5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题）雪慕冰一、知识导学1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法).(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法.(2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R +，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法.2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ.3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件.4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法.5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新⇔⇔⇔⇔的启迪和方法.主要有两种换元形式.(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示.此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题； (2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如ａ>ｂ>ｃ等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简.如ａ+ｂ=1，可以用ａ=1-ｔ，ｂ=ｔ或ａ=1/2+ｔ，ｂ=1/2-ｔ进行换元.二、疑难知识导析1.在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确定不等号的方向.2.分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者执果索因，利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握；后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清晰，形式简洁，适合人们的思维习惯.但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证明”等字眼不写，就成了错误.而用综合法书写的形式，它掩盖了分析、探索的过程.因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分离的.如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律.还有的不等式证明难度较大，需一边分析，一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的目的.这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系.分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件.如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只能使用于证明等价命题了.用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语.4.反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾.5.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果.这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用.三、经典例题导讲[例1] 已知a>b(ab ),比较与的大小.0 a 1b1错解： a>b(ab )，<. 错因：简单的认为大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.正确的结论是：当两数同号时，大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.正解：，又 a>b(ab )， (1)当a 、b 同号时，即a>b>0或b<a<0时，则ab>0,b －a<0, ,<. (2)当a 、b 异号时，则a>0,b<0, >0,<0>. [例2] 当a 、b 为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是（ ）A. B. C. D.错解：所以选B.错因是由于在、、中很容易确定最小，所以易误选B.而事实上三者中最小者，并不一定是四者中最小者，要得到正确的结论，就需要全面比较，不可遗漏与前三者的大小比较. Θ0≠∴a 1b1aba b b a -=-11ΘΘ0≠0<-ab a b ∴a 1b1a 1b 1∴a 1b12b a +ab 222b a +111)2(---+b a 2b a +ab 222b a +ab 111)2(---+b a正解：由均值不等式及a 2+b 22ab,可知选项A 、B 、C 中，最小，而＝，由当a b 时，a+b>2,两端同乘以，可得（a+b ）·＞2ab, ＜，因此选D. [例3] 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ 1a )2+(b+ 1b )2的最小值.错解: (a+)2+(b+)2=a 2+b 2+++4≥2ab++4≥4+4=8, ∴(a+)2+(b+)2的最小值是8. 错因：上面的解答中，两次用到了基本不等式a 2+b 2≥2ab ，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的.因此，8不是最小值.正解：原式= a 2+b 2+++4=( a 2+b 2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4 = (1－2ab)(1+)+4， 由ab ≤()2= 得：1－2ab ≥1－=, 且≥16，1+≥17， ≥+2b a ab ≥ab 111)2(---+b a b a ab +2≠ab ab ab ∴ba ab +2ab a 1b 121a 21bab 2ab ab 1•a 1b121ab 121a 21b 21a 21ba 1b 1ab 2221b a 2b a +412121221b a 221ba∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)， ∴(a +)2 + (b + )2的最小值是252 . [例4] 已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较的大小.解法一：∵0 < 1 - x 2< 1, ∴ ∴解法二：∵0 < 1 - x 2 < 1, 1 + x > 1, ∴∴ ∴解法三：∵0 < x < 1, ∴0 < 1 - x < 1, 1 < 1 + x < 2,2122521a 1b 1|)1(log | |)1(log |x x a a +-和[][])1(log )1(log )1(log )1(log |)1(log | |)1(log |22x x x x x x a a a a a a +---+-=+--xx x a a +--=11log )1(log 21110<+-<x x 011log )1(log 2>+--x x x a a |)1(log | |)1(log |x x a a +>-2111111log 11log )1(log )1(log )1(log )1(log xx x x x x x x x x x a a -+=-=--=-=+-++++)1(log 121x x --=+0)1(log 21>--+x x 1)1(log 121>--+x x |)1(log | |)1(log |x x a a +>-∴∴左 - 右 =∵0 < 1 - x 2 < 1, 且0 < a < 1 ∴∴[例5]已知x 2 = a 2 + b 2，y 2 = c 2 + d 2，且所有字母均为正，求证：xy ≥ac + bd证：证法一（分析法）∵a , b , c , d , x , y 都是正数∴要证：xy ≥ac + bd只需证：(xy )2≥(ac + bd )2即：(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)≥a 2c 2 + b 2d 2 + 2abcd展开得：a 2c 2 + b 2d 2 + a 2d 2 + b 2c 2≥a 2c 2 + b 2d 2 + 2abcd即：a 2d 2 + b 2c 2≥2abcd 由基本不等式，显然成立∴xy ≥ac + bd证法二（综合法）xy = ≥证法三（三角代换法） ∵x 2 = a 2 + b 2，∴不妨设a = x sin α, b = x cos α y 2 = c 2 + d 2 c = y sin β, d = y cos β0)1(log ,0)1(log <+>-x x a a )1(log )1(log )1(log 2x x x a a a -=++-0)1(log 2>-x a |)1(log | |)1(log |x x a a +>-222222222222d b d a c b c a d c ba +++=++bd ac bd ac db abcdc a +=+=++22222)(2∴ac + bd = xy sin αsin β + xy cos αcos β = xy cos(α - β)≤xy[例6] 已知x > 0，求证：证：构造函数 则， 设2≤α<β 由 显然 ∵2≤α<β ∴α - β > 0, αβ - 1 > 0, αβ > 0 ∴上式 > 0 ∴f (x )在上单调递增，∴左边 25111≥+++x x x x )0(1)(>+=x x x x f 21≥+x x αβ-αββ-α=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛β-α+β-α=β+β-α+α=β-α)1)((11)()1(1)()(f f ),2[+∞25)2(=≥f。