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江苏高考数学真题及答案精校版

绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学
I
参考公式:
圆柱的体积公式:sh V =圆柱,其中s 为圆柱的表面积,h 为高. 圆锥的体积公式:sh V 3
1
=
圆锥,其中s 为圆锥的底面积,h 为高. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位......置上..
. 1. 已知集合{
}3,2,1=A ,{}5,4,2=B ,则集合B A 中元素的个数为 ▲ . 2. 已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6,则这组数据的平均数为 ▲ .
3. 设复数z 满足i z 432
+=(i 是虚数单位),则z 的模为 ▲ . 4. 根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S 为 ▲ .
5. 袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄
球. 从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 ▲ . 6. 已知向量a =)1,2(,b=)2,1(-, 若ma +nb =)8,9(-(R n m ∈,), n m -的值为 ▲ . 7. 不等式42
2<-x
x 的解集为 ▲ .
8. 已知2tan -=α,7
1
)tan(=
+βα,则βtan 的值为 ▲ .
9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个. 若将它们重新制作成总体积和高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为 ▲ .
10. 在平面直角坐标系x O y 中,以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相
切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 ▲ .
11. 设数列{}n a 满足11=a ,且11+=-+n a a n n (*
N n ∈), 则数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n a 1前10项的和为 ▲ .
12. 在平面直角坐标系x O y 中,P 为双曲线12
2
=-y x 右支上的一个动点,若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为 ▲ .
13. 已知函数x x f ln )(=,⎪⎩

⎨⎧>--≤<=,1,24,10,0)(2x x x x g ,则方程1
)()(=+x g x f 实
根的个数为 ▲ .
14. 设向量a k =(6cos 6sin ,6cos π
ππk k k +),(12,,2,1,0 =k ),则∑=+⋅11
1)(k k k a a 的值

▲ .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内........作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)
在ABC ∆中,已知
60,3,2===A AC AB . (1)求BC 的长; (2)求C 2sin 的值. 16.(本题满分14分)
如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,已知BC AC ⊥,
1CC BC =,设1AB 的中点为D ,E BC C B =11 .
A
B C
D E
A 1
B 1
C 1
求证:(1)C C AA DE 11//平面; (2)11AB BC ⊥.
17.(本小题满分14分)
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建
一条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为12l l ,
,山区边 界曲线为C ,计划修建的公路为l ,如图所示,M ,N 为C 的两个端点,测得点M 到12l l , 的距离分别为5千米和40千米,点N 到12l l ,
的距离分别为20千米和千米,以12l l , 所在的直线分别为x ,y 轴,建立平面直角坐标系xOy ,假设曲线C 符合函数2a
y x b
=+ (其中a ,b 为常数)模型. (1)求a ,b 的值;
(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t .
①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ,并写出其定义域; ②当t 为何值时,公路l 的长度最短求出最短长度.
18.(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>的离心率为22,
且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程;
(2)过F 的直线与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于 点P ,C ,若PC =2AB ,求直线AB 的方程.
M
N
l 2
l 1
x
y O
C
P
l
B
A
O
x
y
l
P C
19.(本小题满分16分)
已知函数),()(2
3
R b a b ax x x f ∈++=. (1)试讨论)(x f 的单调性;
(2)若a c b -=(实数c 是a 与无关的常数),当函数)(x f 有三个不同的零点时,a
的取值范围恰好是),2
3()23,1()3,(+∞--∞ ,求c 的值.
20.(本小题满分16分)
设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 (1)证明:31242,2,2,2a a a a
依次成等比数列;
(2)是否存在1,a d ,使得234
1234,,,a a a a 依次成等比数列,并说明理由;
(3)是否存在1,a d 及正整数,n k ,使得k
n k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列,并说
明理由.
2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学II
21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题......,并在相应的答题区域.........内作答...
,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.(选修4—1:几何证明选讲)
如图,在ABC ∆中,AC AB =,ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D
求证:
ABD ∆∽AEB ∆
A
(第21——A 题)
B .(选修4—2:矩阵与变换)
已知R y x ∈,,向量⎥
⎦⎤

⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦
⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量,矩阵A 以及它的另一个特征值. C .(选修4—4:坐标系与参数方程)
已知圆C
的极坐标方程为2sin()404
π
ρθ+--=,求圆C 的半径.
D.(选修4—5:不等式选讲)
解不等式|23|3x x ++≥
【必做题】第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题....卡.的指定区域内....... 22.(本小题满分10分)
如图,在四棱锥P ABCD -中,已知PA ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯 形,2
ABC BAD π
∠=∠=
,2,1PA AD AB BC ====
(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值;
(2)点Q 是线段BP 上的动点,当直线CQ 与DP 所成角最小时,求线段BQ 的长
23.(本小题满分10分)
已知集合{
}3,2,1=X ,{})(,,3,2,1*N n n Y n ∈= ,{
,),(a b b a b a S n 整除或整除= }n Y b X a ∈∈,,令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.
(1)写出(6)f 的值;
P
A B
C
D
Q
(2)当6n 时,写出()f n 的表达式,并用数学归纳法证明.。

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