第三章 函数的应用
〖〗方程的根与函数的零点
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：
方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．
3、函数零点的求法：
求函数)(x f y =的零点：
○
1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○
2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
○3零点定理法：如果函数)(x f y =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数)(x f y =在区间[,]a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =。
这个c 也就是方程()0f x =的根
4、二次函数的零点：
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．
１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．
２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．
〖〗用二分法求方程的近似解
○1对于在区间[,]a b 上连续不断、且()()0f a f b ⋅<的函数)(x f y =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
○
2用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤： 1） 确定区间[,]a b ，验证()()0f a f b ⋅<，给定精确度ε；
2） 求区间(,)a b 的中点1x ；
3） 计算1()f x ；
（1） 若1()0f x =，则1x 就是函数的零点；
（2） 若1()()0f a f x ⋅<，则令1b x =（此时零点01(,)x a x ∈）；
（3） 若1()()0f x f b ⋅<，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）。
4） 判断是否达到精确度ε：即若||a b ε-<，则得到零点近似值a （或b ）；否则
重复2~4。
〖〗函数模型及其应用
几类常见的函数模型，一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数。
基础练习 一、选择题 1、下列函数有2个零点的是（ ）
A 、2
4510y x x =+- B 、310y x =+
C 、235y x x =-+-
D 、2441y x x =-+ 2、用二分法计算23380x x +-=在(1,2)x ∈内的根的过程中得：
(1)0f <，(1.5)0f >，(1.25)0f <，则方程的根落在区间（ ）
A 、(1,1.5)
B 、(1.5,2)
C 、(1,1.25)
D 、(1.25,1.5)
3、一商店把货物按标价的九折出售，仍可获利20%，若该货物的进价为每件21元，则 每件的标价应为（ ）
A 、元
B 、28元
C 、元
D 、30元
4、某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进 货价），则该家具的进货价是（ ）
A 、108元
B 、105元
C 、106元
D 、118元
5、若方程0x a x a --=有两个解，则实数a 的取值范围是（ ）
A 、(1,)+∞
B 、(0,1)
C 、(0,)+∞
D 、Φ
6、给右图的容器甲注水，下面图像中哪一个图像可以大致刻画容器中水的高度与时间的 函数关系：（ ）
A B 7、方程12x x +=根的个数为（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
8、假设银行1年定期的年利率为2%，某人为观看2008年的奥运会，从2001年元旦开始在银行存款1万元，存期1年，第二年元旦再把1万元和前一年的存款本利和一起作为本金再存1年定期存款，以后每年元旦都这样存款，则到2007年年底，这个人的银行存款共有（精确到）（ ）
时间 水高 0
时间 水高
0 时间 水高
0 时间 水高 0 A
B C D 容器甲
A 、 万元
B 、万元
C 、万元
D 、万元
二、填空题
9、函数222()(1)(2)(23)f x x x x x =-+--的零点是 （必须写全所有的零点）。
10、若1()x f x x
+=，则方程(4)f x x =的根为 。
11、若镭经过100年，质量便比原来减少%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则y
与x 的函数关系式为y ＝ 。
12、已知函数()f x 的图象是连续不断的，有如下,()x f x 对应值表：
则函数()f x 在区间 有零点。
三、解答题
13、有一块长为20cm ，宽为12cm 的矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，
然后折成一个无盖的盒子，写出这个盒子的体积V 与边长x 的函数关系式，并讨论这个函数的定义域。
14、某地兴修水利挖渠，其渠道的横截面为等腰梯形，腰与水平线的夹角为60°，设横截面
周长为定值m ，问渠道深h 为多少时，可使其流量最大
15、某厂生产一种新型的电子产品，为此更新专用设备和请专家设计共花去了200000元，
生产每件电子产品的直接成本为300元，每件电子产品的售价为500元，产量x 对总
成本C
、单位成本P 、销售收入R 以及利润L 之间存在什么样的函数关系表示了什么实际含义
16、写一段小作文来说明下图中的图象所对应的函数的实际意义
17、纳税是每个公民应尽的义务，从事经营活动的有关部门必须向政府税务部门交纳一定每月的营业额
征税情况 1000元以下（包括1000元）
300元 超过1000元 1000元以下（包括1000元）部分征收300元，
超过部分的税率为4% （1）写出每月征收的税金y （元）与营业额x （元）之间的函数关系式；
（2）某饭店5月份的营业额是35000元，这个月该饭店应缴纳税金多少
18、WAP 手机上网每月使用量在500分钟以下（包括500分钟）按30元记费，超过500
0 5
5 10 20 15
分钟按元/分钟记费。
假如上网时间过短，在1分钟以下不记费，1分钟以上（包括1分钟）按元/分钟记费。
WAP 手机上网不收通话费和漫游费。
（1）小周12月份用WAP 手机上网20小时，要付多少上网费
（2）小周10月份付了90元上网费，那么他这个月用手机上网多少小时
（3）你会选择WAP 手机上网吗你是用那一种方式上网的
知识拓展
1．已知函数f (x )＝2x －x 2
，问方程f (x )＝0在区间[－1，0]内是否有解
2．函数f(x)＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx 2－ax －1的零点．
3．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的零点是－2和3，当x ∈(－2,3)时，f (x )<0，且f (－
6)＝36，求二次函数的解析式．
4．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在(－∞，0]上递增，函数f (x )的一个零点为－12
，求满足f (log 14x )≥0的x 的取值集合．
1. [解析] 因为f (－1)＝2－1－(－1)2＝－12
<0， f (0)＝20－02＝1>0， 而函数f (x )＝2x －x 2
的图象是连续曲线，所以f (x )在区间[－1,0]内有零点，即方程f (x )＝0在区间[－1,0]内有解．
2. 【解析】 由题意知方程x 2－ax －b ＝0的两根分别为2和3，
∴a＝5，b ＝－6，∴g(x)＝－6x 2－5x －1.
由－6x 2－5x －1＝0得x 1＝－12，x 2＝－13
. ∴函数g(x)的零点是－12，－13
. 3. [解析] 由条件知f (x )＝a (x ＋2)(x －3)且a >0 ∵f (－6)＝36，∴a ＝1 ∴ f (x )＝(x ＋2)(x －3) 满足条件－2<x <3时，f (x )<0.
∴f (x )＝x 2
－x －6.
4. [解析] ∵－12是函数的零点，∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝0， ∵f (x )为偶函数，∴f (12)＝0， ∵f (x )在(－∞，0]上递增，f (log 14
x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， ∴0≥log 14
x ≥－12，∴1≤x ≤2， ∵f (x )为偶函数，
∴f (x )在[0，＋∞)上单调减，
又f (log 14
x )≥f (12)， ∴0≤log 14
x ≤12，∴12≤x ≤1，∴12≤x ≤2. 故x 的取值集合为{x |12
≤x ≤2}．。