不等式证明方法专项+典型例题不等式的证明是数学证题中的难点，其原因是证明无固定的程序可循，方法多样，技巧性强。
1、比较法（作差法）在比较两个实数a 和b 的大小时，可借助b a -的符号来判断。
步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）。
变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。
例1、已知：0>a ，0>b ，求证：ab b a ≥+2。
2、分析法（逆推法）从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆。
例2、求证：15175+>+。
3、综合法证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法。
例3、已知：a ，b 同号，求证：2≥+ab b a 。
4、作商法（作比法）在证题时，一般在a ，b 均为正数时，借助1>b a 或1<ba 来判断其大小，步骤一般为：作商——变形——判断（大于1或小于1）。
例4、设0>>b a ，求证：a b b a b a b a >。
a b b a b a b a >。
5、反证法先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的。
例5、已知0>>b a ，n 是大于1的整数，求证：n n b a >。
6、迭合法（降元法）把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证。
例6、已知：122221=+++n a a a ，122221=+++n b b b ，求证：12211≤+++n n b a b a b a 。
证明：因为122221=+++n a a a ，122221=+++n b b b ，由柯西不等式所以原不等式获证。
7、放缩法（增减法、加强不等式法）在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的。
值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头。
常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。
例7、求证：01.09999531<•••• 。
所以01.0<p 。
8、数学归纳法对于含有)(N n n ∈的不等式，当n 取第一个值时不等式成立，如果使不等式在)(N n k n ∈=时成立的假设下，还能证明不等式在1+=k n 时也成立，那么肯定这个不等式对n 取第一个值以后的自然数都能成立。
例8、已知：+∈R b a ,，N n ∈，1≠n ，求证：11--+≥+n n n n ab b a b a 。
证明：（1）当2=n 时，ab ab ab b a 222=+≥+，不等式成立；（2）若k n =时，11--+≥+k k k k ab b a b a 成立，则111111)()(+--++++-+≥+-+=+k k k k k k k k k k b ab ab b a a b ab b a a b a=k k k k k k k k k k ab b a b a b ab b a b ab b a ab b a +≥-++=+-++-+-21112)()2(， 即k k k k ab b a b a +≥+++11成立。
根据（1）、（2），11--+≥+n n n n ab b a b a 对于大于1的自然数n 都成立。
9、换元法在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化。
例9、已知：1=++c b a ，求证：1≤++ca bc ab 。
10、三角代换法借助三角变换，在证题中可使某些问题变易。
例10、已知：122=+b a ，122=+y x ，求证：1≤+by ax 。
证明：设θsin =a ，则θcos =b ；设ϕsin =x ，则ϕcos =y所以1)cos(cos cos sin sin ≤-=+=+ϕθϕθϕθby ax 。
通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式。
例11、设R y x ∈,，且122=+y x ，求证：21a ax y +≤-。
证明：设ax y m -=，则m ax y +=代入122=+y x 中得1)(22=++m ax x ，即0)1(2)1(222=-+++m amx x a 因为R y x ∈,，012≠+a ，所以0≥∆，即0)1)(1(4)2(222≥-+-m a am ，12、标准化法形如n n x x x x x x f sin sin sin ),,,(2121 =的函数，其中π≤<i x 0，且 n x x x +++ 21为常数，则当i x 的值之间越接近时，),,,(21n x x x f 的值越大（或不变）；当n x x x === 21时，),,,(21n x x x f 取最大值，即nx x x x x x x x x f n n n n +++≤= 212121sin sin sin sin ),,,(。
标准化定理：当A+B 为常数时，有2sin sin sin 2B A B A +≤•。
证明：记A+B=C ，则2sin )sin(sin 2sin sin sin )(22C A C A B A B A A f --=+-•=， 求导得)2sin()`(A C A f -=，由0)`(=A f 得C=2A ，即A=B又由0)cos()``(<--=A B A f 知)`(A f 的极大值点必在A=B 时取得 由于当A=B 时，0)`(=A f ，故得不等式。
同理，可推广到关于n 个变元的情形。
例12、设A ，B ，C 为三角形的三内角，求证：1sin sin sin≤C B A 。
应用一些等式的结论，可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明。
例13（1956年波兰数学竞赛题）、c b a ,,为ABC ∆的三边长，求证： 444222222222c b a c b c a b a ++>++。
4442222222222)(16c b a c b c a b a S ABC ---++=∆而0>∆ABC S ，所以444222222222c b a c b c a b a ++>++。
14、函数极值法通过变换，把某些问题归纳为求函数的极值，达到证明不等式的目的。
例14、设R x ∈，求证：812sin 32cos 4≤+≤-x x 。
当1sin -=x 时，)(x f 取最小值－4。
15、单调函数法当x 属于某区间，有0)`(≥x f ，则)(x f 单调上升；若0)`(≤x f ，则)(x f 单调下降。
推广之，若证)()(x g x f ≤，只须证)()(a g a f =及)`()`(x g x f ≤即可，],[b a x ∈。
例15、20π<<x ，求证：x x x tan sin <<。
证明：当0=x 时，0tan sin ===x x x ，而)`(tan sec `1cos )`(sin 2x x x x x =<=<= 故得x x x tan sin <<。
16、中值定理法利用中值定理：)(x f 是在区间],[b a 上有定义的连续函数，且可导，则存在ξ，b a <<ξ，满足))(`()()(a b f a f b f -=-ξ来证明某些不等式，达到简便的目的。
例16、求证：y x y x -≤-sin sin 。
证明：设x x f sin )(=，则ξξcos )(sin`)(sin sin y x y x y x -=-=-17、分解法按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的。
例17、2≥n ，且N n ∈，求证：)11(131211-+>++++n n n n。
18、构造法在证明不等式时，有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数等，可以达到简捷、明快、以巧取胜的目的。
例18、已知：122≤+y x ，222≤+b a ，求证：22)(22≤+-axy y x b 。
所以i axy y x b bxy y x a bi a yi x z z ]2)([]2)([)()(22222221+-+--=++=•19、排序法利用排序不等式来证明某些不等式。
排序不等式：设n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有n n t n t t n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n +++≤+++≤+++- 221121112121，其中n t t t ,,,21 是n ,,2,1 的一个排列。
当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时取等号。
简记作：反序和≤乱序和≤同序和。
例19、求证：da cd bc ab d c b a +++≥+++2222。
证明：因为R d c b a ∈,,,有序，所以根据排序不等式同序和最大，即da cd bc ab d c b a +++≥+++2222。
20、几何法借助几何图形，运用几何或三角知识可使某些证明变易。
例20、已知：+∈R m b a ,,，且b a <，求证：a m a >+。