式中，负号表示为压应力；正号表示为为拉应力。
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(三) 拉（压）杆斜截面上的应力
1、斜截面上的应力 F

k k
F
以 pα表示斜截面 k - k上的应力，于是 有: F k p A F F=F
A A cos
F F
k
p
F F p cos cos A A
FR
F1=40kN F2=55kN F3=25kN F4=20kN
A ① B ②C 50 ⊕ -5
FN,max FN 2 50 kN
D ③
④
E
N
(kN)
10
20
轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。
思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图 发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？
30 N
(kN)
10 10
⊕
A=500mm2
(2) 应力计算：
AB
FN1 10 103 N 20 MPa 2 6 A 500 10 m
BC
CD
FN2 10 103 N 20 MPa 6 2 A 500 10 m
FN3 30 103 N 60 MPa 2 6 A 500 10 m
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A
40kN B 55kN 25kN 600
20kN
300 C 500 D 400 E 1800
FR
F1=40kN F2=55kN F3=25kN F4=20kN
A ① B ②C D ③ ④ E
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FR
F1=40kN F2=55kN F3=25kN F4=20kN
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将应力 pα分解为两个分量：

沿截面法线方向的正应力
α

p
p cos cos
2

沿截面切线方向的剪应力

p sin
2、符号的规定

2
sin2
pα
从x轴逆时针转到a截面的外法线n时,a为正值， 反之为负值。
k
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一、变形与应变的概念 1.变形 当力作用在物体上时，将引起物体形状及体积 的变化，这种变化被称之为变形。 实际构件的变形一般都是非常微小的，需使用 相关仪器做精确测量才能观察到，其变形远小于构 件的原始尺寸。由于变形极其微小，因此在计算构 件的受力平衡时，可以按构件的原始尺寸进行计算， 从而使问题的计算简化。
的符号与轴力FN 的符号相同。 当轴力为正号时（拉伸），正应力也为正号，称为拉应 力 ;当轴力为负号时（压缩），正应力也为负号，称为压 应力 。 该公式的适应范围： ① 适用于等截面直杆，对于横截面平缓变化的拉、 压杆可近似使用，但对横截面聚然变化的拉、压杆不 能用；
② 要遵循以下的圣维南原理。即只在杆上离外力作 用点稍远的部分才正确，而在外力作用点附近，由于杆 端连接方式的不同，其应力情况比较复杂。
x 20
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一、应力的概念
(一)应力定义：
F1
F2
应力:内力集度。 ΔA:围绕点取的小面积。
pav △A内平均应力： F A
F3 F1 ΔFS ΔA K F2 p ΔF
FNΒιβλιοθήκη FnF lim K点的应力：p A 0 A
FN lim 正应力： A 0 A
FN
O
x
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F (c)
F (f)
轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面位置的关系。
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例2-3试作此杆的轴力图。
A
40kN B 55kN 25kN 600
20kN
300 C 500 D 400 E 1800
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A
解：
40kN B 55kN 25kN 600
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注：固有内力：分子内力.它是由构成物体的材料的物理 性质所决定的.(物体在受到外力之前，内部就存在着内 力); 附加内力：在原有内力的基础上，又添加了新的内 力。内力与变形有关。 材料力学通常所指的内力就是这种附加内力。 根据可变形固体的连续性假设，内力在物体内连续分布。 内力特点: 1、有限性； 2、分布性； 3、成对性。
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(三)应力特点：
1. 应力是矢量; 2. 同一横截面上，不同点处的应力一般不同 3. 过同一点，不同方位截面上的应力一般不同
(四)应力单位：
1 Pa 1 N/m2
（Pa－Pascal 帕） （M－Mega 兆）
1 MPa 106 Pa 1 N/mm 2
1 GPa 109 Pa 1 kN/mm2
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2.应变
•
构件的形状是用它各部分的长度和角度来表 示。因此构件的变形也可以归结为长度的改变 和角度的改变，即线变形和角变形。构件整体 的变形并不能准确地描述构件的变形程度，为 了准确描述杆件的变形程度，引入另外一个概 念：应变。
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正应变 设一正方形物体（如图）边AB的原长为Δx，受 力变形后长度为Δx+Δu ，长度改变量为Δu，则Δu与 Δx的比值称为边AB的平均正应变或平均线应变，记为 εm，即
20kN
300 C 500 D 400 E 1800 F1=40kN F2=55kN F3=25kN
FR
A ① B ②C D ③ ④
为求轴力方便，先求出约束力 ∑X=0 -FR-F1+F2-F3+F4=0
F4=20kN
E
FR=10kN
为方便，取横截面1－1左边为分 离体，假设轴力为拉力，得 FN1=FR=10 kN(拉力)
A ① B ②C F1=40kN B ② D ③ ④ E
10kN A
FN2 FN2=50 kN(拉力) F3=25kN FN3
③ D E
为方便取截面3－3右边为分 离体，假设轴力为拉力。 FN3=-5 kN （压力） 同理，FN4=20 kN (拉力)
F4=20kN F4=20kN
FN4
④ E
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FN
轴力指向截 面FN=-F m
F
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３．轴力图(Axial force diagram) 用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆 轴线的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截 面位置关系的图线，称为轴力图 . 将正的轴力画在x轴上侧，负 的画在x轴下侧.
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F
一.内力的概念
外力：外部周围对所考虑系统的作用力。 它包括： ①载荷(如图中F)与 ②约束力(如图中RA , RB)在内。 分类：1.表面力，体力； 2.集中力，分布力； 3.静力，动载力。
A RA
F C B
RB
材料力学中所研究的内力——物体内各质点间原来 相互作用的力由于物体受外力作用而改变的量。
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2. 平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面， 仅仅沿轴线方向平行移动了一个距离。 结论：每条纵向纤维的力学性能相同，其受力也应 相同，因此横截面上的正应力是均匀分布的 .
3.等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式
式中，
FN 为轴力，A 为杆的横截面面积,
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二、拉（压）杆横截面上的应力
FN dA dA A
A A
dA
dA
变形均匀ï应力均布 1.变形现象
F a' b' b d a c c' d' F
(1) 横向线a‘b’和c‘d’仍为直线，且仍然垂直于轴线； (2) ab和cd分别平行移至a‘b’和c‘d’ , 且伸长量相等。
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研究变形的目的有两个： 1. 为了分析构件的刚度问题。即为了保证构件正常工 作，构件的变形应限制在允许的范围之内； 2. 为了求解静不定问题。对于静不定问题，未知量的 个数多于独立的静力平衡方程的个数，因此除了静力 平衡方程外，还需要寻求补充方程，而补充方程的建 立与构件的变形有关。
F 例2-1 设一等直杆在两端轴向拉 力 F 的作用下处于平衡, 欲求杆 件 横截面 m-m 上的内力. 1.截面法(Method of sections) （1）截开 F 在求内力的截面m-m 处, 假想地将杆截为两部分. m m
F4
F
F m
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（2）取：取左部分部分作为研究对象，画出分离体图。 m （3）代替 F F 弃去部分对研究对象的作用以 截开面上的内力代替,合力为FN 。 （4）平衡 对研究对象列平衡方程 FN = F 三、轴向拉压杆的内力——轴力 1.轴力的概念 方向与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心的 内力,称为轴力(axial force). F m m m FN
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例2-4已知：F=10kN, 均布 F 轴向载荷q =30kN/m, A 杆长 l =1m。
q x FNx B x
F
求：杆的轴力图。
解：建立坐标如图， 取x处截面, 取左边, 受力如图
X 0: F
轴力图
Nx
qx F 0
10 FN (kN)
FN x 10 30 x
（未考虑端部连接情况）
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2.受力特点(Character of external force) 外力的合力作用线与杆的轴线重合 3.变形特点(Character of deformation) 沿轴向伸长或缩短 4.计算简图 (Simple diagram for calculating) F 轴向拉伸 (axial tension) F F 轴向压缩 (axial compression)