立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习知识点整理(一)平行与垂直的判断⑴平行：设，的法向量分别为U,V ，贝U 直线l,m 的方向向量分 别为a,b ，平面线线平行i // m a 〃 b a 诂；线面平行i // a u a u 0 ； 面面平行//u// v u J.⑵ 垂直：设直线l ，m 的方向向量分别为a,b ，平面，的法向量 分别为u,v ，则线线垂直I 丄m a 丄b ab 0 ；线面垂直I 丄 a // u a ku 「； 面面垂直丄 u 丄v u v 0.(二)夹角与距离的计算注意：以下公式可以可以在非正交基底下用，也可以在正交基底下用坐标运算(1)夹角：设直线l ，m 的方向向量分别为，平面，的法向量 分别为u ，v，则①两直线I ，m 所成的角为(2)空间距离②直线I 与平面 ③二面角一I的大小为(0< < )，coscos(0<=2)，sin所成的角为点、直线、平面间的距离有种.点到平面的距离是重点,两异面直线间的距离是难①点到平面的距离h：(定理)如图，设n是是平面的法向量，AP是平面的一条斜线，其中A则点P到平面的距离uuu uu②h 1 Auur n |(实质是AP在法向量n 方向上的投影的绝对值) |n|uuu ur③异面直线l i,l2间的距离d： d AB JC』1(11,12的公垂向量为|n| 'n, C、D分别是h,l2上任一点). 题型一：非正交基底下的夹角、的计算例1.如图，已知二面角-I - 点A ,B , AC I于点C, 且AC=CD=DB=1.求：(1) A、B两点间的距离；(2)求异面直线AB和CD勺所成的角(3) AB与CD勺距离.解：设AC a,CD b,DB c,则|a| |b| |c| 1, a,b b,c 900, a,c 60°,2 • • 2 •• 2 ■■ 2|AB | a b c . a b c 2a b 2b c 2c a 2A、B两点间的距离为2.(2)异面直线AB和CD的所成的角为60°小结：任何非正交基底下的证明、计算都先设基底，并将条 件也用基底表示，特别证明线面平行时，如AB//平面PEF 可 以将AB有基底表示，PE ，PF也用基底表示，最后用待定系数 法AB PE PF，将入和卩求出。
例2。
如图，在三棱锥 A — BCC 中，侧面ABD] ACC 是全等的 直角三角形，AD 是公共的斜边， 侧面ABC 是正三角形.求证：ADL BC求二面角B — AC- D 的大小；在段线AC 上是否存在一点E ,使ED 与面BCD 成30°角？若存在，确定点E 的位置；若不存 在，说明理由•20.解法一：(1)方法一：作 AH L 面 BCD 于 H 连 DH.(3)设与AB CD 都垂直的非零向量为n 由nAB得(xa 由n CD 得(xa 令x=1，则由①、 与CD 的距离为 d I』ACI 旦AC 1 |(a c) a||n| |n|b c) 0 3x0 y 0 ②，②可得z=-1 ,yb zc) (ayb zc) b —fc- ——i-xa yb zc,2y 3z 0①；a c，由法则四可知，ABPE, PF(1) (2B[=C[=1o 另一个DABL BD HBL BD •/ AD=..4■* 一 mBD=1 /. AE=、Q =BCAC /. BD L D又BD=CD贝V BHC［是正方形，则DHL BC.・•・ ADL BC方法二：取BC的中点0,连AO DO 则有AOL BC DOL BC ・•・BC L面AOD・・・BC L AD(2)作BM L AC于M 作MN L AC交AD于N,则/ BMN就是二面角B—AC—D的平面角.•・• AB=AC=BC= 2，二M是AC的中点，且MW CD则Bh=-6,MN 1CD 1, BN 1AD 3.2 2 2 2 2(3)设E为所求的点，作EF L CH于F,连FD则EF//AH , ••• EF丄面BCD / EDF就是ED与面BCD所成的角,贝ED=30° ,设EF=x ,易得AH=H(=1 ,则CF=x , FD= 1 x2.tan EDF 巨——x—,解得 x —,则 CE 2x 1,FD\1 x7 3 2故线段AC上存在E点,且CE=1时,ED与面BCD成30 角. 解法二：(1)作AHL面BCDT H 连BH CH DH则四边形BHCD 是正方形，且AH=1 ,以D为原点,以DB为x轴,DC为y轴建立空间直角坐标由余弦定理得cos BMN BM 2 MN 2 BN2.6BMN arccos系如图，则 B (1, 0, 0), C (0, 1, 0), A (1, 1, 1)BC ( 1,1,0), DA (1,1,1), BC DA 0,则BC AD.(2)设平面ABC 的法向量为m=(x,y,z), 则由 E BC 知: BC x y 0;同理由n 1 CA 知n 1 CA x z 0. 可取 n 1 (1,1, 1).(3)设 E (x , y , z ) 平面BCD 勺一个法向量为n (0,0,1), DE (x,1,x), 要使ED 与面BCD 成 30°角，由图可知DE 与n 的夹角为DE n x 1所以 cos DE,n_— 『cos60 一.|DE ||n| V 1 2x22则 2x 1 2x 2,解得,x —,则 CE 2x 1.2故线段AC 上存在E 点,且CE 1时,ED 与面BCD 成30角.题型二、利用坐标系或几何法解决距离、角度及其证明问题例3、如题(18)图，在五面体ABCDEF 中，AB // DC , BAD -,CD AD 2,四边形ABFE 为平行四边形，FA 平面ABCD ,FC 3,ED .7•求：(I)直线AB 到平面EFCD 的距离； (fl)二面角F AD E 的平面角的正切同理，可求得平面ACD 勺一个法向量为由图可以看出，二面角 1 0 1 .3 . 2贝 V cos n 1, n 2m n 2Eli|n 1 IE |n 2 (1,0, 1).B- AC — D 的大小应等于 于，即所求二面角的大小是m ,n276 arccos ——是线段AC 上 —点，则x z 0,y1,60°,值.解法一：（I ） Q AB PDC,DC 平面 EFCD ,A 到面EFCD 的距离，过点 A 作AG FD 于G 因BAD - AB // DC , 故CD AD ；又Q FA 平面ABCD ，由三垂线定理可知，CD FD ，故 CD 面FAD ，知CD AG ，所以AG 为所求直线AB 到面EFCD 的距离在 RtA ABC 中， FD 、、FC?—CD 2. ^~4 ,5由FA 平面ABCD ， 得FA AD ， 从而在Rt^ FAD 中，FA . FD 2 AD 2r -? 1AG ^AFDAD三255。
即直线AB 到平面EFCD 的距离为年。
(H)由己知，FA 平面ABCD ，得FA AD 又由BAD -,FAE为二面角F AD E 的平面角，记为..ED 2 AD 2、、厂 3 ,由 YABCD 得,FE PBA ,从而AFE —2在 RtA AEF 中,FE所以二面角F AD E 的平面角的正切值为2. 解法二：(I)如图以 A 点为坐标原- 点，AB,AD,AF 的方向为x,y,z的正方向建立空间直角坐 标系数,则AB 到面EFCD 的距离等于点知 AD AB ，故 ADDA AE，所以，在 Rt△ AED 中,AE平面ABFEAE2 AF2厂 2，故tanF AEBA(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设 F (O ,O ,Z O)(z°0)可得FC (2,2, z o ),由 |FC| 3.即，22—22一z 23,解得 F(0,0,1) Q AB // DC ,DC面EFCD ,所以直线AB 到面EFCD 的距离等于点 A 到面EFCD 的距离。
设 A 点在平面EFCD 上的射影点为CD ( 2,0,0),此即2： 0 0解得x iO ①,知G 点在yoz 面 上,故G 点在FD 上.GF PDF , G 1^ ( ^ , y” z 1)故有鲁召1② 联立①,②解得,2 4 G(0,—,).5 5|A苟为直线AB 到面EFCD 的距离.而AG (0牛) 所以5 5II)因四边形ABFE 为unr E(X o,O,1) (x o0), ED ( X o2, 1). 由|ED| -.7得、、x^ 221 .7 ,解得 x Ouuu uur uuuruuur田 AD (0,2,0) , AF (0,0,1) 因 AD AEF AD E的平面角，又Q EFuiutan FAE L^u-12|FA|G(x !, y 1,z 1),则murAG (X i ,y i ,Z i )uuur uuir AG DF uuir uuu且 AG CD,W uuirDF (0, 2,1)uuur |AG|2,55■ 2.即 E( .2,0,1).故 AE ( .2,0,1), AD AF 0,故FAE 为二面角uuuuuur(、、2,0,0) , |EF| ^2 , |AF| 1 , 所平行四边形,则可设例3、如图，四棱锥S- ABC冲，底面ABCD为平行四边形,狈寸面SBCL底面ABCD已知/ ABC= 45°, AB= 2, BC=22,s心SB= 3.⑴证明：SA a BC(2)求直线SD与平面SAB所成角的大小.求异面直线DC SA的距离.解:⑴作AE BC于E点,则AE BE AB cos ABE2 cos45°、2又•・• BC=22BE - BC2即E点是BC的中点. 又• SEA SB・•・SEB SEA 90°, 即SE是BC的中垂线.又•・•侧面SBCL底面ABCD ・•・SE面AC.um uur urn⑵ 以E为原点,分别以向量EASES的正万向为x轴、y轴、z轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，如图4所示.容易求得SE=1汙是,0),S(0,0,1)A( 2,0,0),B(0, 2,0),C(0,- 2,0),D( 2,-2 2,E(0,0,0). r设平面SAB的法向量n(x,y,z),UUT —ULT… SA b/2,0, 1) SB=(0,72,-1)T ULTn SA 、2x-z 0令z .2 ,得n (1,1, &)T ULT —又、:SD ( . 2, 2 2, 1)设直线SD 与平面SAB 所成的角为题型三、探索性问题・•・不论入为何值，恒有 EF// CD 二EF 丄平面 ABC EF 平 面 BEF,・••不论入为何值恒有平面 BEF 丄平面ABC ...... .................... 6 分(H)由(I)知，BE!EF ,又平面BEFL 平面ACD・•・BE1平面 ACD ・•・BE! AC. ...... 8分 ・・・ BC=CD=1 / BCD=90，/ ADB=60 ,・°・ BD 2, AB .2tan60 6,sinuuu r SD nSD n|2 2 ,lT~422 71已知△ BCD 中，/ BCD=90 , BC=CD=1 AB 丄平面 BCD/ ADB=60 ,E 、F 分别是ACAD 上的动点，且佟生AC AD(01).(I)求证：不论入为何值，总有平面 (U)当入为何值时，平面21.证明：(I)： AB 丄平面BCD “•・• CDABC.…•…BEFL 平面 ABCBEF !平面 ACDBC 且 AB n BC=B ,............. 3分AE AF AC AD(01)，11二 CDAC AB 2 BC 2.7,由A B=AE ・AC 得AE 2 肇£J 7' AC 7'故 当 6时，平 面 BEF 丄 平面ACD ： ................................. 12 分 22. （2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是 地面边长的迈倍，P 为侧棱SD 上的点。