定积分复习小结
一、教学目标：1、理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、体会运用分割、近似代替、求和、取极限的思想过程；3、掌握定积分的计算方法；4、利用定积分的几何意义会解决问题。
二、学法指导：1、重点理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、定积分的概念是运用分割、近似代替、求和、取极限的思想；3、重点掌握定积分的计算方法。
三、重点与难点：重点：理解并且掌握定积分算法；难点：利用定积分的几何意义解决问题。
四、教学方法：探究归纳，讲练结合 五、教学过程 （一）、知识闪烁
1、 解决面积、路程、做功问题3个问题一般通过对 自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值，分割的 ，估计值就也接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于 时，过剩估计值和不足估计值都趋于 ；误差趋于 。
2、定积分的定义思想：（1） (2) (3) (4) ; 3 、()1
lim
n
i
i
n i f x ξ→∞
=∆∑= ；其中⎰
叫做
a 叫做
b 叫做 ()f x 叫 ;
4、
()b
a
f x dx ⎰的几何意义 ；在x 轴上方的面积
取 ，在x 轴下方的面积取
()b
a
f x dx ⎰的几何意义 ；
()b
a
f x dx ⎰的几何意义 ；
()b
a
f x dx ⎰
，
()b
a
f x dx ⎰
，()b
a
f x dx ⎰的关系 ；
计算
()b
a
f x d x ⎰
时，若在],a b ⎡⎣上()0f x ≥则()b
a
f x dx ⎰= 若在],a b ⎡⎣上
()0
f x <()b
a
f x dx ⎰
= 若在],a c ⎡⎣上()0f x ≥，],c b ⎡⎣上()0f x <()b
a
f x dx ⎰=
5、定积分的性质：
1b a
dx ⎰= ()b
a
kf x dx ⎰
= ()()b
a f x g x dx ±⎡⎤⎣
⎦⎰=
（定积分对积分区间的可加性）
()b
a
f x dx ⎰=
6、如果连续函数()f x 是函数()F x 的导函数，即()f x = ，则有
()b
a
f x dx ⎰=
它叫做微积分基本定理，也称牛顿—莱布尼茨公式，()F x 是()f x 的 7、计算定积分
()b
a
f x dx ⎰= =()()F b F a -
8、若()f x 在[],a a -上连续，且是偶函数，则有()a
a
f x dx -=⎰
若()f x 在[]
,a a -上连续，且是奇函数，()a
a
f x dx -=⎰
（二）、方法点拨：
1、求由两条曲线围城的平面图形的面积的解题步骤：（1）、画出图形；（2）确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，为定积分的上下界；（3）确定被积函数函数，特别分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分公式求出定积分。
2、求简单旋转体体积的解题步骤：（1）画出旋转前的平面图形（将它转化为函数）；（2）确定轴截面的图形的范围；（3）确定被积函数；（4）v=()2b
a
f x dx π⎰
（三）、例题探究
例1、给出以下命题：（1）若
0)(>⎰
dx x f b
a
，则f (x )>0； （2）4sin 20
=⎰dx x π
;
（3）应用微积分基本定理，有
)1()2(1
2
1
F F dx x
-=⎰
, 则F (x )=ln x ； （4）f (x )的原函数为F (x )，且F (x )是以T 为周期的函数，则dx x f dx x f T
a T
a
⎰
⎰
+=)()(0
；
其中正确命题的个数为 （ ） 答案：B A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
学生练习，教师准对问题讲评。
例2、求由曲线2
2y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积。
2232123201
:(23)(32)1331(2)|(2)|32231x x dx x x dx
x x x x x x ⎰+-+⎰--=+-+--=1201解由题意知阴影部分的面积是:
S=
x
y
12
例3、如图所示，已知曲线2
1:C y x =与曲线()22:21C y x ax a =-+>交于点O 、A ，
直线()01x t t =<≤与曲线1C 、2C 分别相交于点D 、B ，连结,OD DA AB ,。
写出曲边四．．．边形．．
ABOD （阴影部分）的面积S 与t 的函数关系式()S f t =。
解：（Ⅰ）由22
,2,y x y x ax ⎧=⎨=-+⎩
得点()()20,0,,O A a a ．又由已知得()()22,2,,B t t at D t t -+． 故()()()222
20
112222
t
S x ax dx t t t at t a t =
-+-
+-+-⨯-⎰
()()3232
01132t x ax t t at a t ⎛⎫=-
+-+-+⨯- ⎪⎝⎭
3
2
332211232
t at t t at a t ⎛⎫=-+-+-+ ⎪⎝⎭
3
2216
t a t a t =
-+． ()()3221
016
S f t t at a t t ∴==-+<≤．
例4、物体A 以速度2
31v t =+在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5m 处以10v t =的速度与A 同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A 的走过的路程是多少？（时间单位为：s ，速度单位为：m/s ） 解：设A 追上B 时,所用的时间为0t 依题意有B 5A S S =+ 即
2
(31)105t t t dx tdx +=+⎰
⎰
3200055t t t +=+ 22000(1)5(1)t t t +=+ 0t =5 (s)
所以 A S =2
055t +=130 (m)
（四）、课堂练习：课本P95页复习题四A 组1、2
（五）、作业布置：课本P95页复习题四A 组4（1）、（8），5、10、11 五、教后反思：。