c(x)528(840x10)0 100x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90％ （2）98％
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数
c'(x)(150208x4)'52'8 (14 0 (1 x0 ) 0 5x0 )2 28 (140 x0 )'
0(10( 10x)0 0 5x)22 8( 41)
求它们的导数。
(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？ （2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪 一个增加得最慢？ （3）函数y=kx(k≠0)增（减）的快慢与什么 有关？
练习3、求函数y=f(x)=x2的导数
因为 yf(x x)f(x)(x x)2x2
x
x
x
x2 2xx(x)2 x2 x
例4 求下列函数的导数:
(1 )
y
1 x
2 x2
;
(2)
y
x 1 x2
;
(3) y tan x;
(4) y (2 x2 3) x ;
答案:
(1)
y
1 x2
4 x3
;
(3)
y
c
1 o s2
; x
(2)
y
1 x2 (1 x2)2
;
(4) y 10x2 3; 2x
例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水 纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水 净化到纯净度x%时所需费用（单位：元）为
因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的 速度上涨。
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f(x)g(x)f(x)g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f(x)•g (x)f(x)g (x)f(x)g (x)
2xx
所以 ylim yli(m 2x x)2x
x 0 x x 0
你能不能求出函数y=f(x)=x3的导数。 y' =3x2
由函数y=x ，y=x2 ，y=x3的导数为
1，2x，3x2 你猜测 y = x n 导数是什么? y' =nxn-1
练习4、求函数y = f(x) =-1x 的导数
因为 yf(xx)f(x)x 1 x1 x
x
x
x
x(xx) 1 x(xx)x x2xx
所以 y lx i0 m y x lx i0 (m x 2 1 x x) x 1 2
探 究
画出函数
y
1 x
的图象。
根据图象，描述它的变化
？ 情况，并求出曲线在点（1，
1）处的切线方程。
求切线方程的步骤：
y' 3x2 2
练习 求下列函数的导数。
(1) y 2 e x (2) y 2 x5 3x2 5 x 4 (3) y 3 co s x 4 sin x (4 ) y x 3 sin x co s x (5) y 2 sin x co s x 2 x 2 1
22 (6) y (x 1)(x 2)
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x )
log a
x,则 f
'( x )
1 x ln a
(a
0,且 a
1);
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ; x
练习 求下列函数的导数。
(1) y= 5 y 0
公 式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ;
公 式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x ;
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函
数的平方.即: gf((xx))
解：因为 y(x32x3)
(x3)(2x)(3) 3x2 2 所以，函数y=x3-2x+3的导数是
5284 (100 x)2
(1)因c为 '(9)0(1502 9 0)8 0 2 45.8 24
所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨
(2)因c为 '(9)8(1502098)8241321
所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨
例6 某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足 s1t4 4t3 16t2 4
p(t)p0(15%t)
其中p0为t = 0时的物价。假定某种商品的p0=1,那么在 第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精 确到0.01）?
解：根据基本初等函数导数公式表，有
p'(t)1.05t ln1.05
p '( 1) 0 1 .01l5 0 1 n .0 5 0 .0(元 8 /年 )
几个常用函数的导数优秀课件
练习1、求函数y=f(x)=c的导数。
因为 yf(x x)f(x)cc0
x
x
x
所以 ylimylim 00
x x0
x0
练习2、求函数y=f(x)=x的导数
因为 yf(x x )f(x )x x x 1
x
x
x
所以 ylimylim 11
x x0
x0
探 在同一平面直角坐标系中， 究 画出y=2x,y=3x,y=4x的 ？ 图象，并根据导数定义，
(2) y= x 4 y 4x3
(3) y= x -2 y2x3 2 x3
(4) y= 2 x y 2x ln2
(5) y=log2x
y 1 x ln 2
思考如何求下列函数的导数：
(1) y 1 x4
(2)yx x
例2 假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为5％，物 价p(单位：元)与时间t（单位：年）有如下函数关系
（1）求出函数在点x0处的变化率 f (x0)，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
yf(x 0)f(x 0)x (x 0).
基本初等函数的导数公式
公 式 1 .若 f ( x ) c , 则 f '( x ) 0;
公 式 2 .若 f ( x ) x n , 则 f '( x ) n x n 1 ;