南京市2021届高三年级学情调研数 学 2020.09一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{x |1＜x ＜3 }，则A ∩B ＝A ．{x |－1＜x ＜3}B ．{x |－1＜x ＜1}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |2＜x ＜3} 2．已知(3－4i)z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且|a ＋b |＝3，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π34．在平面直角坐标系xOy 中，若点P (43，0)到双曲线C ：x 2a 2－y 29＝1的一条渐近线的距离为6，则双曲线C 的离心率为 A ．2B ．4C ． 2D ． 35．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2b cos C ≤2a －c ，则角B 的取值范围是A ．(0，π3]B ．(0，2π3]C ．[π3，π)D ．[2π3，π)6．设a ＝log 4 9，b ＝2－1.2，c ＝(827)－13，则A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆A ：(x －1)2＋y 2＝1，点B (3，0)，过动点P 引圆A 的切线，切点为T ．若PT ＝2PB ，则动点P 的轨迹方程为 A ．x 2＋y 2－14x ＋18＝0B ．x 2＋y 2＋14x ＋18＝0C ．x 2＋y 2－10x ＋18＝0D ．x 2＋y 2＋10x ＋18＝08．已知奇函数f (x )的定义域为R ，且f (1＋x )＝f (1－x )．若当x ∈(0，1]时，f (x )＝log 2(2x ＋3)，则f (932)的值是A ．－3B ．－2C ．2D ．3二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9．5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出做出预测．由上图提供的信息可知 A ．运营商的经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势10．将函数f (x )＝sin2x 的图象向左平移π6个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则A ．函数g (x )的图象关于直线x ＝π12对称B ．函数g (x )的图象关于点(π6，0)对称C ．函数g (x )在区间(－5π12，－π6)上单调递增D ．函数g (x )在区间(0，7π6)上有2个零点11．已知(2＋x )(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，则A ．a 0的值为2B ．a 5的值为16C ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6的值为－5D ．a 1＋a 3＋a 5的值为120 12．记函数f (x )与g (x )的定义域的交集为I ．若存在x 0∈I ，使得对任意x ∈I ，不等式[f (x )－g (x )](x －x 0)≥0恒成立，则称(f (x )，g (x ))构成“M 函数对”．下列所给的两个函数能构成“M 函数对”的有（ ）A ．f (x )＝ln x ，g (x )＝1xB ．f (x )＝e x ，g (x )＝e xC ．f (x )＝x 3，g (x )＝x 2D ．f (x )＝x ＋1x，g (x )＝3x三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球（小球完全浸入水中），水面高度恰好 升高r 3，则Rr ＝ ▲ ．14．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287－前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y ＝4与抛物线C ：y ＝14x 2交于A ，B 两点，则弦AB 与抛物线C 所围成的封闭图形的面积为 ▲ ．15．已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且2S n ＝a n a n ＋1，n ∈N *，则a 4＝ ▲ ；若a 1＝2，则S 20＝ ▲ ．(本题第一空2分，第二空3分)16．若不等式(ax 2＋bx ＋1)e x ≤1对一切x ∈R 恒成立，其中a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数，则a ＋b 的取值范围是 ▲ ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知向量m ＝(2cos x ，－1)，n ＝(3sin x ，2cos 2x )，x ∈R ．设函数f (x )＝m ·n ＋1． （1）求函数f (x )的最小正周期；（2）若α∈[π3，7π12]，且f (α)＝85，求cos2α的值．rr318．（本小题满分12分）已知数列{a n }是公比为2的等比数列，其前n 项和为S n ．（1）在①S 1＋S 3＝2S 2＋2，②S 3＝73，③a 2a 3＝4a 4这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列{a n }的通项公式，并判断此时数列{a n }是否满足条件P ：任意m ，n ∈N *，a m a n 均为数列{a n }中的项，说明理由；（2）设数列{b n }满足b n ＝n (a n ＋1a n )n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和T n ．注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生（男生60人，女生40人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间），结果如下：（1）是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关？附：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，（2）如果用这100名学生生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X 表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X 的分布列和数学期望．E DCBAP20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AD //BC ，AB ＝BC ＝P A ＝1， AD ＝2，∠P AD ＝∠DAB ＝90°，点E 在棱PC 上，设CE ＝λCP ．（1）求证：CD ⊥AE ；（2）记二面角C －AE －D 的平面角为θ，且|cos θ|＝105，求实数λ的值．21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1．（1）设椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，T 是椭圆C 上的一个动点，求TF 1→·TF 2→的取值范围；（2）设A (0，－1)，与坐标轴不垂直．．．的直线l 交椭圆C 于B ，D 两点．若△ABD 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．22．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝kx －x ln x ，k ∈R ． （1）当k ＝2时，求函数f (x )的单调区间；（2）当0＜x ≤1时，f (x )≤k 恒成立，求k 的取值范围； （3）设n ∈N *，求证：ln12＋ln23＋…＋ln n n ＋1≤n (n －1)4．南京市 2021届高三年级学情调研测试数学试卷考点扫描一、单项选择题：整体分析：1-6题较为基础；第7题需要掌握切线长的转换，进而表示PA与PB 的表达式，通过设P点求出轨迹方程；第8题需要利用已知条件中的关系式（关于直线x=1对称）、奇函数得出周期，进而求出对应区间的函数值。

单项选择题基本上都是考查基础，难度较低或中等偏下一些，需要平时多多注重基础的扎实度，拿到满分比较容易。

二、多项选择题：整体分析：9-11题考查较为基础，难度较低，但要注意所学知识的全面性，不能有漏洞，另外，多选题更需要策略和方法。

12题要注意理解新定义的概念，并运用函数的性质验证即可，难度一般，但是容易失分或少得分。

三、填空题：整体分析：13题较为基础，主要考查几何体的体积运算；14题考查文化题题型，需要理解阿基米德三角形或定理的运算，然后应用到抛物线求解切线方程以及直线构成的三角形的面积，当然千万不要忘记最后的三分之二，难度一般，此题为新题型：文化题，需要注意训练；15题考查数列的性质及求和，该数列较为容易递推出来奇数项和偶数项都是隔项成等差数列，而且奇数项和偶数项一样，进而求出第4项和求和，难度适中，此题为新题型：双空题，需要注意训练；16题考查多参数的函数恒成立问题，需要分类进行讨论，分析求导并判断单调性得出答案，难度中等偏上，一般情况下不一定能做出来。

四、解答题：整体分析：17题考查平面向量数量积坐标公式、三角函数的图像与性质、三角恒等变换求三角函数值等，难度较小，需要拿到满分；18题考查数列的通项公式、错位相减法求和，此题为新题型：开放性试题，平时需要注意训练；19题考查线性回归分析、随机变量的概率、期望、分布列等，难度不大，较为基础，需要注意计算正确；20题考查立体几何证明平行与垂直、利用二面角的余弦值求实数，需要利用空间向量建立空间直角坐标系解题，难度不大，同样需要注意求解面的法向量时的计算；21题考查圆锥曲线综合，整体来说，第一问考查较为新颖，而不是老套的求解标准方程，第二问考查较为经典：中点弦、向量垂直等关系，需要设出直线方程，利用垂直求得关系式得出结果，注意不要忘记检验二次函数的判别式是否满足题意，难度中等，也许拿到满分不是那么容易；21题考查导数与函数综合应用，第一问，较为简单，求函数的单调区间；第二问，考查含参函数的恒成立问题，需要分类讨论，最好是构造新函数解决，较为清晰化，难度中等；第三问，利用第二问的一般性结论证明不等式，并合理利用函数性质建立不等关系，证明结果，难度较大。