模块： 九、二次曲线 课题： 1、圆的方程 教学目标： 掌握圆的定义，掌握圆在直角坐标系中的标准方程的推导过程，理解圆的有关
概念及简单的几何特性，掌握求圆的方法，并能够根据曲线与方程的关系解决简单的直线与圆有两个交点情况下的有关问题；
能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，
并能利用解析法解决相应的几何问题．
重难点： 圆的轨迹定义、标准方程、一般方程；用代数方法研究几何问题的方法． 一、 知识要点
1、圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．
2、圆的标准方程：圆心为(),a b ，半径为r 的圆的标准方程为2
2
2
)()(r b y a x =-+-
方程中有三个参量a b r 、、，因此三个独立条件可以确定一个圆． 3、圆的一般方程：二次方程2
2
0x y Dx Ey F ++++=（*）配方得：
22
224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++=
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，其中22
40D E F +->，其中，半径是2422F E D r -+=
，圆心坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛--22
E D
，
叫做圆的一般方程． （1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：2
2
x y 、项系数相等且不为零，没有xy 项 （2）当2
2
40D E F +-=时，方程（*）表示点,22D E ⎛⎫
-
- ⎪⎝
⎭； 当2
2
40D E F +-<时，方程（*）不表示任何图形．
（3）根据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程． 4、二元二次方程2
2
0Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件
若二元二次方程2
2
0Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆，则有0A C =≠，0B =，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分．
在0A C =≠，0B =时，二元二次方程化为22
0D E F
x y x y A A A
++++=， 仅当22
40D E AF +->时表示圆．
故2
20Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是： ①0A C =≠，②0B =，③22
40D E AF +->．
5、经过两个圆交点的圆系方程
经过01112
2
=++++F y E x D y x ，02222
2
=++++F y E x D y x 的交点的圆系方
程是：0)(2222
211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ()1λ≠-．
若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程． 6、经过直线与圆交点的圆系方程
0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ
7、确定圆需三个独立的条件
（1）标准方程： 2
2
2
)()(r b y a x =-+-， 半径圆心，----r b a ),(． （2）一般方程：02
2
=++++F Ey Dx y x ，（)042
2
>-+F E D ，
,)2
,2(圆心----E
D 2
422F
E D r -+=——半径．
二、
例题精讲
例1、（1）求过点()2,3A -、()2,5B --，且圆心在直线230x y --=上的圆的方程． （2）已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为()2,1A ，()1,2B ，()2,3C ，求ABC ∆外接圆的方程．
例2、设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线:20l x y -=的距离最小的圆的方程．
例3、已知方程()(
)2
2
2
4
232141690x y t x t
y t
+-++-++=()t R ∈的图形是圆．
（1） 求t 的取值范围；
（2） 求其中面积最大的圆的方程；
（3） 若点()
23,4P t 恒在所给圆内，求t 的取值范围．
例4、在平面直角坐标系xOy 中，二次函数()()2
2f x x x b x R =++∈与两坐标轴有
三个交点，记过三个交点的圆为圆C ． （1） 求实数b 的取值范围； （2） 求圆C 的方程；
（3） 圆C 是否经过定点（与b 的取值无关）？证明你的结论．
例5、已知
()()22
:234C x y -+-=，直线()():22178l m x m y m +++=+．
（1） 证明：直线l 与C 恒相交；
（2） 求直线l 被C 截得的线段长的最小值及此时l 的方程．
例6、求过直线240x y -+=和圆2
2
2410x y x y ++-+=的交点．
（1） 且经过原点的圆的方程； （2） 且有最小面积的圆的方程．
例7、已知
2221:2450C x y mx y m +-++-=，222:22C x y x my ++-2
m +30-=，m 为何值时，（1）1C 与2C 相外切；（2）1C 与2C 内含．
例8、已知圆C ()2
2
:21x y ++=，(),P x y 为圆上任一点．
（1） 求
2
1
y x --的最大、最小值； （2） 求2x y -的最大、最小值． 三、
课堂练习
1、在ABC ∆中，点()6,0A ，()6,0B -，顶点C 在圆2
2
36x y +=上移动，则ABC
∆
的重心的轨迹方程为 ．
2、已知圆2
2
82120x y x y +--+=内部一点()3,0A ，经过点A 的弦中，最长的弦
和最短的弦所在直线的方程分别为 ．
3、已知点P
为曲线,
x y αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩()0απ≤≤上的点，则点P 与点()0,1Q -的距离
的最大值为 ．
4、点P 在圆2
2
84110x y x y +--+=上，点Q 在圆2
2
4210x y x y ++++=上，则
PQ 的最小值为 ．
5、若直线20x y m ++=按向量()1,2a =--平移后与圆2
2
:240C x y x y ++-=相
切，则实数m 的值为 ．
6、过点()2,4M -作圆()()22
:2125C x y -+-=的切线l ，直线1:320l ax y a ++=与l 平行，则1l 与l 之间的距离是 ．
四、 课后作业 一、填空题
1、圆()()22
1316x y -++=关于直线10x y ++=对称的圆的方程是 ． 2、与直线3410x y +-=垂直，且与圆()()22
121x y +++=相切的直线方程是 ．
3、为()2,1-的圆在直线10x y --=上截得的弦长
为，则此圆方程为 ．
4、点()3,0P 是圆2
2
82120x y x y +---=内一点，在过点P 的弦中，最短的弦所在
的直线方程是 ．
5、已知P 是直线3480x y ++=上动点，PA 、PB 是圆2
2
2210x y x y +--+=的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为 ．
6、圆2
2
420x y x y c +-++=与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若90APB ︒∠=，
则c 的值为 ．
二、选择题
7、设集合(
){}
(){},|0,,|M x y y y N x y y x b =
=
≠==+，
若M N ≠∅，
则b 满足（ ）
A 、b ≤
B 、3b -<≤
C 、0b <≤
D 、3b ≤≤8、将直线20x y λ-+=沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆2
2
24x y x y
++-0=相切，则实数λ的值为（ ） A 、3-或7 B 、2-或8
C 、0或10
D 、1或11
9、圆2
2
44100x y x y +---=上的点到直线140x y +-=的最大距离与最小距离的差是（ ）
A 、36
B 、18
C 、
D 、
三、解答题
10、根据下列条件求圆的方程：
（1）圆心在原点，且圆周被直线34150x y ++=分成1：2两部分；
（2）与两平行直线1:210l x y --=、2:290l x y -+=均相切，且圆心在直线
3210x y ++=上；
（3）过点()4,1A -，且与已知圆2
2
2650x y x y ++-+=相切与点()1,2B 的圆的方
程．
11、已知点()4,2P 和圆方程2
2
10x y +=，过P 点作圆的两条切线，切点为A 、B ．
（1）求切点弦AB 所在的直线方程；
（2）过点P 作圆的任意割线，交圆于点C 、D ，求CD 中点E 的轨迹方程．
12、设实数x y 、满足方程：2
2
86210x y x y +--+=． （1）当3x ≠时，求1
3
y P x +=
-的取值范围； （2）求2S x y =-的最大值与最小值；
（3）求2
2
10226T x y x y =+-++的最大值与最小值．。