卡方检验(Chi-square test)stat9@检验(Chi-square test)是现代统计学的创始人K. Pearson 提出的一种具有广泛用途的统计方法。

该检验可用于两个及多个率（或者构成比）之间的比较，分类资料的关联度分析，拟合优度检验等。

2一、卡方检验的基本思想首先介绍一个抽样分布：卡方分布⏹属连续型分布⏹可加性是其基本性质⏹唯一参数，即自由度(1) 自由度为1的χ2分布若Z N ~(,),01则Z 2的分布称为自由度为1的χ2分布.(Chi-square distribution),记为χ()12或χ21(). 图形:02468100.00.10.20.32220.05(1)0.05/22220.01(1)0.01/23.84(1.96)6.63(2.5758)ZZχχ======(2) νZ Z Z ,...,,21互相独立,均服从N (,)01,则22221...νZ Z Z +++的分布称自由度为　ν的χ2分布,记为χν()2或)(2νχ,或简记为χ2.● 图形: ●自由度ν很大时,2()νχ近似地服从正态分布.有2()2(),22Z ννχνχννν-=服从均数为，方差为的正态分布0.00.10.20.30.40.50369121518¿¨·½Öµ×Ý·ß×ÔÓɶȣ½1×ÔÓɶȣ½2×ÔÓɶȣ½3×ÔÓɶȣ½62/)12/(2222)2/(21)(χνχνχ--⎪⎪⎭⎫⎝⎛Γ=ef 3.847.8112.59P ＝0.05的临界值χ2分布（Chi-square distribution ）性质:若χνχν2122(),()互相独立, 则χνχν2122()()+服从χ2分布, 自由度=+νν12 χνχν2122()()-服从χ2分布, 自由度=-νν12称该分布具有可加性。

卡方检验的基本思想组别有效无效合计有效率(%)试验组99 5 10495.20 (p 1)对照组7521 9678.13 (p 2)合计1742620087.00 (p c )表7-1 两组降低颅内压有效率的比较（P112）实际频数A (actual frequency)理论频数T (theoretical frequency)nn n column row T C R =⨯=总例数合计列合计行)()(RC四格表(fourfold table)它反映了理论数与实际数的吻合情况，该统计量近似地服从自由度为ν的卡方分布。

)1)(1(,)(22--=-=∑C R TT A νχ2222(9990.48)(513.52)(7583.52)(2112.48)290.4813.5283.5212.4812.86(21)(21)1v χ----=+++==--=查附表8，P7150.00.10.20.30.40.50369121518¿¨·½Öµ×Ý·ß×ÔÓɶȣ½1×ÔÓɶȣ½2×ÔÓɶȣ½3×ÔÓɶȣ½62/)12/(2222)2/(21)(χνχνχ--⎪⎪⎭⎫⎝⎛Γ=ef 3.847.8112.59P ＝0.05的临界值χ2分布（Chi-Square distribution ）χ2检验的基本公式22(),(1)(1)A T R C T χν-==--∑上述检验统计量由K.Pearson 提出，因此许多统计软件上常称这种检验为Pearson’s Chi -square test ，下面将要介绍的其他卡方检验都是在此基础上发展起来的。

二、四格表资料专用公式为了省去计算理论频数T,可由基本公式推导出，直接由各格子的实际频数（a 、b 、c 、d ）计算卡方值的公式：2222222()()()()()()()()()()()()(()()()()())1;A T Ta b a c a b b d c d b d a b d a b c d a b c d a b c d a b a c a b b d c d b d a b c d a b c d a b c ad bc n a b c d a c d db χχν-=++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++++++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦=++++++++++++++++++=-⋅++=++∑ 基本公式：（四格表检验专用公式）上面的例子20.005,1220.05,1220.05,12200(9921575)212.86 , 110496174267.88;0.0053.84;0.053.84; 0.05P P P υχχχχχχ⨯⨯-⨯===⨯⨯⨯=<≥=≤<=>如果如果查附表8，P715三、连续性校正公式χ2分布是一连续型分布，而四格表资料属离散型资料，对其进行校正称为连续性校正(correction for continuity),亦称Yates 校正（Yates'correction ）。

校正公式：22(0.5)c A T Tχ--=∑))()()(()2/(22d b c a d c b a n n bc ad c ++++--=χ一般认为：四格表在n>40时出现有任一格1 ≤T ＜5时，需要校正。

例子2(468618782)782 3.14 , 152266414c υχ⨯-⨯-⨯===⨯⨯⨯因为有一格1＜T ＜5，且n ＞40时，所以应用连续性校正χ2检验。

例7-2 P114四、精确概率法(Fisher ’s exact probability)在无效假设成立的前提下且周边合计固定时，产生任意一个四格表(i)的概率P i 服从于超几何分布，其计算式为：()()()()i !!!!P !!!!!a b c d a c b d a b c d n ++++=原理：P 值为在无效假设成立的前提下，得到现有样本四格表以及更极端情况下的四格表的概率。

四格表资料分析小结(重要)⏹Fisher’s exact probability法均适用⏹卡方检验是一种近似检验（1）当n≥40，T>5时,可用。

然而当P值接近0.05时最好用Fisher’s exact probability法；(2) 当n≥40，有任一格1≤T＜5时，可用Yates校正公式；(3) 当n＜40或有T＜1时，用Fisher’s exact probability。

7.2 配对四格表资料的χ2检验若a (甲＋乙＋)、b (甲＋乙－)、c (甲－乙＋)、d (甲－乙－)。

将a 、b 、c 、d 四种情况的对子数填入四格表配对设计包括：（1）同一批样品用两种不同的处理方法；（2）观察对象根据配对条件配成对子，同一对子内不同的个体分别接受不同的处理；（3）在病因和危险因素的研究中，将病人和对照按配对条件配成对子，研究是否存在某种病因或危险因素。

P114例7-3观察的结果只有阳性、阴性两种可能，清点成对资料时发现则存在四种情况。

⏹（1）两种方法都出现阳性（共有11例）；⏹（2）免疫荧光法阳性而乳胶凝集法却是阴性（共有12例）；⏹（3）免疫荧光法阴性而乳胶凝集法却是阳性（共有2例）；⏹（4）两种检测方法均为阴性结果（共有33例）。

上述几种情况整理成配对四格表(表7-3)配对四格表资料的χ2检验（McNemar's test ） 1,)1(2402=+--=<+νχc b c b c b 时，需作连续性校正， 1,)(2240c =+-=≥+νχcb c b b 时，当H 0：b ，c 来自同一个实验总体（B=C ）；H 1：b ，c 来自不同的实验总体（）；α=0.05。

B C ≠注：B=C=(b+c)/2补充：配对设计R×R表⏹配对四格表实为配对2×2表⏹实际工作中分类可能是多个（R个）McNemar 检验的推广()2211=(1,2,...,)2Ri i i i i iin m R i R R n m A χ=--=+-∑1R ν=-例子某研究所欲比较X 线与CT 对强直性脊柱炎（AS ）骶髂关节病变的诊断价值，分析临床诊断为AS 的患者136例，对272个骶髂关节分别拍摄X 线平片与CT 扫描，结果见下。

问两种方法诊断骶髂关节病变的分级有无差别？231.5864130.005P χν==-=<7.4行×列表资料的检验χ2专用公式)1(22-=∑CR n n An χ1、多个样本率的比较2、样本构成比的比较3、双向无序分类资料的关联性检验自由度ν = (R -1)(C -1)多个样本率或两个构成比比较的 2检验表7-8 三种疗法有效率的比较疗法有效无效合计有效率（%）物理疗法199720696.60药物治疗1641818290.11外用膏药1182614481.94合计4815153290.41H0：π1 ＝π2 ＝π3 ，即三种疗法治疗周围性面神经麻痹的总体有效率相等H1：三种疗法治疗周围性面神经麻痹的有效率不全相等α=.0052222199726532(1)206481206511445121.04χ=+++-⨯⨯⨯= 2)12)(13(=--=ν查χ2界值表，得p ＜0.005，按α＝0.05水准，拒绝H 0，接受H 1，三种疗法治疗周围性面神经麻痹的有效率有差别。

双向无序分类资料的关联性检验表7-10 某地5801人的血型ABO血型MN血型合计M N MNO4314909021823A3884108001598B4955879502032AB137********合计1451166626845801问题：（1）两分类变量（行、列变量）有无关联？（2）关联程度如何？分析步骤：H 0：两种血型系统间无关联(独立性检验）H 1：两种血型系统间有关联05.0=α2222431490325801(1)18231451182316663482684χ=+++-⨯⨯⨯ 6)13)(14(=--=ν213.16=结论：两种血型系统间虽然有关联性(有统计学意义)，但列联系数数值较小，仍可认为关系不太密切。