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理论力学
第三章 非惯性参考系
［例3.1］ 一长为l的棒，两端点A和B分别沿十字槽滑动，A端的 速率为常数c，棒上有一质点M沿棒以恒定的相对速率 u向B端移动，如图所示。已知初始时，A端与O点相距 为d，M点位于A端处。求M点的速度(以θ角为参数)。
分析： 取十字槽为静系，棒为动系
y y'
要求动系中质点的速度，需求相对
dt dt dt dt
dr ' 称为 r ' 的绝对微商 dt
d *r dt
'
称为
r
'
的相对微商
r 称为 r ' 的牵连微商，
对于任意旋转矢量 A ，总有其绝对微商=相对微商+牵连微商
如果旋转矢量
A
Axi
Ay
j
Azk ，那么有：
dA dt
d*A dt
A
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第三章 非惯性参考系
于是我们得到了非惯性系和静系中速度的变换关系：
或写成
dr drt d *r ' r '
dt dt dt
v v ' ve v ' (vt r ')
式中 v 是在静系中观察者看到P的速度，称为绝对速度
v '是在静系中观察者认为相对动系P的速度，称为相对速度 ve 是在静系中观察者看到动系的平动速度与转动速度矢量和，称为牵连速度
绝对速度 = 相对速度 + 牵连速度 (质点的速度合成原理) 原则上，质点与动系不在同一物体上。
故 x x ' 3u t
2x
2
乙 Bu
u 甲
A
丙 uC
三人最终在正三角形中心相聚，此时x’=0，t=0时，x=l
所以 t l /(3u / 2) 2l / 3u
s ut 2l / 3
采用相对运动知识求解则甚为简捷。
运动中三人始终形成正三角形。若以乙为参照物，则甲
相对乙运动的速度为： v甲乙 v甲 v乙 故 v甲乙 3u v甲乙沿甲乙方向的分量为 v甲乙 cos 300 3u / 2 所以用时为：t l /(3u / 2) 2l / 3u，跑的路程为：s ut 2l / 3
第三章 非惯性参考系
理论力学
第三章 非惯性参考系
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第三章 非惯性参考系
教学基本要求：
掌握 绝对运动、 牵连运动和相对运动的概念以及 非惯性系(平动、旋转或它们的组合)与惯性系 之间位移 、速度和加速度的关系
掌握 Inertia force和Coriolis acceleration 的概念 以及Coriolis force产生的原因
A
速度和牵连速度。相对速度已知， c l u
只需求出牵连速度，包括动系的平
M
B
O
动速度和转动速度。
x
x'
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第三章 非惯性参考系
解：建立如图所示的静直角系O-xyz
y y'
和固着在棒上的动直角系A-x’y’z’A
由动系和静系速度变换关系： c l u
M
B
x
v v ' vt r '
l sin
c
积分可得：t
t dt l
0
c
sin d
0
l c
(cos0
cos )
由于初始时刻，A端与O点相距为d，所以 cos 0
d l
从而求出时间为： t d l cos
c
y y'
为化同一坐标系，由图中几何关系有：
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第三章 非惯性参考系
据速度定义有：v
dr dt
drt dt
dr ' dt
vt
d dt
(x'i
'
y'
j
'
z'k
')
由于在活动坐标系中，方向矢量 i ', j ', k ' ，随着时间而变化
所以速度可以写作：
v
vt
( dx ' i dt
'
dy ' dt
j
'
dz ' dt
k
') (x ' di ' dt
掌握非惯性系中质点(组)力学问题的分析和处理手法 了解地球自转效应。
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第三章 非惯性参考系
本章重点：
绝对运动、 牵连运动和相对运动的概念以及非惯性 系(平动、旋转或它们的组合)与惯性系之间位移 、 速度和加速度的关系。 Inertia force的概念和Coriolis force产生的原因。 非惯性系中质点(组)力学问题的分析和处理手法。
O
x'
据题意： v ' ui '， vt vA cj ， r ' k ' uti ' utj '
仅需求出 , t 以及把结果化为同一坐标系
又
vA
drOA dt
d (l cos j ) l sin j
dt
cj
故 c l sin
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第三章 非惯性参考系
因 c ，所以有 dt l sin d
静系和动系具有相对性。动系看静系时，静系成为动系
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第三章 非惯性参考系
［例3.0］甲、乙、丙三个芭蕾演员同时从边长l的正三角形顶点
A、B、C出发，以相同的速率u运动，运动中始终保持
甲朝着乙、乙朝着丙、丙朝着甲，试问经过多少时间
三人相聚？每个演员跑了多少路程？为x x ut
本章难点：
Coriolis force产生的原因；非惯性系(平动、旋转或 它们的组合)与惯性系之间位移 、速度和加速度的关 系；非惯性系中质点(组)力学问题的分析和处理手法
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第三章 非惯性参考系
(一)绝对速度、相对速度和牵连速度
如图，设有两个参考系，分别用固定坐标系O-xyz (S系，静系)
y'
dj ' dt
z ' dk ') dt
vt
( dx ' dt
i
'
dy ' dt
j
'
dz ' dt
k
')
[x '( i
')
y '(
j
')
z '( k
')]
vt
d *r dt
'
r
'
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第三章 非惯性参考系
式中
dr ' d*r ' r ' ，
dt dt
d*r ' dx ' dy ' dz ' i ' j ' k '
x'
则经历极短时间 t后边长为x’ ut
如图，据余弦定理得：
甲
C' 丙
x '2 (ut)2 (x ut)2 2ut(x ut) cos 600 x2 3xut 3u2t2 x2 3xut
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第三章 非惯性参考系
即 x ' x(1 3ut )1/2
x
作泰勒展开有： x ' x(1 3ut )
和运动坐标系O’-x’y’z’ (S’系，动系) z
质点P在空间中运动，则：r rt r '
式中 r xi yj zk
(绝对位矢)
rt xti yt j ztk (牵连位矢) r ' x 'i ' y ' j ' z ' k ' (相对位矢)
xO
z' P S'
r
r' y'
O'
rt x ' S y