过一个交接频率， 斜率改变一次。因此，当低频段ω逐渐增加到ω=1 时遇到一个惯性环节，所以曲线斜率由-20dB／dec 增加到-40dB／dec；当ω=2时，系统遇到微分环节， 斜率又减小到-20 dB／dec；当ω=20时，系统又遇 到惯性环 节，斜率又变为-40dB／dec，如图5．13所示。 同理，系统的相频特性为 φ(ω)=-90º -arctanω+arctan(0.5ω)-arctan(0.05ω) 绘制的对数相频特性曲线如图5．13所示。
2．伯德图 伯德图又称为对数频率特性曲线，它包括对数幅 频曲线和对数相频曲线两种。对数频率特性曲线 的横坐标是频率ω，并按对数进行分度，单位为 弧度秒(rad／s)。
对数幅频特性曲线的纵坐标表示幅频的对数 值，均匀分度, 单位为分贝(dB)。对数相频特性曲 线的纵坐标表示相频特性的相角值，线性分度，单 位是度(º )。当横坐标ω从1变化到10时，相应的对 数分度lg(ω)的变化见表5．1。
5
6
综上所述，求解系统频率特性主要有三种方法： (1)根据系统的微分方程求解稳态解。通过求解正 弦输入信号的稳态输出分量与输人情号的复数比得 到系统的频率特性。 (2)由于系统的频率特性是传递函数的特殊情况， 以s=jω代人传递函数，即得系统的 频率特性。 (3)通过实验方法测定。对于线性稳定系统，当输 入正弦信号的频率不断变化时，记录相应的输出， 绘出系统的幅频特性与相频特性，即得到系统的频 率特性。 注意：频率特性同传递函数一样，也是一种数学 模型，它也包含了系统的结构与参数，反映了系统 的结构性能。 7
58
式中，num(s)和den(s)分别为以s的降幂排列的 分子、分母多项式系数向量。 命令nyquist(num，den，ω ) 利用了用户指定 的频率矢量ω 0矢量ω 指出了以rad／s表示 的诸频率点，在这些频率点上，将对系统的频 率响应进行计算。 当命令中包含左端变量时，即 [re， im， ω ] ＝nyquist(num，den) 或 [re， im， ω ] ＝nyquist(num， den， ω )