专题10：立体几何中的体积问题（原卷版）
⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面 ⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面 ⑶圆台侧面积：l R l r S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面
h S V ⋅=柱体h
S V ⋅=31
锥体()
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V h S S S S =+⋅+下下台体上上 球的表面积和体积 32344R V R S ππ==球球，. 正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。

正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。

1．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，点D 是AB 的中点.
（1）求证：1AC BC ⊥；
（2）若1CC BC =，求三棱锥1B BCD -的体积.
2．如图所示：在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，VAB ∆为等边三角形，AC BC ⊥且2AC BC ==，,O M 分别为,AB VA 的中点.
（1）求证：平面MOC ⊥平面VAB ；
（2）求三棱锥V ABC -的体积.
3．如图所示，四棱锥的底面ABCD 是一个矩形，AC 与BD 交于点M ，VM 是四棱锥的高.若4VM cm =，4cm AB =，5VC cm =，求四棱锥的体积.
4．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD .
（1）求证：AC ⊥平面PBD ；
（2）若2PD =，直线PB 与平面ABCD 所成的角为45，求四棱锥P ABCD -的体积.
5．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，现将ADC 沿AC 边折到APC △的位置．
（1）求证：PB AC ⊥；
（2）求三棱锥P ABC -体积的最大值．
6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，1PA PD ==，E 为AD 的中点.
（1）求证：PE ⊥平面ABCD ；
（2）求四棱锥P ABCD -的体积.
7．如图所示，在长方体ABCD A B C D ''''-中，求棱锥D A CD ''-的体积与长方体的体积之比.
8．如图，过圆柱的两条母线1AA 和1BB 的截面11A ABB 的面积为S ，母线1AA 的长为l ，
111
90AO B ︒∠=，求此圆柱的体积.
9．如图所示的多面体中,四边形ABCD 是菱形、BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ，3BAD π∠=.
（1）求证：平面//BCF 平面AED ；
（2）若BF BD a ==，求四棱锥A BDEF -的体积.
10．在三棱锥S ABC -中，
090,2,13,29.SAB SAC ACB AC BC SB ∠=∠=∠====
（1）证明：SC BC ⊥ ；
（2）求三棱锥的体积S ABC V -.
11．如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°. （1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；
（2）求三棱锥P MAC -的体积.
12．如图，有一个水平放置的无盖正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，若不计容器的厚度，如何求出球的体积？
(1)求出球的半径；
(2)求球的体积.
走进高考
1，2018年全国卷Ⅲ文数高考试题
如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．
（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；
（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．
2，2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）
如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥．
（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23
BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．
3．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.
（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；
（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．
4．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）
四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,01,90.2
AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= （1）证明：直线//BC 平面PAD ;
（2）若△PCD 面积为27，求四棱锥P ABCD -的体积.。