苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习正方形（提高）【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：【典型例题】类型一、正方形的性质1、如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别在OD 、OC 上，且DE ＝CF ，连接DF 、AE ，AE 的延长线交DF 于点M ．求证：AM⊥DF．【思路点拨】根据DE ＝CF ，可得出OE ＝OF ，继而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE＝∠ODF，然后利用等角代换可得出∠DME＝90°，即得出了结论．【答案与解析】证明：∵ABCD 是正方形，∴OD＝OC ，又∵DE＝CF ，∴OD－DE ＝OC －CF ，即OE ＝OF ，在Rt △AO E 和Rt △DOF 中，AO DO AOD DOF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE≌△DOF，∴∠OAE＝∠ODF，∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，∴∠ODF＋∠DEM＝90°，即可得AM⊥DF．【总结升华】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是通过全等的证明得出∠OAE＝∠ODF，利用等角代换解题．举一反三：【变式1】如图四边形ABCD 是正方形，点E 、K 分别在BC ，AB 上，点G 在BA 的延长线上，且CE ＝BK ＝AG ．以线段DE 、DG 为边作DEFG ．(1)求证：DE ＝DG ，且DE ⊥DG ．(2)连接KF ，猜想四边形CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．【答案】证明：(1)∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°．又∵ CE＝AG，∴△DCE≌△DAG，∴∠EDC＝∠GDA，DE＝DG．又∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠ADE＋∠GDA＝90°，∴ DE⊥DG．(2)四边形CEFK为平行四边形．证明：设CK，DE相交于M点，∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴ AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG；∵ BK＝AG，∴ KG＝AB＝CD．∴四边形CKGD为平行四边形．∴ CK＝DG＝EF，CK∥DG∥EF∴四边形CEFK为平行四边形．【 417083 正方形例9】【变式2】如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．【答案】2；提示：阴影部分面积等于正方形面积的一半.类型二、正方形的判定2、（2016•普宁市模拟）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分別在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2．（1）已知DG=6，求AE的长；（2）已知DG=2，求证：四边形EFGH为正方形．【思路点拨】（1）先根据矩形的性质，利用勾股定理列出表达式：HG2=DH2+DG2，HE2=AH2+AE2，再根据菱形的性质，得到等式DH2+DG2=AH2+AE2，最后计算AE的长；（2）先根据已知条件，用HL判定Rt△DHG≌Rt△AEH，得到菱形的一组邻边相等，进而判定该菱形为正方形．【答案与解析】解：（1）∵AD=6，AH=2∴DH=AD﹣AH=4∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠D=90°∴在Rt△DHG中，HG2=DH2+DG2在Rt△AEH中，HE2=AH2+AE2∵四边形EFGH是菱形∴HG=HE∴DH2+DG2=AH2+AE2即42+62=22+AE2∴AE==4（2）∵AH=2，DG=2∴AH=DG∵四边形EFGH是菱形∴HG=HE在Rt△DHG和Rt△AEH中∴Rt△DHG≌Rt△AEH（HL）∴∠DHG=∠AEH∵∠AEH+∠AHE=90°∴∠DHG+∠AHE=90°∴∠GHE=90°∵四边形EFGH是菱形∴四边形EFGH是正方形【总结升华】本题主要考查了矩形、菱形的性质以及正方形的判定，解决问题的关键是掌握：矩形的四个角都是直角，菱形的四条边都线段，有一组邻边相等的菱形是正方形．在解题时注意，求直角三角形的边长时，一般都需要考虑运用勾股定理进行求解．举一反三：【变式】（2015春•上城区期末）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF．（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面积．【答案】（1）证明：∵四边形EFGH为菱形，∴HG=EH，∵AH=2，DG=2，∴DG=AH，在Rt△DHG和△AEH中，，∴Rt△DHG≌△AEH，∴∠DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AHG=90°，∴∠DHG+∠AHG=90°，∴∠GHE=90°，∵四边形EFGH为菱形，∴四边形EFGH为正方形；（2）解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，∵四边形EFGH为菱形，∴HE=GF，HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠QGF，在△AEH和△QGF中，∴△AEH≌△QGF，∴AH=QF=2，∵DG=6，CD=8，∴CG=2，∴△FCG 的面积=CG•FQ=×2×2=2．类型三、正方形综合应用3、E 、F 分别是正方形ABCD 的边AD 和CD 上的点，若∠EBF ＝45°．(1)求证：AE ＋CF ＝EF ．(2)若E 点、F 点分别是边DA 、CD 的延长线上的点，结论（1）仍成立吗？若成立，请证明，若不成立，写出正确结论并加以证明．【答案与解析】证明：（1）延长DC ，使CH ＝AE ，连接BH ，∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ ∠A ＝∠BCH ＝90°，又AB ＝BC ，CH ＝AE ，∴ Rt △BAE ≌Rt △BCH ，∴ ∠1＝∠2，BE ＝BH ．又∵ ∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠4＝45°，∴ ∠1＋∠3＝45°，∠2＋∠3＝45°，在△EBF 和△HBF 中，,,,BEBH EBF HBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △EBF ≌△HBF ，∴ EF ＝FH ＝FC ＋CH ＝AE ＋CF ．即AE ＋CF ＝EF ．(2)如图所示：不成立，正确结论：EF ＝CF －AE ．证明：在CF 上截取CH ＝AE ，连接BH ．∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ 在Rt △EAB 和Rt △HCB 中，90AE CH EAB HCB AB BC =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩,°,,∴ Rt △EAB ≌Rt △HCB ，∴ BE ＝BH ，∠EBA ＝∠HBC ．∵ ∠HBC ＋∠ABH ＝90°，∴ ∠EBA ＋∠ABH ＝90°．又∵ ∠EBF ＝45°，∴ ∠HBF ＝45°，即∠EBF ＝∠HBF ．在△EBF 和△HBF 中,,,BE BH EBF HBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △EBF ≌△HBF ，∴ EF ＝FH ＝CF －CH ＝CF －AE ，即EF ＝CF －AE ．【总结升华】本题主要考察正方形的性质，全等三角形的性质和判定，关键在于用“截长补短”的方法正确地作出辅助线.4、如图①所示，已知A 、B 为直线l 上两点，点C 为直线l 上方一动点，连接AC 、BC ，分别以AC 、BC 为边向△ABC 外作正方形CADF 和正方形CBEG ，过点D 作1DD ⊥l 于点1D ，过点E 作1EE ⊥l 于点1E ．（1）如图②，当点E 恰好在直线l 上时（此时1E 与E 重合），试说明1DD ＝AB ；（2）在图①中，当D 、E 两点都在直线l 的上方时，试探求三条线段1DD 、1EE 、AB 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，当点E 在直线l 的下方时，请直接写出三条线段1DD 、1EE 、AB 之间的数量关系．（不需要证明）【答案与解析】（1）证明：∵四边形CADF 、CBEG 是正方形，∴AD＝CA ，∠DAC＝∠ABC＝90°，∴∠1DAD ＋∠CAB＝90°，∵1DD ⊥AB，∴∠DD 1A ＝∠ABC＝90°，∴∠1DAD ＋∠1ADD ＝90°，∴∠1ADD ＝∠CAB，在△1ADD 和△CAB 中，11DD A ABC ADD CAB AD CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△1ADD ≌△CAB（AAS ），∴1DD ＝AB ；（2）解：AB ＝1DD ＋1EE ．证明：过点C 作CH⊥AB 于H ，∵1DD ⊥AB，∴∠1DD A ＝∠CHA＝90°，∴∠1DAD ＋∠1ADD ＝90°，∵四边形CADF 是正方形，∴AD＝CA ，∠DAC＝90°，∴∠1DAD ＋∠CAH＝90°，∴∠1ADD ＝∠CAH，在△1ADD 和△CAH 中，11DD A CHA ADD CAH AD CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△1ADD ≌△CAH（AAS ），∴1DD ＝AH ；同理：1EE ＝BH ，∴AB＝AH ＋BH ＝1DD ＋1EE ；（3）解：AB ＝1DD －1EE ．证明：过点C 作CH⊥AB 于H ，∵1DD ⊥AB，∴∠1DD A ＝∠CHA＝90°，∴∠1DAD ＋∠1ADD ＝90°，∵四边形CADF 是正方形，∴AD＝CA ，∠DAC＝90°，∴∠1DAD ＋∠CAH＝90°，∴∠1ADD ＝∠CAH，在△1ADD 和△CAH 中，11DD A CHA ADD CAH AD CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△1ADD ≌△CAH（AAS ），∴1DD ＝AH ；同理：1EE ＝BH ，∴AB＝AH －BH ＝1DD －1EE ． 【总结升华】此题考查了正方形的性质与全等三角形的判定与性质．注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．举一反三：【变式】在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF ⊥AB 交BD 于点F ，取FD 的中点G ，连接EG 、CG ，如图①，易证EG ＝CG ，且EG ⊥CG ．(1)将△BEF 绕点B 逆时针旋转90°，如图②，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想．(2)将△BEF 绕点B 逆时针旋转180°，如图③，则线段EG 和CG 又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想，并加以证明．【答案】解：(1)EG ＝CG ，且EG ⊥CG ．(2)EG＝CG，且EG⊥CG．证明：延长FE交DC延长线于M，连MG，如图③，∵∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，∴四边形BEMC是矩形．∴ BE＝CM，∠EMC＝90°，又∵ BE＝EF，∴ EF＝CM．∵∠EMC＝90°，FG＝DG，∴ MG＝12FD＝FG．∵ BC＝EM，BC＝CD，∴ EM＝CD．∵ EF＝CM，∴ FM＝DM，∴∠F＝45°．又FG＝DG，∠CMG＝12∠EMD＝45°，∴∠F＝∠GMC，∴△GFE≌△GMC，∴ EG＝CG，∠FGE＝∠MGC，∵ MG⊥DF，∴∠FGE＋∠EGM＝90°，∴∠MGC＋∠EGM＝90°即∠EGC＝90°，∴ EG⊥CG．。