第２７卷第１期２００９年２月江西ＪＩＡＮＧＸＴ科学ＳＣＴＥＮＣＥＶ０１．２７Ｎｏ．１Ｆｅｂ．２０（）９文章编号：１１３０１—３６７９（２００９）Ｏｌ一００２５一０３最佳曲线拟合巨正平１”，郭广礼１”，张书毕１’２，齐建伟１·２（１．中国矿业大学环境与测绘学院，江苏徐州２２１００８；２．中国矿业大学资源环境信息工程重点实验室，江苏徐州２２１００８）摘要：针对数字化地图曲线拟合的特点，提出了将采集点的纵、横坐标均看作观测值，依据各观测点到估计曲线的正交距离残差平方和最小作为拟合准则，采用附有参数的条件平差模型求观测值及参数的改正数。
通过实例分析得出，此类方法不仅提高了曲线拟合精度，而且得到的结果更为真实、可靠。
关键词：最小二乘法；曲线拟舍；条件平差中图分类号：Ｐ２０８文献标识码：ＡＴｈｅＢｅｓｔＣｎｒｖｅＦｉｔｔｉｎｇｊｕＺｈｅｎｇ—ｐｉｎ９１·２，ＧＵＯＧｕａｎｇ．１ｉ１’２，ＺＨＡＮＧＳｈｕ—ｂｉｌ＇２，ＱＩＪｉａｎ．ｗｅｉｌ，２（１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＥｎｖｉｍｎｍｅｎｔＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＳｐａｔｉａｌＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ＣＵＭＴ，ＪｉａｎｇｓｕＸｕｚｈｏｕ２２１００８ＰＲＣ；２．ＪｉａｎｇｓｕＫｅｙＬａｂｏｒａｔｏｒｙｏｆＲｅｓｏｕｒｃｅｓａｎｄＥｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔａｌＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＣＵＭＴ，ＪｉａｎｇｓｕＸｕｚｈｏｕ２２１００８ＰＲＣ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｃｕｒｖｅｆｉｔｔｉｎｇｆｏｒｄｉｇｉｔｉｚｉｎｇｍａｐ，ａｎｅｗｃｕｒｖｅｆｉｔｔｉｎｇｃｒｉｔｅｒｉｏｎｉｓｓｅｔｕｐ，ｗｈｉｃｈｉｓｒｅｇａｒｄｉｎｇｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓＸａｎｄＹａｓｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎｖａｌｕｅａｎｄａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｈｅｓｑｕａｒｅｓｕｍｏｆｔｈｅｓｈｏｒｔｅｓｔｄｉｓｔａｎｃｅｆｒｏｍｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎｐｏｉｎｔｓｔｏｅｓｔｉｍａｔｅｓｃｕｒｖｅｔｏｔｈｅｍｉｎｉｍｕｍａｎｄｄｅｔｅｒｍｉｎｅｔｈｅｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆｃｕｒｖｅｆｉｔｔｉｎｇ．Ｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅａｎａｌｙｓｉｓｏｆｅｘａｍｐｌｅｓ，ｓｕｃｈｃｕｒｖｅｆｉｔｔｉｎｇｍｅｔｈｏｄｅｎｈａｎｃｅｄｃｕｌ＂ｖｅｆｉｔｔｉｎｇａｃｃｕｒａｃｙ，ａｎｄｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｍｏｒｅｔｒｕｔｈｆｕｌａｎｄｒｅｌｉａｂｌｅ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓ，Ｃｕｒｖｅｆｉｔｔｉｎｇ，Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ—ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ０引言在数字化地图的编绘中，常常会涉及到曲线的处理问题，常见的如等高线的绘制，水系、道路等不规则形状的表示，均要用到曲线。
由于野外采集的数据总是有限的，因此，对曲线的处理，常用的方法有插值和拟合的两种。
插值法是将采集的数据均当作无误差的状态来处理，而在测绘行业中，凡涉及到测量数据一般总存在误差，并且很多的时候又无法重新采集数据，如果利用插值法求曲线的近似表达式，当数据量相当大时，插值法不仅会导致数据计算上的诸多麻烦，而且高次插值会引起数据振荡，所以对曲线的处理应该采用拟合的方法。
目前的曲线拟合方法多采用最小二乘拟合法，拟合方向一般选择ｘ方向，而将ｙ坐标作为真值（如图ｌ所示）。
实际上，无论是ｘ坐标还是】，坐标这两者均是观测值，都有偶然误差的影响，而且选择某一特定方向拟合值得商榷（特别是当采集的数据在拟合方向剧烈变化时，如图ｌ中的点８、９、１０、“、１２等）。
对于曲线的最佳拟合，应综合考虑观测值在２个方向的联合影响，并使模型误差和测量误差对曲线拟合的影响减至最小。
收稿日期：２００８—１１一Ｏｌ；修订日期：２００８—１２—２９作者简介：巨正平（１９８２一），男，甘肃镇原人，在读硕士研究生，主要从事空间数据处理的学习与研究。
·２６·江西科学２００９年第２７卷图１单一方向拟合示意图１最小二乘法拟合曲线曲线拟合是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法，其目的是根据试验获得的数据去建立因变量与自变量之间的经验函数关系【¨。
它包括２个方面的问题，拟合曲线的选取和拟合准则的选择。
曲线拟合的最／Ｊ、－＂乘法：对给定的一组数据（气，Ｙｉ）（ｉ＝０，１，…，ｍ），要求在函数类妒＝｛妒。
，妒。
，…，妒。
｝中找一个函数Ｙ＝八茹），使得拟合残差总体上尽可能的小，通常的做法是取ｌｌ占畦＝∑ｉ＝０《２一ＩＴ；Ｉ）ｉｏ委Ｌｆ（Ｘｉ）一，，ｔ］２来求得估计曲线的待定参数，从而求得拟合曲线方程。
２最佳曲线拟合原理２．１拟合准则“最佳”地拟合于各观测点的估计曲线，应使各观测点到估计曲线的正交距离残差平方和最小，唧署．ｓ７Ｓ＝ｒａｉｎ∑Ｓ２＝ｍｉｎ∑（８２＋叼２），其中ｓ＝￣／占２＋叼２，占、叼分别表示测点菇、Ｙ的随机误差，如图２所示。
图２两方向同时拟合示意图１４２．２拟合原理设拟合曲线的方程为Ｆ（ｘ，ｙ，ｒ）＝０，其中，Ｘ、ｙ为观测点的最或然值，ｒ为曲线的待定参数。
将占、叼分别用吒，儿表示，则观测方程可表示为｛．三２篓＋玑，待定参数尹＋ｔｏ示为ｉｌ，：Ｐ＋口：，待定参数尹对曲线的拟合方程线性处理，并令Ｖ＝（叱，氕）７，ｔ＝（％，ｔ１，…ｔ，）ＴＷ＝Ｆｏ（菇，Ｙ，ｔ），贝０有Ａｙ＋胁＋Ｗ＝０。
按求条件极值的拉格朗日乘数法，设其乘数为Ｋ＝（．｜｝。
ｋ…ｋ，）Ｔ组成函数中＝ＳＴＳ一２Ｋ７（ＡＶ＋晚＋形）。
由Ｓ＝ｖ石２＋７７２，有ｓ７Ｓ＝叱２＋ｔ，２ｙ＝（ｔｋ秽ｒ）×ｆ吼１：矿ｙ，ｅＰ①：矿ｙ一２Ｋ７（ＡＶ＋Ｂｔ＋形）（类似、以／于附有参数的条件平差）。
组成法方程为：ｒＡＡ７Ｋ＋成＋Ｗ：０｛ＢｒＫ＝ｏ（１）求得ｔ＝一（Ｂ７（ＡＡ７）一１Ｂ）一１Ｂｒ（ＡＡ７）一１Ｗ（２）ｙ＝一Ａ７（ＡＡ７）一１（Ｂｔ＋形）（３）拟合曲线参数的精度Ｑｒ＝（Ｂ７（ＡＡ７）一１Ｂ）一１（４）Ｄｒ＝盯２Ｑｒ（５）３曲线拟合的实例利用文献［１］中表６．２．１的第３组数据，采用传统的最／ｊ、－－乘拟合法求定曲线的待定参数，并按照本文的方法做进一步精化处理。
观测数据如下表ｌ所示，观测误差的协方差阵Ｄ＝Ｏ．３２，。
表ｌ数字化的Ｘ、ｙ坐标值第１期巨正平等：最佳曲线拟合·２７·３．１列观测方程取拟合曲线的方程为Ｙ＝Ａｏ＋Ａ。
Ｘ＋Ａ：酽＋Ａ，ｒ，采用曲线最小二乘回归法计算得到曲线方程中参数的近似值尹＝（Ａ：，Ａ：，４：Ａ：）＝（６．９８５２，２．０５２４，一０．２０１８．５．２６３３×１０。
）。
由ｌ，＝Ｐ＋ｔ，，，Ｘ＝ｒ＋ｔ，，，Ｔ＝ｔｏ＋ｔ，驴＝Ａ：＋钟Ｆ＋Ａ：Ｆ２＋Ａ；∥一Ｐ，对曲线的近似方程作线性处理，得到ＡＶ＋＆＋Ｗ＝０。
３．２计算ｒ根据式（２）Ｄｒ＝仃２（Ｂ７（ａａ７）。
１Ｂ）～＝０．１７０４３—０．０５０９９０．００４１５７—９．９５８２ｅ一００５ｔ＝一（Ｂ７（从７）’１Ｂ）一Ｂ７（ａａ７）～Ｗ＝０．０７７２‘一０．０３３７Ｏ．００３４—８．９５４９×１０—５ｒ：尹＋ｔ＝７．０６２４２．０１８７—０．１９８４５．１７３８×１０—３３．３精度评定由式（４）、式（５）可得一０．０５０９９０．０２２４７—０．００２１５５．６００７ｅ一００５３．４曲线拟合的质量比较对上列数据分别采用了普通最小二乘拟合法、最小二乘配置法‘５１以及本文提出的曲线拟合法进行了对比计算，其曲线拟合的中误差、均方差如下表２所示。
表２曲线拟合后的计算值比较１９＂２为曲线拟合的中误差，ＭＳＥ（艿）曲线拟合的均方差。
４结论通过实例分析不难看出，本文采用的曲线拟合法不仅改善了模型误差的影响，而且曲线的拟合精度较前两种方法都有了显著提高。
在理论０．００４１６０．００２１５２．２１５９ｅ一００４—６．０５９４ｅ—００６—９．９５８２ｅ—００５５．６００７—００５—６．０５９４ｅ一００６１．７０６６ｅ一００７上，克服了普通最小二乘法单方向进行拟合对估计曲线造成的影响，而且将观测点的纵、横坐标均应看作随机变量来处理，使得计算的结果更加真实、可靠。
参考文献：［１］蓝悦明．空间位置数据不确定性问题的若干理论研究［Ｄ］．武汉：武汉大学，２００３．［２］武汉大学测绘学院测量平差学科组．误差理论与测量平差基础［Ｍ］．武汉：武汉大学出版社，２００３．［３］曹德欣，曹璎珞．计算方法［Ｍ］．徐州：中国矿业大学出版社，２００１．［４］陶本藻，蓝悦明．数字化曲线的最佳拟合［Ｊ］．工程勘察，２００４，（３）．４６—４７．［５］蓝悦明，陶本藻．数字化曲线的最小二乘配置［Ｊ］．测绘通报，２００４，（５）：ｌ一３．［６］李雄军．对Ｘ和Ｙ方向最小二乘线性回归的讨论［Ｊ］．计量技术，２００５，（１）－５０—５３．［７］丁克良，欧吉坤，赵春梅．正交最／ｂ－－乘曲线拟合法［Ｊ］．测绘科学，２００７，（５）．１９－２１．最佳曲线拟合作者：巨正平， 郭广礼， 张书毕， 齐建伟， JU Zheng-ping， GUO Guang-li， ZHANG Shu-bi ， QI Jian-wei作者单位：中国矿业大学环境与测绘学院,江苏,徐州,221008;中国矿业大学资源环境信息工程重点实验室,江苏,徐州,221008刊名：江西科学英文刊名：JIANGXI SCIENCE年，卷(期)：2009，27(1)被引用次数：1次1.蓝悦明空间位置数据不确定性问题的若干理论研究[学位论文] 20032.武汉大学测绘学院测量平差学科组误差理论与测量平差基础 20033.曹德欣.曹璎珞计算方法 20014.陶本藻.蓝悦明数字化曲线的最佳拟合[期刊论文]-工程勘察 2004(03)5.蓝悦明.陶本藻数字化曲线的最小二乘配置[期刊论文]-测绘通报 2004(05)6.李雄军对X和Y方向最小二乘线性回归的讨论[期刊论文]-计量技术 2005(01)7.丁克良.欧吉坤.赵春梅正交最小二乘曲线拟合法[期刊论文]-测绘科学 2007(05)1.期刊论文齐宝权.QI Bao-quan采用中心化最小二乘法进行测井曲线拟合-测井技术2007,31(4)普通最小二乘法在测井曲线拟合过程中存在缺陷,拟合结果与期望结果存在一定差异.采用中心化最小二乘法效果大为改观.介绍了中心化最小二乘法的具体算法,通过曲线拟合实例比较了中心化最小二乘法与普通最小二乘法在曲线拟合中的优劣.采用普通最小二乘法和中心化最小二乘法分别通过3组数据进行了比较,中心化最小二乘法结果与期望结果更为吻合,表明中心化最小二乘法更稳定可靠.2.会议论文成亚勇.陈晓峰利用最小二乘法二次曲线拟合实现伪码跟踪2004设计方案结合最小二乘法二次曲线拟合算法与软件无线电工程实践实现伪码跟踪.阐述了最小二乘法二次曲线拟合算法的原理,伪码跟踪的实现方法和硬件的设计.3.期刊论文郑艳丽.张珣基于最小二乘法的实用堰流的曲线拟合-中国水运（下半月）2010,10(9)文中应用最小二乘法,利用Matlab工具对实用堰中一组实测数据进行了曲线拟合,得出了堰流流量Q及堰流流量系数K与堰顶水头H的函数关系,并对实验结果进行了分析,经验证和分析,此方法是正确可行的.4.期刊论文邵秀凤.李利.SHAO Xiu-feng.Li Li基于最小二乘法曲线拟合的油井产量预测-微型电脑应用2009,25(12)该文考虑了一种基于最小二乘法的曲线拟合方法,利用该方法对油井产量进行了预测,起到了辅助决策的作用.实际资料处理结果表明,此方法对油井产量预测问题具有良好的实用性和准确性.5.期刊论文徐国章.李宏海.李建华曲线拟合的最小二乘法在数据采集中的应用-冶金自动化2004,28(z1)介绍曲线拟合的最小二乘法的原理及公式推导,根据对数据采集系统的分析,提出此方法在数据采集中的应用.以Delphi编程为例给出最小二乘法直线拟合的实现代码.6.期刊论文周莹.ZHOU Ying最小二乘法在蓖麻油粘滞系数曲线拟合中的应用-中国科技信息2010,""(16)针对蓖麻油在不同温度的粘滞系数差别大,尚无粘滞系数与温度变化关系的曲线方程,论文提出了用最小二乘法来拟合蓖麻油粘滞系数的方法.根据国际公认的蓖麻油在几个特定温度下的粘滞系数标准值,利用最小二乘法来拟合粘滞系数与温度变化关系的曲线,通过实验测量计算出的蓖麻油在不同温度下的粘滞系数,来检验拟合曲线优劣.基于Matlab仿真工具,建立了蓖麻油粘滞系数与温度的仿真模型,结合实验测量结果和仿真结果,分析出三次多项式拟合能较好拟合粘滞系数与温度关系曲线.7.期刊论文陈良泽.CHEN Liang-ze用矩阵运算实现曲线拟合中的最小二乘法-传感器技术2001,20(2)介绍了一种用矩阵运算实现曲线拟合过程中的最小二乘法的方法，避免复杂的求偏导过程，使得曲线拟合计算变得十分容易，在仪器仪表和传感器标定中有很好的应用价值。