等腰三角形、等边三角形题型分类
【例题讲解】
一、利用等腰三角形的性质求角度
例1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A ．60°或120°
B ．30°或150°
C ．30°或120°
D ．60° 例2、 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB.求∠A 的度数
例3、如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，AB 于⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数
二、利用等腰三角形的性质证明线段关系
例1、已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，BD 和CE 是△ABC 的角平分线，求证：BD=CE.
A B C D E A B C D F E
例2、如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足, 求证:
① AC＝AD；②CF＝DF。
三、等腰三角形的判定
例1、如图，AB=DC，BD=CA，BD 与CA相交于点E，求证：△AED 是等腰三角形.
例2、在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=45°,D为BC上一点,BD=AB,DE⊥BC交AC于点E.
(1)求证:△ADE是等腰三角形;
(2)图中除△ADE是等腰三角形外,还有没有等腰三角形?若有,请一一写出来(不要求证明);若没有,请说明理由.
四、等腰三角形及等边三角形中的动点问题
例1、已知，△ABC 是边长3cm 的等边三角形.（1）动点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动.设点P 的运动时间为（s ），那么t 为何值时，△PBC 是直角三角形？
（2）动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点B 出发，沿BC 向点C 运动，如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），那么t 为何值时，△PBQ 是直角三角形?
（3） 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发.设运动时间为t （s ），那么 当t 为何值时，△DCQ 是等腰三角形?
（4）动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），连接PC. 请探究：在点P 、Q 的运动过程中△PCD 和△QCD 的面积是否相等？
（1） （2） （3） （4）
C Q B
P A Q D B C P A Q D B C P A B C P A
【巩固练习】
一、利用等腰三角形的性质求角度
1、如图,将△ABC 绕点A 逆时针旋转150°,得到△ADE ,这时点B ,C ,D 恰好在同一直线上,则∠B 的度数为 .
2、如图,在△ABC 中,AB=AC ,BD ,CE 是高,BD 与CE 相交于点O.
(1)求证:OB=OC ;
(2)若∠ABC=50°,求∠BOC 的度数.
3、如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD ，求∠A 的度数
4、如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD,求∠EDC 的度数
F E A D B C A B C D E
5、AD 和BE 是△ABC 的高，H 是AD 与BE 或是AD 、EB 延长线的交点，BH=AC ，求∠ABC 的度数．
二、利用等腰三角形的性质证明线段关系
1、如图，已知：△ABC 中，AB ＝AC ，M 、D 、E 分别是BC 、AB 、AC 的中点．
（1）求证：MD ＝ME ； （2）若MD ＝3，求AC 的长.
2、如图，△ABC 中，AB=BC ，BE ⊥AC 于点E ，AD ⊥BC 于点D ，∠BAD=45°，AD 与BE 交于点F ，连接CF ．
（1）试判断BF 与AE 有什么样的数量关系．并说明理由；
（2）若CD=2，求AF 的长．
M E A B C D
3、已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
三、等腰三角形的判定
1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA的延长线上，EP BC，垂足为P,EP交AB于点F，求证：△AEF是等腰三角形.
2、如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE 相交于点F,试判断△AFC的形状,并说明理由.
四、等腰三角形及等边三角形中的动点问题
1、在等边ABC
∆的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问：（1）在爬行过程中，CD 和BE始终相等吗？
（2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，所示，蜗牛爬行过程中CQE
∠的大小条件不变，求证：︒
∠60
CQE
=
（3）如图。
如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确？（1,2问自己作图）。