立体几何体积问题未命名一、解答题1．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．2．如图，多面体中，为正方形，，,且.（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的体积.3．在如图所示的几何体中，平面，四边形为等腰梯形，，，，，，.（1）证明：；（2）若多面体的体积为，求线段的长.4．如图，在四棱锥中，，，，点在线段上，且，，平面.（1）证明：平面平面；（2）当时，求四棱锥的表面积.5．如图,在四棱锥中,是等边三角形,,,.(Ⅰ)求证:(Ⅱ)若平面平面,,求三棱锥的体积6．如图，三棱柱中，平面平面,平面平面，,点、分别为棱、的中点，过点、的平面交棱于点,使得∥平面.（1）求证：平面;（2）若四棱锥的体积为，求的正弦值.7．如图，在几何体中，平面底面，四边形是正方形，，是的中点，且，.（1）证明：；（2）若，求几何体的体积.8．在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，面面，..（1）求证：平面平面；（2）设为线段上一点，，试问在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，试指出点的位置；若不存在，说明理由?（3）在（2）的条件下，求点到平面的距离.9．已知直三棱柱，底面是边长为2的等边三角形，，为棱的中点，在棱上，且．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．10．如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，将折叠至，使得且交平面于F.（1）求证：平面⊥平面PAC.（2）求三棱锥的体积.11．在矩形所在平面的同一侧取两点、，使且，若.，，.（1）求证：（2）取的中点，求证（3）求多面体的体积.12．如图，在菱形中，，平面，，是线段的中点，.（1）证明：平面；（2）求多面体的表面积.13．如图，在三棱柱中，，，为的中点，．（1）求证：平面平面；（2）求到平面的距离．.14．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，侧面是等腰直角三角形，，平面平面，点分别是棱上的点，平面平面（Ⅰ）确定点的位置，并说明理由；.（Ⅱ）求三棱锥的体积.15．如图,三棱柱中,侧面侧面,,,,为棱的中点,为的中点.(1) 求证:平面；(2) 若,求三棱柱的体积.参考答案1．解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以OM=，CH==．所以点C到平面POM的距离为．【解析】分析：（1）连接，欲证平面，只需证明即可；（2）过点作，垂足为，只需论证的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.详解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以OM=，CH==．所以点C到平面POM的距离为．点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.2．（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）证明面面垂直可通过证明线面垂直得到，证A平面即可，（2）由已知，连接交于，作于，由等体积法：，进而可得出结论.（1）证明：∵，由勾股定理得：又正方形中，且∴平面，又∵面，∴平面平面（2）由已知，连接交于作于，则又由（1）知平面平面，平面平面，.面，得面由，知四边形为平行四边形，即，而，进而又由，所以，三棱锥的体积.点睛：考查面面垂直、几何体体积，能正确分析线条关系，利用等体积法转化求体积是解题关键.3．(1)证明见解析；(2).【解析】分析：（1）通过证明AB平面ACFE得到；（2）作于点G，设，分别计算出四棱锥的体积，再根据已知条件，求出的值，在直角三角形CFG 中求出CF的值。
详解：(1)∵平面，∴作于点，在中，，，得，在中，∴∴且，∴平面又∵平面∴.（2）设，作于点，则平面，且，又，，∴，得连接，则，∴.点睛：本题主要考查了线面垂直的判定定理和性质定理、余弦定理、勾股定理、体积计算公式等，属于中档题。
4．（1）见解析；（2）.【解析】分析：（1）根据，及，推出四边形是平行四边形，再根据推出，由平面，可推出，根据线面垂直判定定理即可推出平面，从而可证平面平面；（2）根据平面，可推出，由，可得，根据勾股定理可得，然后分别求得四棱锥的各面面积相加即可求得表面积.详解：（1）证明：由，可得，则，又，则四边形是平行四边形，则.∵∴.又∵平面，平面∴∵，平面∴平面又平面∴平面平面.（2）解：∵平面∴∵∴.∵∴.∴四棱锥的表面积为.点睛：本题主要考查面面垂直的证明方法，考查椎体的表面积求法，属基础题. 熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的垂直关系进行转化，证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.5．(1)见解析；（2）.【解析】分析：（Ⅰ）取的中点，连接，在等边，得，又由四边形为矩形，得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而得证．(Ⅱ)由（Ⅰ）知，得到平面,即为三棱柱的高，再利用棱锥的体积公式，即可求得三棱锥的体积．详解：证明：（Ⅰ）取的中点，连接为等边三角形，，四边形为矩形,平面又平面，(Ⅱ)由（Ⅰ）知又平面平面，平面平面，平面平面,为三棱柱的高为等边三角形，，得,,点睛：本题考查线面位置关系的判定与证明，以及三棱锥的体积的计算，其中熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．6．（1）见解析；（2）.【解析】（1）在平面中，过点作棱的垂线，垂足为，平面平面，平面.在平面中，过点作棱的垂线，垂足为，平面平面，∴平面.过点与平面垂直的直线有且只有一条，∴与重合，又∵平面平面,∴与重合于AB，所以平面.（2）设的中点为，连接，，点为棱的中点，∴∥且=，∥，∴∥，∴、、、四点共面，∵∥平面，∴∥，∴四边形是平行四边形，∴=，∵为的中点且，∴，∴==，设梯形的高为，，∴，∴，∴,∴的正弦值为.7．（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）连接交于点，连接，欲证，只需证明即可；（2）原几何体是由四棱锥和三棱锥两部分构成，只需分别计算出体积相加可得.详解：(Ⅰ)如上图所示，连接交于点，连接.∵四边形是正方形，∴是的中点又已知是的中点,∴又∵且,∴，即四边形是平行四边形∴，∵,∴；(Ⅱ) 如上图，引于点，∵，∴，∵平面∴，同理.点睛：(1)证明线线垂直时可利用勾股定理逆定理，等腰三角形中三线合一，线面垂直等方法进行，本题中通过构造，将问题进行了转化；（2）在计算组合体体积时，要注意分析组合体由哪些简单几何体构成，分别计算体积即可求解，而在计算简单几何体体积时要注意“换底”的策略.8．（1）见解析.（2）见解析.（3）.【解析】分析：（1）在梯形中，过点作作于，可得，所以，由面面，可得出，利用线面垂直的判定定理得平面,进而可得平面平面；（2）在线段上取点，使得，连接，先证明与相似，于是得，由线面平行的判定定理可得结果；（3）点到平面的距离就是点到平面的距离，设到平面的距离为，利用体积相等可得，，解得.详解：（1）因为面面，面面，，所以面，.故四边形是正方形，所以.在中，，∴.，∴，∴∴.因为，平面，平面.∴平面,平面，∴平面平面.（2）在线段上存在点，使得平面在线段上取点，使得，连接.在中，因为，所以与相似，所以又平面，平面，所以平面.（3）点到平面的距离就是点到平面的距离，设到平面的距离为，利用同角相等可得，，可得.点睛：证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.9．(1)见解析;(2).【解析】分析：（1）利用直棱柱的性质可证明平面平面，所以.又，所以，利用勾股定理可得，由线面垂直的判定定理可得结论；（2）利用“等积变换”可得，先证明的高为，可得，从而可得三棱锥的体积.详解：（1）连接BD，因为为直三棱柱，所以，正三角形，所以，所以平面平面，所以.又，所以因为，，,所以，所以，,所以.（2）易知，，，所以，所以..所以三棱锥的体积为.点睛：本题主要考查正三棱柱的性质、空间垂直关系以及利用“等积变换”求棱锥的体积；，属于中档题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.10．(1)证明见解析；(2).【解析】分析：（1）由PA⊥AC可计算出PC，从而由勾股定理逆定理得PB⊥BC，再结合BC⊥AB，得BC⊥平面PAB，从而有PA⊥BC，于是有PA⊥平面ABC，因此PA⊥BD，再计算出AB=BC，从而BD⊥AC，因此得BD⊥平面PAC，从而得证面面垂直；（2）这个体积直接用底面积乘以高再除以3，不太容易，但可间接计算：，这一个三棱锥和一个四棱锥的体积易计算．详解：（1）证明：在三棱锥中，, ,又又.（2）由已知，∥点睛：常用求体积的几种方法：（1）分割法一般的考试题目不会给你一个简单的长方体，正方体，圆等等一些能套公式就能求出体积，而是弄一些多面体，让你求它的体积。
分割法，就是把多面体分割成几个我们常见的立体，然后求各个分割体的体积，最后相加就能得出所要求的体积了。
（2）补形法多面体加以拼补，把它拼成我们常见的立体，求出该立体的体积后，把补上去的各个立体的体积算出来，相减就能得出所要求的体积了。
（3）等体积法这个方法举例比较好说明，比如，求四面体P-ABC的体积，但是顶点P到面ABC的距离不好求（即高h），然而我们把顶点和底面换一下，换成四面体A-PBC，此时，顶点A到面PBC 的距离可以很容易就得到(AP⊥面PBC,即AP就是高)，这样四面体A-PBC的体积就很容易就求出来了。