x 2 x0 ba y0 y2 4 y1 y0 4 y1 y2 . 6 6n
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社

1
(x x )
1
x0
2 3 ( x2 x0 ) 1 ( x 2 x0 )
*§6 定积分的近似计算
同样地在[ x2 i 2, x2 i ]上用 pi ( x ) i x 2 i x i 替代
二、抛物线法
由梯形法求定积分的近似值, 当 y f ( x ) 为凸曲 线时数值偏大, 为凹曲线时数值偏小. 用抛物线法可克服上述缺点. 将积分区间 [a, b] 作 2n 等分,分点为:
a x0 x1 x2 n ba b, Δxi . 2n
相应的被积函数的值记为 y0 , y1 ,, y2 n ( yi f ( xi ), i 0,1,,2n), 曲线 y f ( x ) 上相应的点记为 P0 , P1 ,, P2 n ( Pi ( xi , yi ), i 0,1,,2n).


b
a
f ( x )dx f ( xi 1 )Δxi .
i 1
在几何意义上,这是用一系列小矩形来近似小曲边
梯形面积的结果, 所以把这个近似计算法称为矩形 法. 矩形法的精度较差，通常使用下面着重介绍的 两种方法.
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*§6 定积分的近似计算
0.6
0.7352941
0.7
0.6711409
0.8
0.6097561
0.9
0.5524862
1
0.5
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*§6 定积分的近似计算
(1) 用矩形法公式
dx 1 0 1 x 2 10 ( y0 y1 y9 ) 0.8099 1 (或 ( y1 y2 y10 ) 0.7600). 10
曲线 y f ( x ) 上相应的点记为 将曲线上每一段 Pi 1 Pi 用 Pi 1 Pi 替代, 这使每个小
曲边梯形换成了梯形, 其面积为
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*§6 定积分的近似计算
y i 1 y i Δxi , i 1, 2, , n. 2
于是,整个曲边梯形面积的近似值为
n

即
b
a
f ( x )dx
i 1
y i y i 1 Δxi , 2

b
a
yn b a y0 f ( x )dx ( y1 yn 1 ) , n 2 2
以上近似式称为定积分的梯形法公式.
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*§6 定积分的近似计算
数学分析 第十章 定积分的应用
*§6 定积分的近似计算
利用牛顿 - 莱布尼茨公式虽然可以精确计算 定积分的值,但它仅适合被积函数的原函数能够求 出的情形.我们这里介绍定积分的近似计算方法.
*§6 定积分的近似计算
根据定积分的定义,

或
b
a
f ( x )dx f ( xi )Δxi ,
i 1 n
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*§6 定积分的近似计算
现把区间 [ x0 , x2 ] 上的曲线 y f ( x ) 用通过三点 P0 ( x0 , y0 ), P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )
2 p ( x ) x 1 x 1 来近似替代, 便有 的抛物线 1 1
x
x2
0
f ( x )dx
3 2 3 0
x2 x0
p1 ( x )dx (1 x 2 1 x 1 )dx
x2
3 2 x 2 x0 2 2 [(1 x0 1 x0 1 ) (1 x2 1 x2 1 ) 6 1 ( x0 x2 )2 21 ( x0 x2 ) 4 1 ]
1
2( y2 y4 y8 )) 0.7853982.
与精确值
dx π 0 1 x 2 4 0.78539816
1
相比较， 矩形法只有一位有效数字是准确的; 梯形法有三位有效数字是准确的; 而抛物线法有六位有效数字是准确的.
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一、梯形法
将积分区间 [a, b] 作 n 等分,分点为
ba a x0 x1 xn b, Δxi . n 相应的被积函数值记为
y0 , y1 ,, yn P0 , P1 ,, Pn ( yi f ( xi ), i 0,1,, n), ( Pi ( xi , yi ), i 0,1,, n).
1
(2) 用梯形法
y10 dx 1 y0 0 1 x 2 10 ( 2 y1 y9 2 ) 0.7850.
1
(3) 用抛物线法
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*§6 定积分的近似计算
dx 1 0 1 x 2 30 ( y0 y10 4 y1 y3 y9
曲线 y f ( x ), 将得到
x
x2 i
2i2
f ( x )dx
x2 i x2 i 2
ba pi ( x )dx y2 i 2 4 y2 i 1 y2 i . 6n
n x2 i x2 i 2
最后得到

b
a
f ( x )dx
i 1
f ( x )dx
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*§6 定积分的近似计算
dx 例 计算 0 2 的近似值. 1 x
1
解 将区间 [0, 1] 十等分，各分点上被积函数的值列 表如下：
xi yi xi yi
0 1 0.1 0.9900990 0.2 0.9615385 0.3 0.9174312 0.4 0.8620690 0.5 0.8000000
ba y0 y2 n 4( y1 y3 y ) 即 f ( x )dx 2 n 1 a 6n 2( y2 y4 y2 n2 ) . 这就是抛物线公式，亦称为辛普森公式.
b
ba n ( y2 i 2 4 y2 i 1 y2 i ). 6n i 1