《三角函数》【知识网络】一、任意角的概念与弧度制1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角2、同终边的角可表示为{}()360k k Z ααβ︒=+∈x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈ y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα︒︒+<<+∈第二象限角：{}()90360180360k k k Z αα︒︒+<<+∈ 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα︒︒+<<+∈ 第四象限角：{}()270360360360k k k Z αα︒︒+<<+∈4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角 第一象限角：{}()036090360k k k Z αα︒︒+<<+∈锐角：{}090αα<< 小于90的角：{}90αα<任意角的概念弧长公式 角度制与 弧度制 同角三角函数的基本关系式 诱导 公式 计算与化简 证明恒等式任意角的 三角函数 三角函数的 图像和性质 已知三角函数值求角和角公式 倍角公式 差角公式 应用应用 应用 应用应用 应用 应用5、若α为第二象限角，那么2α为第几象限角？ ππαππk k 222+≤≤+ππαππk k +≤≤+224,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k所以2α在第一、三象限6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad .7、角度与弧度的转化：01745.01801≈=︒π 815730.571801'︒=︒≈︒=π8、角度与弧度对应表： 角度 0︒ 30︒ 45︒ 60︒90120︒ 135︒ 150︒ 180︒ 360︒弧度6π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π2π9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=⨯；面积：21122S l R R α=⨯=⨯，注意：这里的α均为弧度制.二、任意角的三角函数1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan yxα=其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，22r x y =+.2、三角函数值对应表：3、三角函数在各象限中的符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c ”）度0 30 45 60 90 120 135 150 180︒270360弧度6π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π32π 2πsin α 01222 32132 22121 0cos α132 22 1212- 22- 32- 1- 0 1tan α 03313无 3-1-33-无ry)(x,αPsin α tan α cos α 第一象限：0,0.>>y x sin α>0,cos α>0,tan α>0, 第二象限：0,0.><y x sin α>0,cos α<0,tan α<0, 第三象限：0,0.<<y x sin α<0,cos α<0,tan α>0, 第四象限：0,0.<>y x sin α<0,cos α>0,tan α<0,4、三角函数线设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P (,)x y ， 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向 延长线交于点T.由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====， c o s 1x x x OM r α====， tan y MP ATAT x OM OAα====．我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。

5、同角三角函数基本关系式22sin cos 1αα+=o x y M T P A o x y M T P A xy o M T P A x yo M T P A （Ⅳ） （Ⅱ） （Ⅰ） （Ⅲ）sin tan tan cot 1cos ααααα=⇒= ααααcos sin 21)cos (sin 2+=+ ααααcos sin 21)cos (sin 2-=-(ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin ∙，三式之间可以互相表示)6、诱导公式口诀：奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是απ+2n 中整数n 的奇偶性，把α看作锐角)212(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n n co n απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数；212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n n co n απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数. ①.公式（一）：α与()2,k k Z απ+∈απαsin )2sin(=+k ；απαcos )2cos(=+k ；απαtan )2tan(=+k②.公式（二）：α与α-()sin sin αα-=-；()cos cos αα-=；()tan tan αα-=-③.公式（三）：α与πα+()sin sin παα+=-；()cos cos παα+=-；()tan tan παα+=④.公式（四）：α与πα-()sin sin παα-=；()cos cos παα-=-；()tan tan παα-=-⑤.公式（五）：α与2πα+sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭；cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭； ⑥.公式（六）：α与2πα-sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭；cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭； ⑦.公式（七）：α与32πα+ 3sin cos 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭；3cos sin 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭；⑧.公式（八）：α与32πα- 3sin cos 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；三、三角函数的图像与性质1、将函数sin y x =的图象上所有的点，向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y A x ωϕ=+的图象。

2、函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>的性质： ①振幅：A ；②周期：2T πω=；③频率：12f T ωπ==；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ。

3、周期函数：一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，T 叫做该函数的周期.4、⑴)sin(ϕω+=x A y 对称轴：令2x k πωϕπ+=+，得ωϕππ-+=2k x对称中心：πϕωk x =+，得ωϕπ-=k x ，))(0,(Z k k ∈-ωϕπ；⑵)cos(ϕω+=x A y 对称轴：令πϕωk x =+，得ωϕπ-=k x ；对称中心：2ππϕω+=+k x ，得ωϕππ-+=2k x ，))(0,2(Z k k ∈-+ωϕππ；⑶周期公式:①函数sin()y A x ωϕ=+及cos()y A x ωϕ=+的周期ωπ2=T (A 、ω、ϕ为常数，且A≠0).②函数()φω+=x A y tan 的周期ωπ=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0). 5、三角函数的图像与性质表格sin y x =cos y x =tan y x =函 数 性 质图像定义域 R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k Z ∈时，max 1y =；当22x k ππ=-()k Z ∈时，min 1y =-．当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当2x k ππ=+()k Z ∈时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上是减函数．在[]()2,2k k k Z πππ-+∈上是增函数； 在[]2,2k k πππ+()k Z ∈上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k Z ∈上是增函数．对称性对称中心()(),0k k Z π∈ 对称轴()2x k k Z ππ=+∈对称中心(),02k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ 对称轴()x k k Z π=∈对称中心(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭无对称轴6. 五点法作)sin(ϕω+=x A y 的简图，设ϕω+=x t ，取0、2π、π、23π、π2来求相应x 的值以及对应的y 值再描点作图。

7. )sin(ϕ+ω=x A y 的的图像8. 函数的变换：（1）函数的平移变换①)0)(()(>±=→=a a x f y x f y 将)(x f y =图像沿x 轴向左（右）平移a 个单位 （左加右减）②)0()()(>±=→=b b x f y x f y 将)(x f y =图像沿y 轴向上（下）平移b 个单位 （上加下减）（2）函数的伸缩变换：①)0)(()(>=→=w wx f y x f y 将)(x f y =图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的w1倍（1>w 缩短， 10<<w 伸长） ②)0)(()(>=→=A x Af y x f y 将)(x f y =图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A 倍（1>A 伸长，10<<A 缩短） （3）函数的对称变换：① )()(x f y x f y -=→=) 将)(x f y =图像绕y 轴翻折180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于x 轴对称）② )()(x f y x f y -=→=将)(x f y =图像绕x 轴翻折180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于y 轴对称）③)()(x f y x f y =→= 将)(x f y =图像在y 轴右侧保留，并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）④)()(x f y x f y =→=保留)(x f y =在x 轴上方图像，x 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局部翻动）四、三角恒等变换1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式： (1）βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ (2）βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- (3）βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ (4）βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- (5）βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ ⇒ ()()t a n t a n t a n 1t a n t a nαβαβαβ+=+- (6）βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- ⇒ ()()t a n t a n t a n 1t a n t a nαβαβαβ-=-+ (7) sin cos a b αα+=22sin()a b αϕ++(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,2222sin ,cos ,tan b a baa b a b ϕϕϕ===++ ，该法也叫合一变形). (8))4tan(tan 1tan 1θπθθ+=-+ )4tan(tan 1tan 1θπθθ-=+-2. 二倍角公式（1）a a a cos sin 22sin =（2）1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a （3）aaa 2tan 1tan 22tan -=3. 降幂公式：（1）22cos 1cos 2a a +=（2） 22cos 1sin 2a a -=4. 升幂公式（1）2cos 2cos 12αα=+ （2）2sin2cos 12αα=-（3）2)2cos 2(sin sin 1ααα±=± （4）αα22cos sin 1+= （5）2cos2sin 2sin ααα=5. 半角公式（符号的选择由2θ所在的象限确定） （1）2cos 12sinaa -±=， （2）2cos 12cos a a +±= ， （3）a a a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±=6. 万能公式:（1）2tan 12tan2sin 2ααα+=, （2）2tan 12tan 1cos 22ααα+-=, （3）.2tan 12tan2tan 2ααα-=7.三角变换：三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。