第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数T k 。

解：由理想气体的物态方程为 nRT PV = 可得: 体胀系数：TP nR V T V V αp 111==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 压强系数：TV nR P T P P βV 111==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=等温压缩系数：P P nRT V P V V κT 1)(112=−⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂−=1.2 证明任何一种具有两个独立参量P T ，的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T k ，根据下述积分求得：()⎰−=dP κdT αV T ln 如果PκT αT 11==，，试求物态方程。

解： 体胀系数：p T V V α⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1，等温压缩系数：TT P V V κ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂−=1 以P T ，为自变量，物质的物态方程为：()P T V V ,= 其全微分为：dP κV VdT αdP P V dT T V dV T Tp −=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=，dP κdT αV dV T −= 这是以P T ，为自变量的全微分，沿任意的路线进行积分得：()⎰−=dP κdT αV T ln 根据题设 ，将P κT αT 1,1==，代入：⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛−=dP P dT T V 11ln 得：C pT V +=lnln ，CT PV =，其中常数C 由实验数据可确定。

1.4 描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力£，物态方程是()0£=T L f ，，，实验通常在1n p 下进行，其体积变化可以忽略。

线胀系数定义为：£1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=T L L α，等温杨氏模量定义为：TL A L Y ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=£，其中A 是金属丝的截面积。

一般来说，α和Y 是T 的函数，对£仅有微弱的依赖关系。

如果温度变化范围不大，可以看作常量。

假设金属丝两端固定。

试证明，当温度由1T 降至2T 时，其张力的增加为：()12£T T YA −−=∆α。

解：由()0£=T L f ，，，可得：()T L ，££= 微分为：dT T dL L d LT ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=£££，由题意可知：0=dL 。

又因为：AY αL AY L αL T L T TL −=−=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂−=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂£££ 即：AYdT d α−=£，积分得：)T -(T -£12AY α=∆1.6 1 mol 理想气体，在27 ℃的恒温下体积发生膨胀,其压强由20 n p 准静态地降到1 n p ，求气体所做的功和所吸取的热量。

解：恒温膨胀过程外界对气体做的功为：A B A B V V V V P P RT V V RT V dV RT PdV W BA B A ln ln =−=−=−=⎰⎰ 气体所做的功：W W −='，13.1045.7201ln 30031.8ln −⨯=⨯⨯−=−=−mol J P P RT W A B 等温过程理想气体的内能不变0=∆U ,根据热力学第一定律：W Q U +=∆ 气体在等温过程中吸收的热量为：13.1045.7−⨯='=−=mol J W W Q1.7 在25℃下，压强在0至1000n p 之间，测得水的体积为：()13263.10046.010715.0066.18−−−⨯+⨯−=mol cm P P V 。

如果保持温度不变，将1mol 的水从1 n p 加压至1000 n p ，求外界所作的功。

解：将体积与压强的关系简记为：2cP bP a V ++=，求导可得：()dP cP b dV 2+= 温度不变，将1 mol 的水从1 n p 加压至1000 n p ，此过程中外界所作的功为：()11000132.1.3332212−=⎪⎭⎫ ⎝⎛+−=+−=−=⎰⎰mol J cP bP dP cP b P PdV W B A B A V V P P 1.1 0 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入。

当压强达到外界压强0P 时将活门关上。

试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能U 与原来大气中的0U 之差为000V P U U =−，其中0V 是它原来在大气中的体积。

若气体是理想气体，求它的温度和体积。

解：假设气体冲入小匣之前的状态为（0P ，0V ,0T ），内能是0U 。

气体冲入小匣后的状态为（0P ，V ,T ），这时的内能为U ；外界对气体所做的功为：00dV P 。

由热力学第一定律：W Q U +=∆，0=Q ，可得：()00000dV P U U V ⎰−=− 即： 000V P U U =− （证毕），理想气体的内能： ()00T T C U U V −=−ν，由物态方程：000RT V P ν=得：()0T R C T C V V +=，所以：00T γT C C C R C T VP V V ==+= 等压过程：000V γT T V V == 1.11 满足C PV n =常量的过程称为多方过程，其中常数n 名为多方指数。

试证明，理想气体在多方过程中的热容量n C 为：V n C n γn C 1−−=。

证明：nV n n n dT dV P C dT PdV dU dT Q d C ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛= （1） 由理想气体的物态方程 RT PV =，可得：RdT VdP PdV =+ （2）以及理想气体多方过程 C PV n =，可得：01=+−dP V dV PnV n n0=+VdP PndV （3），用（2）式减（3）式可得：RdT PndV PdV =−， ()P n R dT dV n−=⎪⎭⎫ ⎝⎛1 （4），将（4）式代入（1）式可得：n R C C V n −+=1 （5） 由迈耶公式：R C C V p =−，以及：γC C V p=，可得：()R C V =−1γ （6） 将（6）式代入（5）可得：V n C n γn C 1−−= ，证毕 1.12 试证明：理想气体在某一过程中的热容量n C 如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数V n pn C C C C n −−= 。

假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。

解：由热力学第一定律：W d Q d dU += ，对于理想气体：dT C dU V =，而PdV W d −= ， dT C Q d n =。

代入可得：PdV dT C dT C n V −=即：()PdV dT C C V n =− （1），理想气体的物态方程：PV RT = （2） 由（1）式和（2）式可得：V dV R T dT C C V n =−)( （3） 将理想气体物态方程的全微分： T dT V dV P dP =+ ，代入 （3）式，消去T dT ， 可得0)()(=−+−V dV C C P dP C C p n V n ：令：Vn P nC C C C n −−= 即：0=+VdV n P dP ，若n C ，P C ，V C 都是常量，则积分得：C PV n =证明了该过程是多方过程。

1.16 假设理想气体的P C 和V C 之比γ是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T和V 的关系。

该关系式中要用到一个函数()T F ，其表达式为：()()⎰−=TγdT T F 1ln 。

解：由热力学第一定律：W d Q d dU +=, 在准静绝热过程中：0=Q d 。

得到： ()PdV W d dT C SV −== （1），由迈耶公式：R C C V p =− ，以及：γC C V p =， 可得： 1−=γR C V （2），结合理想气体的物态方程：RT PV = （3）。

将（2）式和（3）式代入（1）式可得：dV VRT dT γR −=⋅−1， 变形为：()01=−+T γdT V dV ，假设：()()⎰−=T γdT T F 1ln ，求导可得：()T γdT F dF 1−= 即： ()()[]0ln ln =+F V d ，所以： ()常量=⋅T F V1.21 温度为0℃的1 kg 水与温度为100℃的恒温热源接触后，水温达到100℃。

试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。

欲使整个系统的熵保持不变，应如何使水温从0℃升至100℃？已知水的比热容为4.18 J ⋅g −1⋅K −1。

解：为了求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源。

其温度分布在0℃与100℃之间。

令水依次从这些热源吸收热量，使水温由0℃升至100℃。

在这可逆过程中，水的熵变为：133732736.1304273373ln 18.410273373ln −⋅=⨯⨯===∆⎰K J mC T dT mC S P p 水 这一过程中水所吸收的总热量Q 为：()J T mC Q P 51018.427337318.41000⨯=−⨯⨯=∆=为求热源的熵变，假设热源向温度比100℃略低的另一热源放出热量Q 。

在这可逆过程中，热源的熵变为：1156.11203731018.4−−⋅−=⋅⨯−=∆K J K J S 热源， 整个系统的总熵变为：1184−⋅=∆+∆=∆K J S S S 热源水总。

为使水温从0℃升至100℃而整个系统的熵保持不变，将水逐个与温度分布在0℃与100℃之间的一系列热源接触。

这一系列热源的熵变之和为：13732736.1304273373ln 18.41000273373ln −⋅−=⨯⨯−=−=−=∆⎰K J mC T dT mC S P P 热源 整个系统的总熵变为：0=∆+∆=∆热源水总S S S1.22 10 A 的电流通过一个25 Ω的电阻器，历时1 s 。

（i ）若电阻器保持为室温27℃，试求电阻器的熵增加值。

（ii ）若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为27℃，电阻器的质量为10 g ，比热容P C 为0.84J ⋅g −1⋅k −1，问电阻器的熵增加为何？解：（i ）以T ，P 为状态参量，该过程是等压过程，如果电阻器的温度也保持为室温27℃不变，则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。

（ii ）如果电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的热量Q 将全部被电阻器吸收使其温度由1T 升为2T ，即：()122T T mC Rt I P −=。

求得：K K mC Rt I T T P 600)84.010********(2212≈⨯⨯⨯+=+= 电阻器的熵变为：11128.5)300600ln 84.010(ln 21−−⋅=⋅⨯⨯===∆⎰K J K J T T mC T dT mC S P P T T1.23 均匀杆的温度一端为1T ，另一端为2T ，试计算达到均匀温度 ()2121T T + 后的熵增。