特性可用分段直 线近似表示。 （4）容易将频率实验数据用分段直线拟合，从而 得到对数频率特性或传递函数。 3. 对数幅相特性曲线（Nichols图)
由对数幅频特性和对数相频特性合并而成。
可以方便求出系统闭环频率特性及有关特征 参数，作为评估系统性能的依据。
§5.1典型环节的频率特性 一、比例环节 比例环节的传递函数为：G(s)=K=const 频率特性表达式为： G( j ) K const
2、根据系统的频率性能间接地揭示了系统的动 态特性和稳态特性，可以简单迅速地判断某 些环节或参数对系统性能的影响，指出系统 改进的方向。
3、频率特性可以由实验确定，这对于难以建立 动态模型的系统很有好处。
频率特性的求解：
1 c ( t ) L [G(s) R(s)] 来求取 方法1：利用关系式 从输出的稳态响应中可得到谐波输出的幅值和相位。
结论
Ar=1 ω=0.5
给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入 同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。
ω=1
ω=2
ω=2.5
ω=4
相角问题
AA ① 稳态输出 迟后于输入的 角度为： B φ= 360o A ②该角度与ω有 关系 , ∴为φ(ω) ③该角度与初始 角度无关 , ∴ …
B B
在极坐标系中画出该向量。 ω从-∞→+∞变换时该向量在极坐标系中形成 的曲线，称为Nyquist曲线。 实频特性是ω的偶函数，虚频特性是ω的奇函数。为什么？
惯性环节G(jω)
φ(ω) = -artan0.5 ω
G(s) =
1 0.5s+1 A(ω)=
ω
0 0
1
0.5
0.97
1
2
4
1 0.25 ω2+1 5 8 20
若无重极点，上式可写为
n ai b1 b2 C ( s) s j s j i 1 s pi
c(t ) b1e
j
b2e
j
j
ai e
i 1
j
n
pi t
若系统稳定，pi都具有负实部，则稳态分量为：
lim c(t ) b1e
t
b2 e
（1）任何信号都可以分解为叠加的谐波信号；
（2）频率特性是一种图解方法，根据开环频率特性判断闭环频 率特性； （3）对于某些无法求解的微分方程或传函，可通过实验测出其 频率特性，进而求传函； （4）频率特性主要是用于线性定常系统，频率特性与输入正弦 信号的幅值与相位无关。 本章涉及数学基础：傅里叶变换
b1 G ( s )
M M ( s j ) G ( j ) ( s j )( s j ) 2j s j
M M b2 G ( s ) ( s j ) G ( j ) ( s j )( s j ) 2j s j
G(jω)是一复数，可写为
( ) G ( j )
Cm X
总结：
频率特性可以分成：
j ( )
相频特性
G ( j ) A( ) e
幅频特性
G( j ) A()e
j ( )
A( ) cos jA( ) sin
虚频特性
实频特性
研究频率特性的意义 1、频率特性是控制系统在频域中的一种数学模 型，是研究自动控制系统的另一种工程方法。
对于正弦输入，其输入的稳态响应仍然是一个同 上式表明：
频率正弦信号。但幅值降低，相角滞后。
输入输出为正弦函数时，可以表示成复数形式，设 输入为Xej0，输出为Yejφ，则输出输入之复数比为：
A( ) —幅值频率特性 Ye j Y j j ( ) e A( )e j0 Xe X ( ) —相角频率特性
频率特性的定义： 线性定常系统（或元件）的频率特性是指：在零 初始条件下稳态输出的正弦信号与输入正弦信号的复 数比。
1 G ( j ) 1 j 幅频特性和相频特性数据
(rad s 1 )
0
1 0
1 2 1 2 3 4 5
0.89 0 0.70 7 0.44 7 0.31 6 0.24 3 0.19 6 -26.5 -45.0 -63.4 -71.6 -76.0 -78.7
十倍频程 十倍频程
2 0 l g | G ( j ω ) | ( d B )
0.1 0.2 0.3 1
十倍频程
十倍频程
2 3 10
十倍频程
20 30 100
ω(rad/s)
频率的对数分度
对数幅频特性： 指G(jω)的对数值20lg|G(jω)|和频率ω的关系曲线。 即纵坐标 对数相频特性： 指G(jω)的相角值φ(ω)和频率ω的关系曲线。 纵坐标是的单位是“ °”。采用线性刻度。
P() A() cos () Q() A() sin ()
A( ) P ( ) 2 Q ( ) 2
Q( ) ( ) arctan P( )
二、频率特性与传递函数的关系
线性定常系统的传递函数表达式为
C ( s) N ( s) N ( s) G( s) R( s) D( s) ( s p1 )(s p2 ) ( s pn ) M 输入为r(t)=Msin(ωt)， R( s) 2 s 2 N ( s) M C ( s) 2 ( s p1 )(s p2 ) ( s pn ) s 2
j2 ( )
L( ) 20 lg A( ) 20 lg A1 ( ) 20 lg A2 ( ) 20 lg An ( ) L1 ( ) L2 ( ) Ln ( )
Gn ( j) An ()e
…
jn ( )
() 1 () 2 () n ()
系统频率响应与正弦输入信号的关系称为频率 特性。
是一种图解分析法，不仅可以反映系统的稳态性 能，而且可以用来研究系统的稳定性的暂态性能。 具有明确的物理意义。数学基础是傅利叶变换。
§5.1 频率特性的概念
不
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
40
给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦， 曲线如下:
方法2：将传递函数中的S换成
j 求取
方法3：实验法来求取
三、频率特性的几种图示方法 1. 幅相频率特性曲线 它是在复平面上以极坐标的形式来描述的。又称极坐 标图，又称Nyquist曲线。 系统的频率特性可表示为： G( j) A()e j ( ) 对某一固定频率ω1
G( j1 ) A(1 )e j (1 )
第五章 线性系统的频域分析
§5.1
频率特性的概念
§5.2 典型环节的频率特性 §5.3 系统的开环频率特性 §5.4 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性 §5.5 利用开环频率特性分析系统性能 §5.6 利用闭环频率特性分析系统性能
本章重点
1.开环频率特性的绘制(包括极坐标图和对数坐 标图)； 2. 乃奎斯特稳定性判据及其在Bode图中的应用； 3. 对数频率特性和闭环系统性能的关系； 4. 开环频率特性指标； 5. 闭环频率特性指标。
j [t ( )]
A( )M sin[t ( )]
得到线性系统的幅频特性和相频特性：
A() G( j)
() G( j)
频率特性和传递函数的关系为
G ( j ) G ( s ) s j
系统的频率特性也是输入信号的傅氏变换和输 出信号的傅氏变换之比。 C ( j ) G( j ) R( j ) 其中 R( j ) r (t )e
G( j) A()e j ( )
G( j) A()e j ( )
M b1 A( )e j ( ) 2j
M b2 A( )e j ( ) 2j
css (t ) b1e
jt
b2e
jt
A( )M
e
j [t ( )]
e 2j
一、频率特性的定义 例：如图所示电气网络的传递函数为
U 2 ( s) 1 Cs 1 1 U1 ( s) R 1 Cs RCs 1 s 1
u1
R
i
C
u2
若输入为正弦信号： u1 U1m sin t 其拉氏变换为：
U 1m U1 ( s) 2 s 2
U1m 1 2 输出拉氏变换为： U 2 ( s) s 1 s 2
稳定后输出 C(t)=CmSin（t+）
三要素： 频率： 不变
幅值： M Cm 关系为： 幅角： 0 关系为：
0 G(s) |S j
Cm A( ) G(s) S j X
系统频率响应与正弦输入信号之间的关系称为频率特性。
幅频特性 相频特性
可见：A( ) G ( j )
L() 20lg A()
L(ω)称为对数幅值，单位是dB(分贝)。
采用对数坐标图的优点： （1）将低频段展开，将高频段压缩。 （2）当系统由多个环节串联而成时，简化运算。
G( j) G1 ( j)G2 ( j)Gn ( j)
G1 ( j) A1 ()e j1 ( ) G2 ( j) A2 ()e
其拉氏反变换为：
U1m U1m u2 e sin(t arctan ) 2 2 2 2 1 1
t
其稳态响应为：
lim u2
t
U1m 1 2 2
sin(t arctan ) U1m
1 1 sin(t ) 1 j 1 j
时域分析： 频域分析：
输入
c(t ) L1[G(s) R(s)]
r(t)=X Sint
系统
输出（稳定后）