2013年清华大学保送生数学试题
（共5大题，每小题30分，满分150分）
1． 求证：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=124223230n n i n n i 。

其中n 是正整数 2． 求证：()()()()() m k n i n m k k
k k m k n
k k k x x x x x 0002020
11111==+===∏∏∏∏-----为整系数多项式。

题目中的X 实际是π，跟后面一样表示累
乘，图片出错了。

3． 已知，c
b c a ，abc 1122=+-=t ，a c c b b a =++222试表达555ca bc ab ++的值。

4． 求证：平面内间距为d 的一组平行直线，任意放一长为l （l 〈d ）的针与直线相交的概率为d
l P π2=。

5． 求证：gcd （a ，b ）∑∑-=-==101021a m a n a mnb i e a π 其中gcd （a ，b ）表示a 、b 的最大公约数
1、提示：可以用数学归纳法或者按余数分类，慢慢写，这题送分的。

2、可将题目化为证明[2m/i]+[2n/i]>=[m/i]+[n/i]+[(m+n)/i] 其中[x]表示不超过x 的最大整数
3、见下面的图，本题感觉略扯，但是比较了很多人的做法，发现确实是这么做的。

4、提示：如果积分arcsin ，不会积分的话，考虑反函数！
5、仔细理解题目中给的式子，注意e 的那个次方是复数的指数表示形式，然后用等比数列求和公式证明，同时注意到如果e 的次方中的分母不整除与分子，那么按照等比数列求和公式，就可以得到这时的数求出的是0（这里实质是一个单位根的问题，只不过用的是四次单位根，也就是i ！）如果分母整除于分子，那么得到的数字为1，然后通过这样的思路，就能得到结果，本题较难，主要是对复数的接触较少。