因式分解例题讲解及练习【例题精选】:(1)评析:先查各项系数(其它字母暂时不瞧),确定5,15,20得最大公因数就是5,确定系数就是5 ,再查各项就是否都有字母X,各项都有时,再确定X得最低次幂就是几,至此确认提取X2,同法确定提Y,最后确定提公因式5X2Y。

提取公因式后,再算出括号内各项。

解:=(2)评析:多项式得第一项系数为负数,应先提出负号,各项系数得最大公因数为3,且相同字母最低次得项就是X2Y解:===(3)(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a)评析:在本题中,y-x与x-y都可以做为公因式,但应避免负号过多得情况出现,所以应提取y-x解:原式=(y-x)(c-b-a)+(y-x)(2a+b-c)+(y-x)(b-2a)=(y-x)(c-b-a+2a+b-c+b-2a)=(y-x)(b-a)（4）(4)把分解因式评析:这个多项式有公因式2x3,应先提取公因式,剩余得多项式16y4-1具备平方差公式得形式解:=2=2=（5）(5)把分解因式评析:首先提取公因式xy2,剩下得多项式x6-y6可以瞧作用平方差公式分解,最后再运用立方与立方差公式分解。

对于x6-y6也可以变成先运用立方差公式分解,但比较麻烦。

解:=xy2(x6-y6)= xy2[]==(6)把分解因式评析:把(x+y)瞧作一个整体,那么这个多项式相当于(x+y)得二次三项式,并且为降幂排列,适合完全平方公式。

对于本例中得多项式切不可用乘法公式展开后再分解,而要注意观察分析,善于把(x+y)代换完全平方公式中得a,(6Z)换公式中得解:==(x+y-6z)2（7）(7)把分解因式评析:把x2-2y2与y2瞧作两个整体,那么这个多项式就就是关于x2-2y2与y2得二次三项式,但首末两项不就是有理数范围内得完全平方项,不能直接应用完全平方公式,但注意把首项系数提出后,括号里边实际上就就是一个完全平方式。

解:===（8）(8)分解因式a2-b2-2b-1评析:初瞧,前两项可用平方差公式分解。

采用“二、二”分组,原式=(a+b)(a-b)-(2b+1),此时无法继续分解。

再仔细瞧,后三项就是一个完全平方式,应采用“一、三”分组。

解:a2-b2-2b-1= a2-(b2-2b+1)=a2-(b+1)2=[a+(b+1)][a-(b+1)]=(a-b-1)(a+b+1) 一般来说,四项式“一、三”分解,最后要用“平方差”。

四项式“二、二”分组,只有前后两组出现公因式,才就是正确得分组方案。

（9）(9)把a2-ab+ac-bc分解因式解法一:a2-ab+ac-bc=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)解法二:a2-ab+ac-bc=(a2+ac)-(ab+bc)=a(a+c)-b(a+c) =(a-b)(a+c)（10）(10)把分解因式解法一:=)3yxy-x+=+yxyxx-xxy+x)(2(3))(()32(2-+=223()+解法二:=)x+-xxyxxy=-+--y-=+)3)32(2(2()(3)3xx2(2y32()x说明:例(2)与例(3)得解法一与解法二虽然分组不同,但却有着相同得内在联系,即两组中得对应系数成比例。

(2)题解法一1:1,解法二也就是1:1;(3)题解法一就是1:1,解法二就是2:(-3)(11) 分解因式评析:四项式一般先观察某三项就是否就是完全平方式。

如就是,就考虑“一、三”分组;不就是,就考虑“二、二”分组解法一:==解法二:==解法三:==（12）(12)分解因式(a-b)2-1-2c(a-b)+c2评析:本题将(a-b)瞧作一个整体,可观察出其中三项就是完全平方式,可以“一、三”分组解:(a-b)2-1-2c(a-b)+c2=[(a-b)2-2c(a-b)+c2]-1=[(a-b)-c]2-1=(a-b-c)2-1-(a-b-c+1)(a-b-c-1)(13)分解因式8a2-5ab-42b2 8a -21b解:8a2-5ab-42b2 a +2b=(8a-21b)(a+2b) -21ab+16ab=-5ab （14）(14)分解因式a6-10a3+16解:a6-10a3+16 a3 -2=( a3-2)( a3-8) a3-8=( a3-2)(a-2)(a2+2a+4) -8a3-2a3 =-10a3（15）(15)分解因式-x2+x+30解:-x2+x+30 (先提出负号) x +5=-( x2-x-30) x -6=-(x+5)(x-6) +5x-6x=-x（16）(16)分解因式12(x+y)2-8(x+y)-7解:12(x+y)2-8(x+y)-7 2(x+y) +1=[2(x+y)+1][6(x+y)-7] 6(x+y) -7=(2x+2y+1)(6x+6y-7) -14+6=8(17)把分解因式评析:此题就是一个五项式,它能否分组分解,要瞧分组后组与组之间就是否出现公因式或就是否符合公式。

本题注意到后三项当把-1提出后,实际上就是按立方差公式分解后得一个因式:解:===（18）(18)把分解因式评析:把瞧成一组符合完全平方公式,而剩下得三项把-1提出之后恰好也就是完全平方式,这样分组后又可用平方差公式继续分解。

解:===(19)分解因式评析:先不要把前面两个二次三项式得乘积展开,要注意到这两个二次三项式得前两项都就是这一显著特点,我们不妨设=a可得(a+1)(a+2)-6即a2+3a+2-6,即a2+3a-4,此时可分解为(a+4)(a-1) 解:====(20)把分解因式解:====(21)把分解因式评析:它不同于例3(1)得形式,但通过观察,我们可以对这两个二次三项式先进行分解,有。

它又回到例3(1)得形式,我们把第一项与第三项结合在一起,第二、四项结合在一起,都产生了(x2-3x) 解:=====(22)把分解因式评析:不要轻易展开前四个一次因式得积,要注意到常数有1×6=2×3=6 利用结合律会出现a2+6解:===(23)把(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9分解因式评析:不要轻易地把前四个一次因式得乘积展开,要注意到1+7=3+5,如果利用乘法结合律,把(x+1)(x+7)与(x+3)(x+5)分别乘开就会出现得形式,这就不难发现(x2+8x)作为一个整体a同时出现在两个因式中,即(a+7)(a+15)-9得形式,展开后有a2+22a+96,利用十字相乘,得到(a+6)(a+16)而分解。

解:(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9=[(x+1)(x+7)][(x+3)(x+5)]-9=以下同于例3==+96==(24)把x(x+1)(x+2)(x+3)-24分解因式评析:通过观察第一项与第四项两上一次式相乘出现(x2+3x),第二与第三个一次式相乘出现(x2+3x)。

可以设x2+3x=a,会有a(a+2)-24,此时已易于分解解:x(x+1)(x+2)(x+3)-24=[x(x+3)][(x+1)(x+2)]-24===(25)把分解因式评析:不要急于展开,通过观察前两项,发现它们有公共得x2+3x,此时把它瞧成一个整体将使运算简化。

解:==(26)把分解因式评析:我们可以观察到+前后得两项都有(a+b)与(c+d)。

据此可把它们瞧作为一个整体。

解:====(27)把分解因式评析:把(1+a)瞧成一个整体,第一项1与第二项a也合成一个整体(1+a)解:===(28)把分解因式评析:此题容易想到分组分解法,但比较困难,考虑到此时可设再用待定系数法求出m与n解:设= mn y m n x n m y xy x n y x m y x ++-+++-+=+++-)23()2(62)2)(32(22 比较两边对应系数 得到m+2n=2 ①-3n+2m=11 ②mn=-4 ③由①与② 得到m=4,n=-1 代入③也成立∴=(2x-3y+4)(x+2y-1)(29)把分解因式解:==(x+4y+m)(x-2y+n)=有 m+n=-4 ①4n-2m=-10 ②mn=3 ③由①与② 得到m=-3,n=-1 代入③也成立∴=(x+4y-3)(x-2y-1)(30)当x+y=2时,求得值评析:∵x+y=2这就是唯一得条件。

∴要从中找到x+y 或有关(x+y)得表达式解:=(x+y)()+6xy∵x+y=2∴原式===2=8(31)己知=2 求得值解:=∵=2∴原式=2[(2)2-3]=2(32)己知x-y=2,求得值解:== (x-y) -3a= (x-y) +2a∵x-y=a∴原式=初中因式分解得常用方法(例题详解)一、提公因式法、如多项式其中m叫做这个多项式各项得公因式, m既可以就是一个单项式,也可以就是一个多项式.二、运用公式法、运用公式法,即用写出结果.三、分组分解法、(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式:分析:从“整体”瞧,这个多项式得各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”瞧,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间得联系。

解:原式== 每组之间还有公因式！=思考:此题还可以怎样分组？此类型分组得关键:分组后,每组内可以提公因式,且各组分解后,组与组之间又有公因式可以提。

例2、分解因式:解法一:第一、二项为一组; 解法二:第一、四项为一组;第三、四项为一组。

第二、三项为一组。

解:原式= 原式== == =练习:分解因式1、2、(二)分组后能直接运用公式例3、分解因式:分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。

解:原式===例4、分解因式:解:原式===注意这两个例题得区别！练习:分解因式3、4、综合练习:(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11)(12)四、十字相乘法、(一)二次项系数为1得二次三项式直接利用公式——进行分解。

特点:(1)二次项系数就是1;(2)常数项就是两个数得乘积;(3)一次项系数就是常数项得两因数得与。

例5、分解因式:分析:将6分成两个数相乘,且这两个数得与要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6),从中可以发现只有2×3得分解适合,即2+3=5。

1 2解:= 1 3= 1×2+1×3=5用此方法进行分解得关键:将常数项分解成两个因数得积,且这两个因数得代数与要等于一次项得系数。

例6、分解因式:解:原式= 1 -1= 1 -6(-1)+(-6)= -7练习5、分解因式(1) (2) (3)练习6、分解因式(1) (2) (3)(二)二次项系数不为1得二次三项式——条件:(1)(2)(3)分解结果:=例7、分解因式:分析: 1 -23 -5(-6)+(-5)= -11解:=练习7、分解因式:(1) (2)(3) (4)(三)二次项系数为1得齐次多项式例8、分解因式:分析:将瞧成常数,把原多项式瞧成关于得二次三项式,利用十字相乘法进行分解。