概率统计讲义一．近5年全国卷高考题回顾1.（2012•新课标 第11题） 将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种2.（2012•新课标 第18题）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式．日需求量n 14 15 16 17 18 19 20频数 10 20 16 16 15 13 10 （i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，数学期望及方差；（ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．（1）当时，， 当时，，得：()*∈⎩⎨⎧≥≤-=N n n n n y 16,8015,8010（2）（ⅰ）X 可取60，70，80。

，X 的分布列为，。

（ⅱ）购进17枝时，当天的利润为76.4 > 76，从利润角度看，故应购进17枝。

而此时，说明购17支在利润相差不大的情况下，其波动较大，故购16支也可。

3.（2013 新课标 第3题）为了解某地区中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理抽样方法是( ) A 、简单随机抽样B 、按性别分层抽样C 、按学段分层抽样D 、系统抽样4.（2013 新课标 第19题）.一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n 。

如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为21，且各件产品是否为优质品相互独立。

（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望。

（1）；（2）分布列如下所示，数学期望为506.255.（2014·新课标全国卷Ⅰ第5题）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ）A .18B .38C .58D .786.（2014·新课标全国卷Ⅰ第18题）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；(2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s .（i ）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX . 附：150≈12.2.若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544.（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为，；（2）（i）由（1）知，从而P(187.8 < Z <212.2) =P (200-12.2 < Z < 200+12.2)=0.6826；（ii）由（i）知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意得，所以。

7.（2015新课标•第4题）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。

已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )（A）0.648 （B）0.432（C）0.36（D）0.3128.（2015新课标•第19题）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散（x i﹣）2（w i﹣）2（x i﹣）（y i﹣）（w i﹣）（y i﹣）46.6563 6.8289.8 1.61469108.8表中w i=1，=（1）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（2）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．9.(2016新课标• 第4题)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ） A.31 B.21 C.32 D.43 10.（2016新课标• 第19题）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （1）求X 的分布列；（2）若要求P （X ≤n ）≥0.5，确定n 的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？（1）由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8, 9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2. 从而：(16)0.20.20.04P X ==⨯=；(17)20.20.40.16P X ==⨯⨯=； (18)20.20.20.40.40.24P X ==⨯⨯+⨯=； (19)20.20.220.40.20.24P X ==⨯⨯+⨯⨯=； (20)20.20.40.20.20.2P X ==⨯⨯+⨯=；(21)20.20.20.08P X ==⨯⨯=； (22)0.20.20.04P X ==⨯=.所以X 的分布列为：（2）由（1）知,(18)0.44P X =≤,(19)0.68P X =≤,故的最小值为19. （3）记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. 当19=n 时，192000.68(19200500)0.2EY =⨯⨯+⨯+⨯+(192002500)0.08(192003500)0.04⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯4040=.当20n =时,202000.88(20200500)0.08EY =⨯⨯+⨯+⨯+(202002500)0.044080⨯+⨯⨯=.可知当19n =时所需费用的期望值小于20n =时所需费用的期望值,故应选19n =. 二．近5年全国卷高考题分值与考点剖析 从上表可以看出，近5年概率统计所考察的内容（1大1小17分） 1.试题特点（1）选择填空：统计图表（茎叶图）、回归分析和概率的计算（古典概型与几何概型） （2）解答题：考查比较综合全面，设计知识面广,主要有抽样方法、统计图表（直方图）、数字特征的估计，分布列与数学期望，独立性检验，正态分布的相关知识。

既有必修内容，又有选修内容，既有老教材内容，又有新增内容，且有机的糅合在一起，非常有新意，但难度并不大。

2.纵观2014年和2015年2016年的高考题对本热点的考查,可以发现概率和统计、统计案例相结合是高考命题的热点,在2012年高考中,结合实际问题将函数和概率问题巧妙结合在一起,新颖别致,但是题目难度不大,这也体现了“新题不难”的命题特点,主要考查生活中的概率统计知识和方法.求离散型随机变量的分布列和数学期望的方法,以及生活中最大利润的判断；2013年则是直接利用概率与统计的知识解决实际问题；2014年主要考查了频率分布直方图,正态分布的3 原则,二项分布的期望及回归分析.2015年分别考查了回归分析、茎叶图；2016年3套试卷分别考查了回归分析、分布列、期望的应用.这也体现了高考对新课标的新增内容的要求,试题难度不大,但是要求同学们对相关的基础知识掌握必须准确. 从近几年的高考试题来看,频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差、分布列是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题,客观题考查知识点较单一,解答题考查得较为全面,常常和概率、平均数等知识结合在一起,考查学生应用知识解决问题的能力．独立性检验、回归分析高考对此部分内容考查有加强趋势,主要是以考查独立性检验、回归分析为主,并借助解决一些简单的实际问题来考查一些基本的统计思想,在高考中多为选择、填空题,也有解答题出现．根据这几年高考试题预测2017年高考,频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差,离散型随机变量的分布列与期望仍然是考查的热点,同时应注意和概率、平均数、分布列,期望,二项分布,正态分布等知识的结合,同时应注意独立性检验在实际生活中的应用,有可能涉及一道与独立检验有关的大题．三.概率与统计常考题型及复习建议1.掌握抽样方法、理解统计图表（频率分布直方图，频率分布表，频率分布折线图，茎叶图等），会利用数字特征估计总体。

2.掌握利用排列组合知识求等可能事件、互斥事件、独立事件的概率（文科降低难度，事件仅要求能数出来）。

3.概率统计与现实生活联系紧密，要关注与函数部分的应用题。

加强学生的审题读题能力。

4.掌握随机变量的分布列和期望的求法。

（注意正态分布的应用，二项分布与超几何分布的区别和联系）5.让学生明白统计思想的本质，而不是把统计部分看成简单的运算。