9．如果系统的分布函数为ρs，系统在量子态s的能量为Es，用ρs和Es表示：系统的平均能量为（ ），能量涨落为（ ）（如写成 也得分）。
10．与宏观平衡态对应的是稳定系综，稳定系综的分布函数ρs具有特点（dρs/ dt=0 或与时间无关等同样的意思也得分），同时ρs也满足归一化条件。
二．计算证明题（每题10分，共60分）
中国海洋大学试题答案
学年第2学期试题名称：热力学与统计物理（A）共 2 页 第 1 页
专业年级：学号姓名授课教师名杨爱玲分数
一．填空题（共40分）
1．N个全同近独立粒子构成的热力学系统，如果每个粒子的自由度为r，系统的自由度为（Nr）。系统的状态可以用（2Nr）维Г空间中的一个代表点表示。
2 对于处于平衡态的孤立系统，如果系统所有可能的微观状态数为Ω，则每一微观状态出现的概率为（1/?），系统的熵为
（1）写出爱因斯坦模型中采用的频谱和德拜模型中采用的频谱，并加以简单说明；
（2）用爱因斯坦模型求高温下固体的热容量；
（3）用德拜模型证明低温下固体的热容量正比于T3。
解：（1）爱因斯坦模型： N个分子的振动简化为3N同频率（ω）的简谐振动，每个振子的能级为 ；
德拜模型：N个分子的振动简化为3N个简正振动，每个振子的频率不同，且有上限ωD， .
（2）证明：T＝0K时电子的平均能量 ，简并压强 ；
（3）近似计算：在室温下某金属中自由电子的热容与晶格热容之比。
（1）μ0表示T＝0K时电子的最能量。电子从ε＝0的能级开始，先占据低能级，然后占据高能级，遵从泡利不相容原理。
f = 1 (ε<μ0); f = 0 (ε>μ0)
(2)
(3)T>0K时:
6．对粒子数守恒的玻色系统，温度下降会使粒子的化学势（升高）；如果温度足够低，则会发生（玻色——爱因斯坦凝聚）。这时系统的能量U0＝（0），压强p0＝（0），熵S0＝（0）。
7．已知粒子遵从经典玻尔兹曼分布，其能量表达式为 ，粒子的平均能量为（2kT－b2/4a）。
8．当温度（很低）或粒子数密度（很大）时，玻色系统与费米系统的量子关联效应会很强。
（1）求单粒子的配分函数Z1；
（2）在平衡态，按玻尔兹曼分布率，写出位置在x到x＋dx， y到y＋dy内，动量在px到px＋dpx，py到py＋dpy内的分子数dN；
（3）写出分子按速度的分布；
（4）写出分子按速率的分布。
解：（1）单粒子的配分函数
（2）
（3）将（1）代入（2），并对dxdy积分，得分子按速度的分布为
解：（1）单粒子的配分函数为：
处于基态的粒子数为：
处于激发态的粒子数为：
温度为T时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之为：
极端高温时：ε0《kT， , 即处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数基本相同；
极端低温时：ε0》kT， , 即粒子几乎全部处于基态。
（2）系统的内能：
热容量：
（3）极端高温时系统的熵：
T>0K时，只有在μ附近kT量级范围内的电子可跃迁到高能级，对CV有贡献，设这部分电子的数目为Neff， 则 。每一电子对CV的贡献为3kT/2, 则金属中自由电子对Cv的贡献为
晶格的热容量为Cv＝3Nk，
6．固体的热运动可以视为3N个独立简正振动，每个振动具有各自的简正频率ωi，内能的表达式为： ，式中的求和遍及所有的振动模式，实际计算时需要知道固体振动的频谱。
（4）有（3）可得分子按速率的分布为：
3．定域系含有N个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级ε1＝－ε0，ε2＝ε0，其中ε0大于零且为外参量y的函数。求：
（1）温度为T时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之比，并说明在极端高温和极端低温时粒子数比的特点；
（2）系统的内能和热容量；
（3）极端高温和极端低温时系统的熵。
(2)爱因斯坦模型: ;
高温时：
（3）
上式的第二项与T的4次方成正比，故
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（kln?）。
3．玻色统计与费米统计的区别在于系统中的粒子是否遵从（泡利不相容原理）原理，其中（费米）系统的分布必须满足0 ≤ fs ≤ 1。
4．玻色系统和费米系统在满足（经典极限条件(或e-α<<1)或eα>>1）条件时，可以使用玻尔兹曼统计。
5． 给出内能变化的两个原因，其中（ ）项描述传热，（ ）项描述做功。
简并度：1，1，1， 1，…
分布数：a1,a2,a3, a4,…
分布 要满足的条件为：
满足上述条件的分布有：A：
B：
C：
各分布对应的微观态数为：
所有分布总的微观态数为：
各分布对应的概率为：
2．表面活性物质的分子在液面（面积为A）上做二维自由运动，可以看作二维理想气体，设粒子的质量为m，总粒子数为N。
1．假定某种类型分子（设粒子可以分辨）的许可能及为0，ω，2ω， 3ω，。。。， 而且都是非简并的，如果系统含有6个分子，问：
（1）与总能量3ω相联系的分布是什么样的分布分布需要满足的条件是什么
（2）根据公式 计算每种分布的微观态数?；
（3）确定各种分布的概率。
解：能级：ε1，ε2，ε3，ε4，…
能量值：0，ω，2ω，3ω，…
极端低温时系统的熵：S=0
4．对弱简并的非相对论费米气体，求：
（1）粒子数分布的零级近似f0与一级修正项Δபைடு நூலகம்1；
（2）证明：与零级近似相比，粒子数的相对修正量和内能的相对修正量均正比于 。
解：费米气体分布函数为：
（1）
，
（2）
5．金属中的电子可以视为自由电子气体，电子数密度n，
（1）简述：T＝0K时电子气体分布的特点，并说明此时化学势μ0的意义；