22
dblquad
∫ ∫
c
d
b
a
f ( x , y )dxdy
积分： 抛物线法计算二重积分： dblquad
dblquad(f,a,b,c,d,tol)
tol 为计算精度，若不指定，则缺省精度为 10-6 为计算精度，若不指定， f 可以是： 可以是： 字符串； 定义的内联函数； 字符串；inline 定义的内联函数；函数句柄 的积分区间， [a,b] 是 第一积分变量 的积分区间， [c,d] 是 第二积分变量 的积分区间
n x i −1 + x i x i −1 + x i f( )∆xi = h∑ f ( ) 2 2 i =1
矩形法举例
例：用不同的矩形法计算下面的定积分 ( 取 n=100 )， ，
并比较这三种方法的相对误差。 并比较这三种方法的相对误差。
dx I=∫ 0 1 + x2
1
解：a=0, b=1, n=100
x4
相加即得： 相加即得：
∫
b a
f ( x )dx = ∑ ∫
i =1 n
n
x2 i x2 i − 2
f ( x )dx
b−a ( y2 i − 2 + 4 y2 i −1 + y2 i ) ≈∑ i =1 6 n
15
抛物线法
整理后可得： 整理后可得：
∫
b
a
b−a f ( x )dx ≈ [ y0 + y2 n + 4( y1 + y3 + ⋯ + y2 n−1 ) 6n + 2( y2 + y4 + ⋯ + y2 n− 2 )]
在区间 [x0, x2] 上，用过以下三点
P0 ( x0 , y0 ), P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )
的抛物线来近似原函数 f (x) 。 抛物线来近似原函数 用抛物线代替该直线， 抛物线代替该直线， 代替该直线 计算精度是否会更好？ 计算精度是否会更好？
13
抛物线法
数学实验
实验二 定积分的近似计算
1
定积分的近似计算
问题背景和实验目的
定积分计算的基本公式是牛顿－莱布尼兹公式。 定积分计算的基本公式是牛顿－莱布尼兹公式。但当 被积函数的原函数不知道时，如何计算？ 被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利 近似计算。特别是在许多实际应用中， 用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至 没有解析表达式，而是一条实验记录曲线， 没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散 的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。 的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。 本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、 本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、 梯形法和抛物线法。 梯形法和抛物线法。同时介绍 Matlab 计算定积分的相 关函数。 关函数。
左点法
右点法
中点法
5
矩形法
∆x1 x0 = 步长 x1 ∆ x2 x2
∫
⋯⋯
∆ xi x i −1 xi
b
a
f ( x )dx ≈ ∑ f ( ξ i )∆xi
i =1
n
⋯⋯
⋯⋯
∆ xn x n −1 = xn 节点
⋯⋯
b − a x = a + ih, i = 1, 2 ,… n ∆xi = h = i n
7
矩形法举例
相对误差分析
dx = arctan x 理论值： 理论值：∫0 2 1+ x
1
1 0
π = 4
0.78789399673078 − π / 4 ≈ 0.003178 π/4 0.78289399673078 − π / 4 右点法相对误差： 右点法相对误差： ≈ 0.003188 π/4 中点法相对误差： 中点法相对误差： 0.78540024673078 − π / 4 ≈ 2.653 × 10 -6 π/4
1
解： a=0, b=1, n=100, f (x) = 1/( 1+x2 ) ==> h =1/100=0.01, xi = i*h, yi = f (xi) ==>
yn dx y0 ∫0 1 + x 2 ≈ h 2 + y1 + ⋯ + yn−1 + 2
1
≈ 0.78539399673078
x2
x2 − x0 b−a (y0 + 4y1 + y2 ) = (y0 + 4 y1 + y2 ) = 6 6n
14
抛物线法
同理可得： 同理可得：
b−a ∫ x2 f ( x )dx ≈ 6n ( y2 + 4 y3 + y4 ) ⋯ ⋯ x2 n b−a ∫ x2 n−2 f ( x )dx ≈ 6n ( y2n−2 + 4 y2n−1 + y2n )
n n i =1
n
∫
∫
∫
b
a
b
f ( x )dx ≈ ∑ f ( xi -1 )∆xi = h∑ f ( xi −1 )
i =1
左点法 右点法 中点法
fuluA.m6
a
b
f ( x )dx ≈ ∑ f ( xi )∆xi = h∑ f ( xi )
i =1
n
n
i =1
a
f ( x )dx ≈ ∑
i =1
设过以上三点的抛物线方程为： 设过以上三点的抛物线方程为： y = α x2 + β x + γ = p1(x) 则在区间 [x0, x2] 上，有
∫
x2 x0
f ( x )dx ≈ ∫
3 2
x2 x0
p1 ( x )dx = ∫ x ( α x 2 + β x + γ )dx
0
x2
αx βx 3 3 2 2 = + + γ x = α ( x2 − x0 ) + β ( x2 − x0 ) + γ ( x2 − x0 ) 3 2 2 x0 3 x2 − x0 2 2 ( αx0 + βx0 + γ ) + ( αx2 + βx2 + γ ) = 6 +α( x2 + x0 ) 2 + 2β( x2 + x0 ) + 4 γ
yi −1 + yi Si ≈ ∆xi yi = f ( xi ), i = 1, 2,… , n 2
整个曲边梯形的面积： 整个曲边梯形的面积： 曲边梯形的面积
S = ∫ f ( x )dx
b
= ∑ Si
i =1 n
a n
Si
≈∑
i =1
yi −1 + yi ∆xi 2
10
梯形法
如果我们 n 等分区间 [a,b]，即令： ，即令： b−a ∆x1 = ∆x2 = ⋯ = ∆xn h= n n n n b yi −1 + yi yi −1 + yi f ( x )dx = ∑ Si ≈ ∑ 则 S= ∆xi = h∑
抛物线法公式 或 辛卜生 (Simpson) 公式
fuluC.m
16
抛物线法
例：用抛物线法计算下面定积分 ( 取 n=100 )，并计算相对误差 ，
dx I=∫ 0 1 + x2
1
解： a=0, b=1, n=100, yi = f (xi) = 1/( 1+xi2 )
dx b−a ≈ [ y0 + y2 n + 4( y1 + y3 + ⋯ + y2 n−1 ) ==> ∫0 2 1+ x 6n +2( y2 + y4 + ⋯ + y2 n− 2 )]
.*
./
.\
.^
将自变量看成是向量 将自变量看成是向量
21
quad 举例
计算定积分： 例：用 quad 计算定积分：
dx I=∫ 0 1 + x2
1
解：
>> quad('1./(1+x.^2)',0,1) >> quad('1./(1+x.^2)',0,1,1e-10) >> quad('1./(1+x.^2)',0,1,1e-16) 括起来！ 函数表达式一定要用 单引号 括起来！ 涉及的运算一定要用 数组运算！
∫
b
a
i =1
i =1
2
i =1
2
==>
∫
a
yn y0 f ( x )dx = h + y1 + ⋯ + yn−1 + 2 2
梯形公式
fuluB.m
梯形公式与中点公式有什么区别 ?
11
梯形法举例
例：用梯形法计算下面定积分 ( 取 n=100 )，并计算相对误差 ，
dx I=∫ 0 1 + x2
前面的 做法 trapz 函数
yn dx b − a y0 ∫0 1 + x 2 ≈ n 2 + y1 + y2 + ⋯ + yn−1 + 2
1
>> x=0:1/100:1; >> y=1./(1+x.^2); >> trapz(x, y)
trapz(x,1./(1+x.^2))
18
trapz
trapz