问题描述
则闭环系统(4) 变为： 令 τ ( t ) = t − kh ，则闭环系统 变为：
& x ( t ) = Ax ( t ) + BKx ( t − τ ( t ) ) + Dw ( t ) t ∈ [t0 , ∞ )
(5)
显然， ( t ) ∈ [τ k , h + τ k +1 ) ，故有 0 ≤ τ ( t ) < h + τ M ， ( t ) = 1，我们定义 η h + τ M 。 显然， τ τ& 的定义知，此时延不仅包括了传感器到控制器的时延， 注2 由 τ k 的定义知，此时延不仅包括了传感器到控制器的时延，还有控制器到 执行器的时延；既有传输时延，也有等待时延和处理时延；可能是时变的， 执行器的时延；既有传输时延，也有等待时延和处理时延；可能是时变的，大 于一个采样周期的，也可能是任意随机的时延。 于一个采样周期的，也可能是任意随机的时延。
控制器设计
第二种方法： 第二种方法：
引入新的矩阵变量S， 引入新的矩阵变量 ，使得
%% % PR −1 P > S
补引理知， 由Schur补引理知，(13)等价于 补引理知 等价于
(13)
% − R −1 % −1 P
这样我们便可得到如下结果： 这样我们便可得到如下结果：
% P −1 <0 −1 −S
% % % min trace RR + PP + SS
s.t. (16 ) , (17 )
R I I ≥0 % R P I I ≥0 % P
{
(
)}
S I I ≥0 S
(19)
下面根据文献[14]给出如下算法： 给出如下算法： 下面根据文献 给出如下算法
控制器设计
P,R
控制器设计
% % 定理2 对于满足扇区条件(2)的Lurie网络化控制系统，如果存在正定矩阵 P，R 定理 对于满足扇区条件 的 网络化控制系统， 网络化控制系统
% 和矩阵 X ，使得下式成立
% PAT
% % % % + AP − R BX + R ∗ ∗ ∗ % −R ∗ ∗
% 和矩阵 X ，使得下式成立
% PAT
% % % % + AP − R BX + R ∗ ∗ ∗ % −R ∗ ∗
% D − PC T ΘT 0 −2 I ∗
% η BX <0 T ηD % % R − 2P
% η PAT
( )
T
% % −1 可使系统(5)绝对稳定 绝对稳定。 则控制器 K = XP 可使系统 绝对稳定。
系统(3)变为： 系统 变为： 变为
(3)
& x ( t ) = Ax ( t ) + BKx ( kh ) + Dw ( t ) x ( t ) =φ ( t ) t ∈ [ t 0 − τ M , t0 ]
t ∈ kh + τ k , ( k + 1) h + τ k +1 )
(4)
τ kca
算法 1：
% % 使得(16)、(17)、(19)成立；设 k=0; 成立； 、 、 成立 步骤1： 步骤 ：寻找一组可行解 {R0 , R0 , P0 , P0 , S0 , S0 } ，使得 % % 的优化问题： 步骤2： 步骤 ：求解关于 {R, R , P, P , S , S } 的优化问题：
控制器设计
% P % 定理4 对于满足扇区条件(2)的 网络化控制系统， 定理 对于满足扇区条件 的Lurie网络化控制系统，如果存在正定矩阵 R ，,S 网络化控制系统
% 和矩阵 ，使得下面的条件成立 X
% PAT
% % % % + AP − R BX + R ∗ ∗ ∗ % −R ∗ ∗
第一种方法： 第一种方法：
% 必有： 注意到 R > 0 ，必有：
(
% % % % % R − P R −1 R − P ≥ 0 %% % % % − PR −1 P ≤ R − 2 P
) (
)
等价于
这样我们便可得到如下结果： 这样我们便可得到如下结果：
控制器设计
% % 定理3 对于满足扇区条件(2)的 网络化控制系统， 定理 对于满足扇区条件 的Lurie网络化控制系统，如果存在正定矩阵 P，R 网络化控制系统
以通过求解以下的优化问题得到： 以通过求解以下的优化问题得到：
max η
s.t. P > 0, R > 0, ( 6 ) .
上述问题可以转化为线性矩阵不等式中的广义特征值问题，利用 上述问题可以转化为线性矩阵不等式中的广义特征值问题，利用LMI工具箱中 工具箱中 求解器得到该问题的全局最优解。 的gevp求解器得到该问题的全局最优解。 求解器得到该问题的全局最优解
则系统(5)在 是绝对稳定的。 则系统 在 [t 0 , ∞ ) 是绝对稳定的。
η ( BK ) R <0 T ηD R −R
T
η AT R
(6)
稳定性分析
η 利用定理1，可以求出使系统(5)保持绝对稳定的最大允许时延界 注4 利用定理 ，可以求出使系统 保持绝对稳定的最大允许时延界 η 。 可
满足如下的扇区条件： ϕ (t, y ) 满足如下的扇区条件：
(1)
ϕ T ( t , y ) ϕ ( t , y ) − Θy ( t ) ≤ 0
(2)
τ kca
问题描述
做如下假设： 做如下假设：
系统状态是完全可测量的； 系统状态是完全可测量的； 传感器采用时间驱动，控制器和执行器采用事件驱动； 传感器采用时间驱动，控制器和执行器采用事件驱动； 数据采用单包传输，不考虑数据丢包和错序； 数据采用单包传输，不考虑数据丢包和错序； u(t) 通过零阶保持器实现，真实的控制输入为分段连续函数，第一个控制 通过零阶保持器实现，真实的控制输入为分段连续函数， 信号到达对象前 u(t)=0； ；
Lurie系统是一类非常重要的非线性控制系统，多数非线性物理系统可表示 系统是一类非常重要的非线性控制系统， 系统是一类非常重要的非线性控制系统 系统的结构形式， 成Lurie系统的结构形式，即一个线性系统和非线性单元的反馈连接，非线 系统的结构形式 即一个线性系统和非线性单元的反馈连接， 性部分满足一个扇区条件。 性部分满足一个扇区条件。
本文研究了Lurie网络化控制系统的绝对稳定性问题。 网络化控制系统的绝对稳定性问题。 本文研究了 网络化控制系统的绝对稳定性问题
问题背景
Lurie网络化控制系统结构图 网络化控制系统结构图
问题描述
考虑如下的Lurie系统： 系统： 考虑如下的 系统
x ( t ) = Ax ( t ) + Bu ( t ) + Dw ( t ) & y ( t ) = Cx ( t ) w ( t ) = −ϕ ( t , y ( t ) )
稳定性分析
定理1 对于满足扇区条件(2)的闭环系统 的闭环系统(5)， 定理 对于满足扇区条件 的闭环系统 ，如果存在正定矩阵 P 和 R，满足下 ， 述线性矩阵不等式
AT P + PA − R PBK + R PD − C T ΘT ∗ −R 0 ∗ ∗ −2 I ∗ ∗ ∗
一类非线性网络化控制系统的 绝对稳定性
问题背景
Halevi和Ray[3]考虑了连续时间线性对象和离散时间控制器的情况 和 考虑了连续时间线性对象和离散时间控制器的情况 象的状态方程离散化，利用状态增广的方法分析了 的稳定性。 象的状态方程离散化，利用状态增广的方法分析了NCSs的稳定性。 的稳定性 Nilsson[4] 给出了网络时滞为定常、独立随机和随机但服从马尔可夫链时的NCSs 给出了网络时滞为定常、独立随机和随机但服从马尔可夫链时的 模型，解决了不同模型下的LQG(Linear Quadratic Gaussian)优化控制问题。 优化控制问题。 模型，解决了不同模型下的 优化控制问题 Walsh[5]等利用摄动的方法考虑了以连续时间系统作为被控对象，采用连续 等利用摄动的方法考虑了以连续时间系统作为被控对象， 等利用摄动的方法考虑了以连续时间系统作为被控对象 的动态反馈控制器的NCSs的稳定性，给出了保证系统性能的最大允许传输间 的稳定性， 的动态反馈控制器的 的稳定性 隔(Maximum Allowable Transfer Interval，MATI)。 ， 。 W. Zhang[6]将NCSs建模为异步动态系统 建模为异步动态系统(Asynchronous Dynamic Systems， 将 建模为异步动态系统 ， ADS)，利用 关于ADS的结果分析了 的结果分析了NCSs存在数据丢包时系统的稳定 ，利用Hassibi[7]关于 关于 的结果分析了 存在数据丢包时系统的稳定 性。
% D − PC T ΘT 0 −2 I ∗
% η PAT % η BX −S
( )
T
η DT
<0
(16)
− R P <0 P −S % % SS = I RR = I PP = I
% % −1 可使系统(5)绝对稳定 绝对稳定。 则控制器 K = XP 可使系统 绝对稳定。
(17)
(18)
控制器设计
注意到定理4中含有等式约束 注意到定理 中含有等式约束(16)，定理 给出的条件不是一个凸优化问 中含有等式约束 ，定理4给出的条件不是一个凸优化问 题，无法直接使用数值软件求解。我们利用文献[14]中提出的锥补线性化 无法直接使用数值软件求解。我们利用文献 中提出的锥补线性化 (Cone Complementary Linear, CCL)的方法来求解，即定理 中的条件可以 的方法来求解， 的方法来求解 即定理4中的条件可以 转化为如下的优化问题： 转化为如下的优化问题：