' n ' x 0
y x
C x
1 n
n 1
C x
2 n
n2
x ... C ( x )
n n
n 1
nx
n 1
例：求下列函数的导数
x
' 3
'
3x
31
3x
2
2 1 2 ' 3 21 x 2 x 2 x 3 2 x x
T
M
o

x0
x
y y 0 f ( x 0 )( x x 0 ).
新课: 几种常见函数的导数 根据导数的定义,可以得出一些常见函数的导数公式 公式一
C’ = 0 (C为常数)
求函数y f ( x) C的导数
证明 : y f ( x ) C y f ( x x ) f ( x ) C C 0 y 0 x


n 1 2 n2 2 n n C1 x x C x ( x ) ... C ( x ) n n n
y f ( x) ( x ) lim x 0 x n 1 2 n2 n n 1 lim [C1 x C x x ... C ( x ) ] n n n
2 2 1 3 解： y ( x ) 2 x 2 x
3
y x 3 2 ( 3)
1 2 2 27 27
小结：
’ C = 0 (C为常数)
(xn)’ =nxn-1 (n∈Q)
(sinx)’=cosx
2.对数函数的导数:
(cosx)’=-sinx
公式3: (sin x ) cos x .
证 : y f ( x ) sinx, y f ( x x ) f ( x ) sin(x x ) sinx
x x x y 2 cos(x 2 ) si n 2 x si n 2 cos(x ) , x x x 2 x 2
1 1 (1) (log a x) ( a 0, a 1). (2) (ln x ) . x ln a x
3.指数函数的导数:
x
(1) ( a ) a ln a ( a 0, a 1). x x (2) (e ) e .
x
例2 求下列函数的导数：
(1) x sin t
北京大峪中学高三数学组
2017年8月26日星期六

1 1 1 ' 1 ' x x x x 2 2 x 2 2
1 2
1 1 2
课本P88
用公式求解3个常用函数导数
公式三
(sinx)’=cosx (cosx)’=-sinx
公式四
si n x m 1. 要证明这个公式,必须用到一个常用极限 lxi 0 x
1 若f ( x) ln x, 则f ( x) x
几种常见函数导数



浅秋明明很抗拒她的那种行为，简宁虽然有感受到，但是并没有做过多的思考，在她的认知里，浅秋永远是一个乖巧又懂事的弟弟。 浅秋在准备开房门的时候的神情很是怪异，似乎在做一种抗争，在门打开的那一瞬间、他终究还是放弃了挣扎。房间很小，不足十个平 方的小房子，简宁打记事以来在现实中还真没有见过那般狭小的蜗居。陈设也很简单，一张不足一米五宽的单人床、一个煤气灶、一个 电饭煲、一个锅，剩下的便是一些干活用的工具之类的，仅那些工具便占了房间一半的面积。 在那种情况下气压一下子降到很低，低到简宁自己都开始觉得有点不自在了起来，她没话找话“哎，浅秋啊，你晚上就跟你爸睡在这个 床上么？”说话的时候她已然坐到了那个看起来相当狭窄的床上。那么狭窄的小床是如何睡下身高已然超过一米八的浅秋还有他的父亲？ 浅秋神色越发的僵硬，不自在的指着旁边的高脚蹬“用这个凳子在旁边搭了一些。” 简宁突然很好的感觉到自己有点自讨没趣，讪讪的应了声“哦” 突然又似想到什么般的开口“对了，你大概什么时候要回学校呀，你回去前我请你吃饭。” 浅秋神色总算稍稍好转“下个月中旬吧，还要回去看看我妈。” 没有做过多的逗留简宁便离开了那个越发的让她感到有点不自在的地方，之所以不自在，完全是因为浅秋那总是不自觉地透露出些许的 抗拒她的情愫。
31 4
2 y ( x 2 ) x 2 (4) y x x 2 2 x
2.已知y x , 求y x2
3
解： y ( x ) 3 x
3
3 1

3 x y x2 3 (2) 12
2
2
1 3.已知 y 2 , 求y x 3 x
第三章
导 数
一
导 数
3.2 几种常见函数的导数
由定义求导数（三步法）
步骤:
(1) 求增量 y f ( x x ) f ( x );
y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; x x
( 3) 求极限
y y lim . x 0 x
(2) y 2
x 1 5
x
(3) y log
a
已知f(x)=x ,且f(1)=-4,求实数a.
若f ( x) a , 则f ( x) a ln a(a 0)
x x
若f ( x) e , 则f ( x) e
x
x a
x
1 若f ( x) log , 则f ( x) (a 0, a 1) x ln a
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数.
导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率, 即 f ( x0 ) t an , (为倾角 )
过( x0 , f ( x0 ))的 切线方程为
y
y f ( x)
sin
例１ 求下列函数的导数：
(1) y x
解：
4
(2) y x
3
0
(4) y x
(5) y sin45
4 41
1 (3) y x
3
(6)u cos v
(1) y ( x ) 4 x
3
4x
(2) y ( x ) 3x 3x 1 1 y ' 1 x11 x2 (3) y x 1 1 1 x 1 1 1
x x 2 cos(x ) sin , 2 2
y x 2 f ( x ) (sinx ) lim limcos(x ) lim x 0 x x 0 2 x 0 x 2 cos x 1 cos x . 同理可证,公式4: (cos x ) sin x .
y f ( x ) C lim 0 x 0 x
' '
公式二
(xn)’ =nxn-1 (n∈Q)
n
下面我们就n∈N*的情况加以说明。
证明：y f ( x ) x n n y f ( x x ) f ( x ) ( x x ) x
n 1 2 n2 2 n n n x n C1 x x C x ( x ) ... C ( x ) x n n n