选修4-5 第二节 不等式证明的基本方法例题
1．已知a 、b 、x 、y 均为正实数，且1a >1
b
，x >y .
求证：
x
x ＋a >
y
y ＋b
.
证明：∵
x
x ＋a －
y
y ＋b
＝
bx －ay
x ＋a y ＋b
，
又1a >1
b
，且a 、b 均为正实数，
∴b >a >0. 又x >y >0， ∴bx >ay . ∴
bx －ay x ＋a y ＋b >0，即x x ＋a >y
y ＋b
.
2．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2
＋(1a ＋1b ＋1c
)2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．
证明：法一：因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式得
a 2＋
b 2＋
c 2
≥3(abc )23
，①
1
a ＋1
b ＋1
c
≥3(abc )1
3-，②
所以(1
a ＋1
b ＋1c
)2
≥9(abc ) 2
3-.
故a 2
＋b 2
＋c 2
＋(1a ＋1b ＋1
c
)2
≥3(abc ) 23
＋
9(abc )
23
-
.
又3(abc ) 23
＋9(abc ) 23
-≥227＝63，③
所以原不等式成立．
当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc ) 23
＝9(abc )
23
-
时，③式
等号成立．
即当且仅当a ＝b ＝c ＝314
时，原式等号成立． 法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得
a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac. 所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①
同理1
a2＋
1
b2
＋
1
c2
≥
1
ab
＋
1
bc
＋
1
ac
，②
故a2＋b2＋c2＋(1
a
＋
1
b
＋
1
c
)2≥ab＋bc＋ac＋
3
1
ab
＋3
1
bc
＋3
1
ac
≥6 3.③
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．
即当且仅当a＝b＝c＝31
4时，原式等号成立．
3．(2012·豫南九校联考)已知x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋1
x2－2xy＋y2
≥2y ＋3.
解：因为x＞0，y＞0，x－y＞0，
2x＋
1
x2－2xy＋y2
－2y＝2(x－y)＋
1
x－y2
＝(x－y)＋(x－y)＋
1
x－y2
≥33
x－y2
1
x－y2
＝3，
所以2x＋
1
x2－2xy＋y2
≥2y＋3.
4．已知正实数a，b，c满足
1
a
＋
2
b
＋
3
c
＝1，求证：a＋
b
2
＋
c
3
≥9.证明：因为a，b，c均为正实数，
所以
1
a
＋
2
b
＋
3
c
≥3
31
a
·
2
b
·
3
c
.同理可证：
a＋
b
2
＋
c
3
≥3
3
a·
b
2
·
c
3
.
所以(a＋
b
2
＋
c
3
)(
1
a
＋
2
b
＋
3
c
)≥
3
3
a·
b
2
·
c
3
·3
31
a
·
2
b
·
3
c
＝9.
因为
1
a
＋
2
b
＋
3
c
＝1，所以a＋
b
2
＋
c
3
≥9，
当且仅当a＝3，b＝6，c＝9时，等号成立．
5．已知x 、y 、z ∈R, 且2x ＋3y ＋3z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2
的最小值． 解：由柯西不等式得，
(2x ＋3y ＋3z )2
≤(22
＋32
＋32
)(x 2
＋y 2
＋z 2
)． ∵2x ＋3y ＋3z ＝1，∴x 2
＋y 2
＋z 2
≥
122
， 当且仅当x 2＝y 3＝z 3，即x ＝111，y ＝z ＝3
22
时，等号成立，
∴x 2＋y 2＋z 2
的最小值为122
.
6．设f (x )＝2x 2
－2x ＋2 010，若实数a 满足|x －a |<1 ，求证：|f (x )－f (a )|<4(|a |＋1)．
证明：∵f (x )＝2x 2－2x ＋2 010， ∴|f (x )－f (a )|＝2|x 2
－x －a 2
＋a | ＝2|x －a |·|x ＋a －1|<2|x ＋a －1|， 又∵2|x ＋a －1|＝2|(x －a )＋2a －1| ≤2(|x －a |＋|2a －1|) <2(1＋|2a |＋1)＝4(|a |＋1)． 7．求证：
1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＞12
(n ≥2，n ∈N *
)． 证明：法一：利用数学归纳法：
(1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＞1
2，不等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *
)时不等式成立． 即
1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＞12
. 则当n ＝k ＋1时， 1k ＋1＋1
＋
1k ＋1
＋2
＋…＋
13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (13)
＋(
13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)＞12＋(3×13k ＋3－1k ＋1)＝1
2. 所以当n ＝k ＋1时不等式也成立，
由(1)，(2)知原不等式对一切n ≥2，n ∈N *
均成立． 法二：利用放缩法： ∵n ≥2，∴
1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＞13n ＋13n ＋…＋13n ＝23＞12.即1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＞1
2
(n ≥2，n ∈N *
)．
8．已知a ，b ，c 为实数，且a ＋b ＋c ＋2－2m ＝0，a 2
＋14b 2＋19c 2＋m －1＝0.
(1)求证：a 2
＋14b 2＋19
c 2
≥
a ＋
b ＋c
2
14
；
(2)求实数m 的取值范围．
解：(1)由柯西不等式得[a 2＋(12b )2＋(13c )2]()12＋22＋32≥(a ＋b ＋c )2
，
即(a 2＋14b 2＋19c 2)×14≥(a ＋b ＋c )2
.
∴a 2
＋14b 2＋19
c 2
≥
a ＋
b ＋c
2
14
.
当且仅当|a |＝14|b |＝1
9|c |取得等号．
(2)由已知得a ＋b ＋c ＝2m －2，
a 2＋14
b 2＋19
c 2＝1－m ，
∴14(1－m )≥(2m －2)2
. 即2m 2
＋3m －5≤0.∴－52≤m ≤1.
又∵a 2
＋14b 2＋19c 2＝1－m ≥0，
∴m ≤1， ∴－5
2≤m ≤1.。