3描述函数法一．本质非线性特性的谐波线性化 1．谐波线性化具有本质非线性的非线性元件在正弦输入作用下在其非正弦周期函数的输出响应中假设只有基波分量有意义从而将本质非线性特性在这种假设下视为线性特性的一种近似 3．应用描述函数法分析非线性系统的前提 a 非线性特性具有奇对称心 b非线性系统具有图a所时的典型结构 c非线性部分输出xt中的基波分量最强 d非线性部分Gs的低通滤波效应较好 b非线性特性的描述函数的求取方法二．典型非线性特性的描述函数 1饱和特性的描述函数 2死区特性描述函数 3间隙特性的描述函数 1 引言第七章非线性控制系统分析非线性指元件或环节的静特性不是按线性规律变化非线性系统如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性静特性的元件或环节则称这类系统为非线性系统其特性不能用线性微分方程来描述一．控制系统中的典型非线性特性下面介绍的这些特性中一些是组成控制系统的元件所固有的如饱和特性死区特性和滞环特性等这些特性一般来说对控制系统的性能是不利的另一些特性则是为了改善系统的性能而人为加入的如继电器特性变增益特性在控制系统中加入这类特性一般来说能使系统具有比线性系统更为优良的动态特性非线性系统分析饱和特性 2死区特性危害使系统输出信号在相位上产生滞后从而降低系统的相对稳定性使系统产生自持振荡危害使系统输出信号在相位上产生滞后从而降低系统的相对稳定性使系统产生自持振荡 4继电器特性功能改善系统性能的切换元件 4继电器特性特点使系统在大误差信号时具有较大的增益从而使系统响应迅速而在小误差信号时具有较小的增益从而提高系统的相对稳定性同时抑制高频低振幅噪声提高系统响应控制信号的准确度本
质非线性不能应用小偏差线性化概念将其线性化非本质非线性可以进行小偏差线性化的非线性特二．非线性控制系统的特性 1对于线性系统描述其运动状态的数学模型量线性微分方程它的根本标志就在于能使用叠加原理而非线性系统其数学模型为非线性微分方程不能使用叠加原理由于两种系统特性上的这种差别所以它的运动规律是很不相同的目前还没有像求解线性微分方程那样求解非线性微分方程的通用方法而对非线性系统一般并不需要求解其输出响应过程通常是把讨论问题的重点放在系统是否稳定系统是否产生自持振荡计算机自持振荡的振幅和频率消除自持振荡等有关稳定性的分析上 2在线性系统中系统的稳定性只与其结构和参数有关而与初始条件无关对于线性定常系统稳定性仅取决于特征根在s平面的分布但非线性系统的稳定性除和系统的结构形式及参数有关外还和初始条件有关在不同的初始条件下运动的最终状态可能完全不同如有的系统初始值处于较小区域内时是稳定的而当初始值处于较大区域内时则变
出现更为复杂的情况 3在非线性系统中除了从平衡状态发散或收敛于平衡状态两种运动形式外往往即使无外作用存在系统也可能产生具有一定振幅和频率的稳定的等幅振荡自持振荡无外作用时非线性系统内部产生的稳定的等幅振荡称为自持振荡简称自振荡改变非系统的结构和参数可以改变自持振荡的振幅和频率或消除自持振荡对线性系统围绕其平衡状态只有发散和收敛两种运动形式其中不可能产生稳定的自持振荡 4在线性系统中输入为正弦函数时其输出的稳态分量也是同频率的正弦函数输入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所不同因此可以用频率响应来描述系统的固有特性而非线性系统输出的稳态分量在一般情况下并不具有与输入相同的函数形式三．非线性系统的研究方法
现在尚无一般的通用方法来分析和设计非线性控制系统对非本质非线性系统基于小偏差线性化概念来处理对本质非线性系统二阶系统相平面法高阶系统描述函数法 2相平面法相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确方法一．基本概念二．线性系统的相轨迹奇点相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值地确定的点称为奇点 6 三相轨迹的绘制 b直接积分法 2图解法 a等倾线法等倾线在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线四由相轨迹求时间解五．非线性系统的相平面分析 1．基本概念实奇点奇点位于对应的线性工作区域内虚奇点奇点位于对应的线性工作区域外极限环极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹所有极限环附近的相轨迹都将卷向极限环或从极限环卷出极限环内部或外部的相轨迹总是不可能穿过极限环而进入它的外部或内部 1稳定极限环在极限环附近起始于极限环外部或内部的相轨迹均收敛与该极限环这时系统表现为等幅持续振荡 2不稳定极限环在极限环附近的相轨迹是从极限环发散出去在这种情况下如果相轨迹起始于极限环内则该相轨迹收敛于极限环内的奇点如果相轨迹起始于极限环外则该相轨迹发散至无穷远 3半稳定极限环如果起始于极限环外部的相轨迹从极限环发散出去而起始于极限环内部各点的相轨迹收敛于极限环或者相反起始于极限环外部各点的相轨迹收敛于极限环而起始于极限环内部各点的相轨迹收敛于圆点一般非线性系统可用分段线性微分方程来描述在相平面的不同区域内代表该非线性系统运动规律的微分方程是线性的因而每个区域内的相轨迹都是线性系统的相轨迹仅在不同区域的边界上相轨迹要发生转换区域的边界线称为开关线或转换线因此一般非线性系统相轨迹实际上就是分段线性系统相轨迹我们只需做好相轨迹在开关线上的衔接工作用相平面法分析非线性系统的一般步骤 1将非线性特
性用分段的直线特性来表示写出相应线段的数学表达式 2首先在相平面上选择合适的坐标一般常用误差及其导数分别为横纵坐标然后将相平面根据非线性特性分成若干区域使非线性特性在每个区域内都呈线性特性 3确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置 4在各个区域内分别画出各自的相轨迹 5将相邻区域的相轨迹根据在相邻两区分界线上的点对于相邻两区具有相同工作状态的原则连接起来便得到整个非线性系统的相轨迹 6基于该相轨迹全面分析二阶非线性系统的动态及稳态特性例 2非线性系统方框图如图所示试取其系统在输入信号例3 式中线性区宽度线性区特性的斜率式中死区宽度 -线性输出的斜率式中间隙宽度间隙特性斜率变增益特性式中 -变增益特性斜率-切换点设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述 1 如果以和作为变量则可有 2 用第一个方程除第二个方程有
3 这是一个以为自变量以为因变量的方程如果能解出该方程则可以用2式把的关系计算出来因此对方程1的研究可以用研究方程3来代替如果把方程1看作质点的运动方程则代表质点的位置代表质点的速度因而也代表了质点的动量用和描述方程1的解也就是用质点的状态如位置和动量来表示质点的运动在物理学中这种不直接用时间变量而用状态变量表示运动的方法称为相空间法也称为状态空间法在自动控制理论中把具有直角坐标的和的平面称为相平面相平面是二维的状态空间设描述系统运动的微分方程为分别取和为相平面的横坐标和纵坐标上述方程为则上式代表描述二阶系统自由运动的相轨迹各点处的斜率在及即坐标原点00处的斜率为由此我们有奇点的定义 1无阻尼运动形式积分有 2欠阻尼运动形式 1解析法绘制相轨迹的关键在于找出和的关系用求解微分方程的办法找出的关系从而可在相平面上绘制相轨迹
这种方法称为解析法解析法分为 a消去参变量由直接解出通过求导得到在这
两个解中消去作为参变量的就得到的关系例设描述系统的微分方程为
其中M为常量已知初始条件求其相轨迹解积分有 1 再积
分一次有 2 由12式消去有 M1 M-1 上式可分解为则由可找出得关系在上式中由
可有积分有可见两种方法求出的相轨迹是相同的原理因故有
式中为相轨迹在某一点的切线的斜率令则 I 满足此方程的点出的斜率必
为有上式确定的关系曲线称为等倾线相轨迹必然以的斜率经过等倾线步骤 a
根据等倾线方程式I做出不同值的等倾线 b根轨初始条件确定相轨迹的起始点
c从起始点处的等倾线向相邻的第二条等倾线画直线它的斜率近似等于这两条
相邻等倾线斜率的平均值再从该直线与第二条等倾线的交点向相邻的第三条等
倾线画直线这段直线的斜率等于第二第三等倾线斜率的平均值如此继续下去即
可作出相轨迹 b法原理这里是单值连续函数式中适当选择值以使下面
定义的函数值在所讨论的取值范围内既不太大也不太小函数定义如下函数值
取决于变量和而当和变化很小时可以看作一个常量积分有这是一个以为圆
心以为半径的圆弧附近的相轨迹可用这段圆弧来代替做图步骤①在平面上根
据初始状态的坐标计算出②以为圆心过初始状态作一小段圆弧使系统的状态从
转移到③根据和求出后以为圆心作过的一段圆弧系统状态又以转移到 1根据
求时间解在坐标上在坐标上由图可见从相平面图上横坐标上选
取从相平面图上纵坐标上选取但应是对应的的平均值从相平面图上横坐标上
选取从相平面图上纵坐标上选取但应是对应的的平均值 2．根据求时间解以为
横坐标为纵坐标则有如下轨迹便是阴影部分的面积 3．根据圆弧近似求时间解
相轨迹上由A点运动到D点的时间为 1 2作用下的相轨迹并分析该系
统的特性初始状态解死区特性的数字表达式为线性部分微分方程为而故有根据死区特性系统可分为三个区 I区
II区 III区 1 三个区的微分部分分别为 I II III 在I区常量说明相轨迹是斜率为的直线或的横轴
在II区奇点为奇点正好位于III区分界线上令则有等倾线方程这里斜率为得直线方程过点同理在III区等倾线为起始坐标 2
渐近线实奇点虚奇点例1 求下列方程的奇点并确定奇点类型
1 2 解奇点故可由来确定奇点 1 令在奇点处将进行泰勒
Taylor级数展开故有特征方程故奇点为中心。