【知识精要】1. 函数(1) 变量和常量变量：可以取不同数值的量；常量：保持数值不变的量。

区别：表示量的数值变还是不变。

(2)函数的定义：在某个变化过程中变化有两个变量，设为X和Y，如果在X的允许取值范围内，变量Y 随着X的变化而变化，他们之间存在着确定的依赖关系(对应法则)，那么变量Y叫做变量X 的函数，X叫做自变量。

注意：(1) 函数并不是数，它是指在一个变化过程中两个变量的一种对应关系；(2) 自变量x有取值范围，这个允许取值的范围叫做函数的定义域；(3) 函数三要素：自变量、因变量、对应法则。

(3) 函数解析式：两个变量之间依赖关系的数学式子；(4)函数的定义域和函数值定义域：如果y是x的函数，自变量x有取值范围，这个允许取值的范围叫做函数的定义域。

函数值：如果y是x的函数，那么对于x在定义域内取定的一个值a，变量y的对应值叫做当x=a时的函数值。

符号“y=f(x)”表示y是x的函数，f表示y随x变化而变化的规律(对应法则)。

值域：函数的自变量取定义域中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域。

2. 正比例函数(1) 概念：如果两个变量的每一组对应值的比值是一个非零常数，那么就说这两个变量成正比例；用数学符号语言记为ykx=或y=kx(0k≠).解析式形如y=kx(0k≠)的函数叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数。

正比例函数解析式右边是常数与自变量的乘积的形式，且这个常数不为0；自变量的指数为1。

(可用来判断一个函数是不是正比例函数)(2) 定义域：一切实数。

(3) 图像一般地，正比例函数y=kx(k是常数，且k0≠)的图像是经过原点O(0，0)和点M(1，k)的一条直线，我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx.(4) 正比例函数的性质①当k>0时，函数图像经过第一.三象限；当k<0时，函数图像经过第二.四象限。

②当k>0时，自变量x逐渐增大时，函数值y也在逐渐增大；当k<0时，自变量x逐渐增大时，函数值y反而减小。

③ |k|越小，直线越靠近x轴；|k|越大，直线越偏离x轴。

正比例函数的图像与性质：【热身练习】1. 判断一个关系是否是函数关系，第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变化过程中，是不是只有两个个变量；第三要看当自变量在允许取值的范围取任意值时，函数是不是都有唯一的值与它对应。

形如____ y=kx(k是常数，k≠0)____的函数是正比例函数。

2. 函数-3yx=的定义域是x≥1且x≠3 ；3. 如果函数()(12)f x f==4. 已知yyx+-=22，则y=f(x)= 2-21xx+；5. 点(1，m)与点(n，-1)在函数2122+-=xxy的图像上，则m= 13，n= -1 ；6. 正比例函数y=kx(k为常数，k<0)的图像经过第__二、四__象限，函数值随自变量的增大而__减小___；7. 已知点A(m，2)在直线y=-2x上，则m=-1 ；8. 已知正比例函数的图像经过点(1，-2)，则这个函数的解析式是 y =-2x ；9. 若x .y 是变量，且函数2(1)k y k x =+是正比例函数，则k =__1____； 10. 已知y 与x 成正比例，且x =2时y =-6，则y =9时x =__-3____； 11.下列关系中的两个量成正比例的是( C )A. 从甲地到乙地，所用的时间和速度；B. 正方形的面积与边长；C. 买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量；D. 人的体重与身高. 12.下列函数中，y是x的正比例函数的是( C )A. y =4x +1B. y =2x 2C. y 5D. y x13. 若正比例函数的图像经过点(-1，2)，则这个函数的图像一定经过点 ( C )A.(2，-1)；B.(-21，2)； C.(1，-2)； D.(21，2). 14. 已知(x 1，y 1)和(x 2，y 2)是直线y = -3x 上的两点，且x 1>x 2，则y 1与y 2的大小关系是 ( B )A. y 1>y 2 ；B. y 1<y 2 ；C. y 1=y 2 ；D. 以上都有可能. 15. 写出下列各题中x 与y 的关系式，并判断y 是否是x 的正比例函数？ (1) 电报收费标准是每个字0.1元，电报费y (元)与字数x (个)之间的函数关系；(2) 地面气温是28℃，如果每升高1km ，气温下降5°C ，则气温x (°C)与高度y (km )的关系； (3) 圆面积y (c m 2)与半径x (c m )的关系. 答案：① y =0.1x ，y 是x 的正比例函数； ② y =28-5x ，y 不是x 的正比例函数； ③ y =πx 2，y 不是x 的正比例函数.16. 在函数y =-3x 的图象上取一点P ，过P 点作PA ⊥x 轴，已知P 点的横坐标为-2，求△POA 的面积(O 为坐标原点).答案：6【精解名题】例1. 求下列函数的定义域(1)y =； (2) y =； (3) y =. 答案：(1) 2x <； (2) 1x ≥-且112x x ≠≠、；(3) 1x ≤且52x ≠-.例2. 已知223()34x f x x x -=++，(1) 求(0)f 、f 的值； (2) 求自变量x 的取值范围； (3) 当x 为何值时，()1f x =-？答案：(1) 3(0)4f =-，563f =-； (2) 223734()24x x x ++=++>0， ∴x 可取任意实数；(3) 52x -=. 例3. 根据下列条件求函数的解析式 ① y 与x 2成正比例，且x =-2时y =12；② 函数y =(k 2-4)x 2+(k +1)x 是正比例函数，且y 随x 的增大而减小；③ 在②所表示的函数关系中，如果x 的取值范围是15x ≤≤，求y 的取值范围； 解：① 设y =kx 2 (k ≠0)∵ x = -2时y =12 ， ∴(-2)2k =12， ∴k =3，∴ y =3x 2② 由题意得：k 2-4=0 ， ∴k =2或k =-2，∵ y 随x 的增大而减小，∴k +1<0 ∴ k =-2，∴ y 与x 的函数关系式是：y =-x . ③ 51y -≤≤-.例4. 已知y 与x 的正比例函数，且当x =4时y =-2 (1) 求出这个函数的解析式；(2) 在直角坐标平面内画出这个函数的图像；(3) 如果点M(m ，4)在这个函数的图像上，求m 的值；(4) 试问，点P(-6，3)关于原点对称的点Q 是否也在这个图像上？ 解：(1) 设y =k ·x (k 0≠) 当x =4时，y =-2 ∴-2=4k ∴12k =-∴这个函数的解析式为12y x =- (2) 12y x =-的定义域是一切实数，图像如图所示： (3) 如果点M(m ，4)在这个函数的图像上， ∴142m =-， ∴ m =-8(4) 点P(-6，3)关于原点对称的点Q 的坐标(6，-3)，当x =6时，y =1632-⨯=-. 因此，点B 也在直线12y x =-上.例5. 如图，长方形OABC 的边BC=6，AB=3，(1) 直线(0)y kx k =≠交边AB 于点P ，求k 的取值范围；(2) 直线(0)y kx k =≠把矩形OABC 的面积分成两部分，靠近x 轴的一部分记作S ，试写出S关于k 的解析式。

(3) 直线(0)y kx k =≠是否能将矩形OABC 的面积分成1:2的两部分？若能，求k 的取值；若不能，请说明理由。

解：(1)102k <≤(2) 当102k <≤时， S=18k ； 当12k >时， S=9182k-. (3) ① 当102k <≤时，18613k k ==，，②当12k >时，S=9182k -=12，34k =.例6. 已知正比例函数过A(2，-4)，点P 在此正比例函数的图像上，若直角坐标平面内另有一点B(0，4)，且Δ6ABP S =，求点P 的坐标。

解：设正比例函数解析式为y =kx (k 0≠) 已知正比例函数过A(2，-4) ∴-4=2k ，解得k =-2，∴正比例函数的解析式为y =-2x如图所示，画出直线y = -2x ，并标出A ，B 两点的位置， 分析题意，点P 的坐标要分两种情况讨论。

设点P 的坐标为(x ，-2x )(1) 若点P 在第二象限，则POB AOB ABP △△△S S S += 根据题意，得6=11()22A P BO x BO x ⋅⋅+⋅⋅- 6=P x ⋅⋅+⋅⋅4212421 解得1P x =-∴点P 的坐标为(-1，2)；(2) 若点P 在第四象限，根据题意有 AOB POB ABP △△△S S S -=， 得6=142p x ⋅⋅1422-⋅⋅，解得5p x =， ∴点P 的坐标为(5，-10)∴在正比例函数图像上适合条件的P 点有两个：(-1，2)，(5，-10).【巩固练习】 一、选择题1. 下列变化过程中，两个变量之间一个变量是另一个变量的函数的是 ( C )A. 等腰三角形的底边长与它的面积；B. 长方形的周长与它的面积；C. 正方体的体积与它的棱长；D. 物体运动的路程和它的运动的速度.2. 下列说法正确的是 ( C ) A.函数y =的定义域是x ≠0的一切实数； B. s =t 与y =x 不表示同一个函数； C. 变量2x -3是关于变量x 的函数；D. 已知函数211x y x -=-，则当x =+1时，函数值为0.3. 在函数 y =3x -2，y =1x＋3，y = -2x ，y =-x 2＋7 是正比例函数的有 ( B ) A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个4. 若函数y =(2m +6)x 2+(1-m )x 是正比例函数，则m 的值是 ( A )A. m =-3B. m =1C. m =3D. m >-35. 若点111(,)P x y 与点222(,)P x y 在同一个正比例函数y kx =的图像上，则以下表达式中正确的是 ( C )A. 1212x x y y +=+；B.1212x x y y -=-；C.1122x y x y =； D. 1212x x y y ⋅=⋅.6. 如图，在同一直角坐标系内，已知函数1y k x =中，y 随x 的增大而减小，函数2y k x =，满足120k k +=，则1y k x=与2y k x=的图像大致为( B )A B C D二、填空题 1. 函数211x y x +=+的定义域是____12x ≥-_____； 2. 已知函数2()1xf x x-=-，那么(2)f =___2-___； 3. 若梯形的下底长为x ，上底长为下底长的13，高为y ，面积为60，则y 与x 的函数关系是__90y x=___；(不考虑x 的取值范围)4. 如果函数2y kx k k =+-是正比例函数，那么函数关系式是__y =x ____；5. 正比例函数1(25)3y m x =-，当x <0时，y 随x 的增大而增大，那么m 的取值范围是_715m <_； 6. 如图，已知函数的图像满足条件：12∠=∠且直线经过原点，那么此函数的解析式是y x =- ；7. 在长方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，以O 为坐标原点建立直角坐标系，使x 轴和y 轴分别与两组对边平行，已知长方形的长AB 为4，宽BC 为3，则直线AC 的解析式为 34y x =-；直线BD 的解析式为 34y x = 。