人工智能原理实验报告模拟退火算法解决TSP问题目录1 旅行商问题和模拟退火算法........................................... 错误!未定义书签。

旅行商问题................................................................... 错误!未定义书签。

旅行商问题的描述................................................. 错误!未定义书签。

模拟退火算法............................................................... 错误!未定义书签。

基本思想................................................................. 错误!未定义书签。

2 TSP模拟退火算法的实现................................................ 错误!未定义书签。

TSP算法实现............................................................... 错误!未定义书签。

TSP算法描述......................................................... 错误!未定义书签。

TSP算法流程......................................................... 错误!未定义书签。

TSP的C实现 .............................................................. 错误!未定义书签。

加载数据文件......................................................... 错误!未定义书签。

计算总距离的函数................................................. 错误!未定义书签。

交换城市的函数..................................................... 错误!未定义书签。

执行模拟退火的函数............................................. 错误!未定义书签。

实验结果......................................................................... 错误!未定义书签。

小结................................................................................. 错误!未定义书签。

3源代码................................................................................ 错误!未定义书签。

1 旅行商问题和模拟退火算法旅行商问题 旅行商问题的描述旅行商问题（Traveling Salesman Problem ，简称TSP ）又名货郎担问题，是威廉·哈密尔顿爵士和英国数学家克克曼于19世纪初提出的一个数学问题，也是著名的组合优化问题。

问题是这样描述的：一名商人要到若干城市去推销商品，已知城市个数和各城市间的路程（或旅费），要求找到一条从城市1出发，经过所有城市且每个城市只能访问一次，最后回到城市1的路线，使总的路程（或旅费）最小。

TSP 刚提出时，不少人认为这个问题很简单。

后来人们才逐步意识到这个问题只是表述简单，易于为人们所理解，而其计算复杂性却是问题的输入规模的指数函数，属于相当难解的问题。

这个问题数学描述为：假设有n 个城市，并分别编号，给定一个完全无向图G=（V ，E ），V={1，2，…，n}，n>1。

其每一边(i,j)∈E 有一非负整数耗费 C i,j (即上的权记为C i,j ，i ，j ∈V)。

并设1,i j 0{ij X =边（，）在最优线路上， 其他G 的一条巡回路线是经过V 中的每个顶点恰好一次的回路。

一条巡回路线的耗费是这条路线上所有边的权值之和。

TSP 问题就是要找出G 的最小耗费回路。

模拟退火算法模拟退火算法由KirkPatrick 于1982提出[7]，他将退火思想引入到组合优化领域,提出一种求解大规模组合优化问题的方法，对于NP-完全组合优化问题尤其有效。

模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其缓慢降温(即退火)，使之达到能量最低点。

反之，如果急速降温(即淬火)则不能达到最低点。

加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而缓慢降温时粒子渐趋有序，在每个温度上都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。

根据Metropolis 准则，粒子在温度T 时趋于平衡的概率为exp(-E/(kT))，其中E 为温度T 时的内能，∆E 为其改变量，k 为Boltzmann 常数。

用固体退火模拟组合优化问题，将内能E 模拟为目标函数值f ，温度T 演化成控制参数t ，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i 和控制参数初值t 开始，对当前解重复产生“新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t 值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。

退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t 及其衰减因子a 、每个t 值时的迭代次数L 和停止条件C 。

基本思想模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解3部分。

其基本思想是：(1)初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态s(是算法迭代的起点)，每个T 值的迭代次数L ；(2)对k=1，……，L 做第(3)至第6步； (3)产生新解s′；(4)计算增量cost=cost(s′)-cost(s)，其中cost(s)为评价函数；（1-1）(5)若t′<0则接受s′作为新的当前解，否则以概率exp(-t′/T)接受s′作为新的当前解； (6)如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。

终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法；(7)T 逐渐减少，且T 趋于0，然后转第2步运算。

具体如下（1）新解的产生和接受模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下4个步骤：①由一个函数从当前解产生一个位于解空间的新解。

为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等。

产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

②计算与新解所对应的目标函数差。

因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。

事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。

③判断新解是否被接受。

判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is 准则：若t′<0则接受S′作为新的当前解S ，否则以概率exp(-t′/T)接受S′作为新的当前解S 。

④当新解被确定接受时，用新解代替当前解。

这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。

此时，当前解实现了一次迭代，可在此基础上开始下一轮试验。

而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。

模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。

（2）参数控制问题模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP 完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下3点[7]：①温度T 的初始值设置。

温度T 的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一。

初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。

实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。

②温度衰减函数的选取。

衰减函数用于控制温度的退火速度，一个常用的函数为：(1)()T t T t α+=式中是一个非常接近于1的常数，t 为降温的次数。

③马尔可夫链长度L 的选取。

通常的原则是：在衰减参数T 的衰减函数已选定的前提下，L 的选取应遵循在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡的原则。

2 TSP 模拟退火算法的实现TSP 是典型的组合优化问题，模拟退火算法是一种随机性解决组合优化方法。

将TSP 与模拟退火算法相结合，以实现对其求解。

TSP 算法实现 TSP 算法描述（1）TSP 问题的解空间和初始解TSP 的解空间S 是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是所有城市排列的集合。

TSP 问题的解空间S 可表示为{1,2,…,n}的所有排列的集合，即S = {(c 1,c 2,…,c n ) | ((c 1,c 2,…,c n )为{1,2,…,n}的排列）}，其中每一个排列S i 表示遍访n 个城市的一个路径，c i = j 表示在第i 次访问城市j 。

模拟退火算法的最优解与初始状态无关，故初始解为随机函数生成（1-2）一个{1,2,…,n}的随机排列作为S 0。

（2）目标函数TSP 问题的目标函数即为访问所有城市的路径总长度，也可称为代价函数：()()()11211,1,,,n n i i n i C c c c d c c d c c ++==+∑…，现在TSP 问题的求解就是通过模拟退火算法求出目标函数C(c 1,c 2,…,c n )的最小值，相应地，s *= (c *1,c *2,…,c *n )即为TSP 问题的最优解。

（3）新解产生新解的产生对问题的求解非常重要。

新解可通过分别或者交替用以下2种方法产生： ①二变换法：任选序号u,v(设u <v <n)，交换u 和v 之间的访问顺序，若交换前的解为s i = (c 1,c 2,…,c u ,…,c v ,…,c n ),交换后的路径为新路径，即：s i ′= (c 1,…,c u-1,c v ,c v-1,…,c u+1,c u ,c v+1,…,c n )②三变换法：任选序号u,v 和ω(u≤v <ω)，将u 和v 之间的路径插到ω之后访问，若交换前的解为s i = (c 1,c 2,…,c u ,…,c v ,…,c ω,…,c n )，交换后的路径为的新路径为：s i ′= (c 1,…,c u-1,c v+1,…,c ω,c u ,…,c v ,c ω+1,…,c n ) （4）目标函数差计算变换前的解和变换后目标函数的差值： Δc′= c(s i ′)- c(s i )（5）Metropolis 接受准则根据目标函数的差值和概率exp(-ΔC′/T)接受s i ′作为新的当前解s i ，接受准则：'''1,0exp(/)0{c c T c p -∆<-∆ , -∆>=TSP 算法流程根据以上对TSP 的算法描述，可以写出用模拟退火算法解TSP 问题的流程图2-1所示：（2-1）（2-2）图2-1 TSP的模拟退火流程TSP的C实现加载数据文件下面是加载数据文件的一个例子：中国31省会城市数据：[1304 2312;3639 1315;4177 2244;3712 1399;3488 1535;3326 1556;3238 1229;4196 1044;4312 790;4386 570;3007 1970;2562 1756;2788 1491;2381 1676;1332 695;3715 1678;3918 2179;4061 2370;3780 2212;3676 2578;4029 2838;4263 2931;3429 1908;3507 23763394 2643;3439 3201;2935 3240;3140 3550;2545 2357;2778 2826;2370 2975];当调用数据文件函数时，包含城市坐标信息的矩阵载入到数组中。