⇔ 1 ∧ (( P ∧ Q) ∨ Q ∨ P ) ⇔ Q ∨ P
∴主合取式为=M0
主析取式为:m1∨m2∨m3
⇔(¬P∧Q) ∨(P∧¬Q) ∨(P∧Q)
(2) P ∨ (7 P → (Q ∨ (7Q → R) ))
⇔ P ∨ ( P ∨ (Q ∨ (Q ∨ R ))) ⇔ P ∨ (P ∨ (Q ∨ R ) ) ⇔ P ∨ Q ∨ R
（2） P → R 前提
（5）证 明： （1） R （2） 7 R ∨ P （3） P 附加前提 前提 析取三段式(1)、(2)
P （4） →(Q→S) 前提
（5）7P∨(7Q∨ S) 等值置换（4） （6）7Q ∨ S （7） Q （8） S 析取三段式(3)、(5) 前提 析取三段式(6)、(7)
命题逻辑对（p→q）的翻译
在p→q中，p与q的逻辑关系是q是p的必要条件， p是q的充分条件。用自然语言表达时有多种叙述方法， 例如： （1）如果p，则q; （3）因为p，所以q （5）只有q，才p （2）只要p，就q （4）p仅当q （6）除非q，否则非p
（7）假如没有q，就没有p
例如
设p：王容努力学习，q：王容取得好成绩 将下列命题符号化。 （1）只要王容努力学习，她就会取得好成绩 （2)王容取得好成绩，如果她努力学习 （3）只有王容努力学习，她才能取得好成绩 （4）除非王容努力学习，否则她不能取得好成绩 （5）假如王容不努力学习，她就不能取得好成绩 （6）王容取得好成绩，仅当她努力学习了。
2．
（1）F (3）T (6）不知真假 （8）不知真假 （9）真或假，视情况而定 （10）T （3）P：我们学好了离散数学。 Q：我们为学习计算机专业课程打下了良好的基础 P→Q （10）P：2是质数； Q：2是偶数； P∧Q
3．
（1）设 P：小王很聪明； Q：小王不用功； P∧Q （2）设 P：天下大雨； Q：我乘公共汽车上班； P→Q （3）设 P：天下大雨； Q：我乘公共汽车上班； Q→P或~P →~Q （4）设 P：鱼死； Q：网破； （5）设 P：李平唱歌 Q：王丽伴奏 P∨Q P↔Q
∴主合取式=M0 = P ∨ Q ∨ R 主析取式为=
m1 ∨ m 2 ∨ m3 ∨ m 4 ∨ m5 ∨ m6 ∨ m7
即= (7 P ∧ 7Q ∧ R ) ∨ (7 P ∧ Q ∧ 7 R ) ∨ (7 P ∧ Q ∧ R ) ∨ (P ∧ 7Q ∧ 7 R ) ∨
(P ∧ 7Q ∧ R ) ∨ (P ∧ Q ∧ 7 R ) ∨ (P ∧ Q ∧ R )
• 解：
F1 : 0
F3 : P ∧ 7Q
F2 : P ∧ Q
F
4
: P
F8 : P ∨ Q
F5 : 7 P ∧ Q
F6 : Q
F1 : 7(P ↔ Q )
F9 : ¬P ∧ ¬Q
F10 : P ↔ Q
F11 : 7Q
F13 : 7 P
F12 : P ∨ 7Q
F14 : P → Q
F15 : 7(P ∧ Q )
7．
（1）解：不正确。 如A为真，B为假，C为真时，
A ∨ C ⇔ B ∨ C成立，但是 A ⇔ B不成立
（2）解：不正确，如A为真，B为假，C为 假时，
A ∧ C ⇔ B ∧ C成立, 但A ⇔ B不成立。
（3）解：成立。~A，~B同真时，A、B同 假，~A、~B假时，A，B同真。
8．
PQF F F F F F F F F F F F F F F F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 000 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 010 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 100 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 110 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
P Q P ∧ Q P ∨ (P ∧ Q ) 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0
6．
（1） (P ∧ Q ) ∨ (P ∧ 7 Q ) ⇔ P ∧ (Q ∨ 7 Q ) ⇔ P （2）
((P →Q) ∧(P →R)) ⇔((7P∨Q) ∧(7P∨ R)) ⇔7P∨(Q∧ R) ⇔
离散数学• • • • • • • （1）是命题，且为简单命题 （2）不是命题 （3）是命题，且为复合命题。 （4）不是命题。 （5）不是命题。 （6）是命题，且为简单命题 （7）不是命题 （8）是命题，且为简单命题 （9）是命题，且为简单命题 （10）是命题，且为复合命题
所以,析取和合取均为:
(P ∧ ¬Q ∧ R )
12
(1)
(7 P ∨ 7Q ) → (P ↔ 7Q )
⇔ (7 P ∨ 7Q ) → (( P → 7Q) ∧ (7Q → P) ) ⇔ (7 P ∨ 7Q ) →
((7 P ∨ 7Q) ∧ (Q ∨ P))
⇔ 7(7P ∨ 7Q) ∨ ((7P ∨ 7Q) ∧ (Q ∨ P)) ⇔ (7(7P ∨ 7Q) ∨ (7P ∨ 7Q)) ∧ (7(7P ∨ 7Q) ∨ (Q ∨ P))
(3) (7 P → R ) ∧ (P ↔ Q ) ⇔ (7 P → R ) ∧ (P → Q ) ∧ (Q → P ) ⇔ (P ∨ R ) ∧ (7 P ∨ Q ) ∧ (P ∨ ¬ Q )
⇔ (( P ∨ R) ∨ (Q ∧ ¬Q) ) ∧ ((7 P ∨ Q) ∨ ( R ∧ ¬R)) ∧ (( P ∨ ¬Q) ∨ ( R ∧ ¬R) )
4．
• （1）
P Q R QVR 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 P → (QVR ) 1 1 1 1 0 1 1 1
(2)
P 1 1 0 0 1 1 0 0
Q 1 0 1 0 1 0 1 0
R 1 1 1 1 0 0 0 0
合取范式为: (P ∨ R ) ∧ (7Q ∨ R )
(3)解: 原式⇔ (P ∨ Q ) → (7Q ∨ P )
⇔7(P∨Q) ∨(7Q∨ P) ⇔(7P ∧7Q) ∨(7Q∨ P) ⇔((7P ∧7Q) ∨7Q) ⇔7Q∨ P
所以,析取和合取均为:
7Q ∨ P
• (4)解 原式
⇔ 7(7P ∨ Q) ∧ P ∧ R ⇔ (P ∧ ¬Q) ∧ P ∧ R ⇔ P ∧ ¬Q ∧ R
证明:
13.
P∨(7P ∧Q) ⇔(P ∧(7Q∨Q))∨(7P ∧Q) ⇔(P ∧7Q) ∨ (P ∧Q) ∨ (7P ∧Q)
( P ∨ Q) ⇔ ( P ∧ (Q ∨ 7Q)) ∨ (Q ∧ (7 P ∨ P)) ⇔ ( P ∧ Q) ∨ ( P ∧ 7Q) ∨
(Q ∧ 7 P ) ∨ ( P ∧ Q ) ⇔ ( P ∧ Q ) ∨ ( 7 P ∧ Q ) ∨ ( P ∧ 7 Q )
F16 : 1
11.
（1）解：
(7 P ∧ Q ) → R 7(7P∧Q) ∨R⇔(P∨7Q) ∨R⇔P∨¬ ∨R Q
(P → Q ) → R ⇔(7P ∨ Q) →R ⇔7(7P ∨ Q) ∨ R ⇔(P ∧ 7Q) ∨ R
析取范式为: (P ∧ 7Q ) ∨ R
(P ∧ 7Q) ∨ R ⇔ (P ∨ R) ∧ (7Q ∨ R)
(6) 证明： （1）7 P ∧ 7Q （2） 7 P （3） 7 P ∨ 7Q （4） 7(P ∧ Q ) 前提 简化（1） 附加（2） 等值置换（3）
14.
（1）证明： （1）7R （2）7Q∨R （3）7Q （5）7P∨Q （6）7P 前提引入 前提此入 析取三段论（1）、（2） 等值置换（4） 析取三段论（3）、（5）
（4）7（P∧7Q） 前提引入
（2） 证明： （1）R （2）P∨7R （3）P 附加前提 前提 析取三段式（1）、（2）
Q P∨Q 7(P∨Q) 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1
7P 0 0 1 1
7Q 7P∧7Q 0 0 1 0 0 0 1 1
(3)
• ⅰ)
P ∧ (P ∨ Q ) ⇔ P
P 1 1 0 0 Q 0 1 0 1 P∨Q 1 1 0 1 P ∧ (P ∨ Q ) 1 1 0 0
ⅱ)
P ∨ (P ∧ Q ) ⇔ P
7R 0 0 0 0 1 1 1 1
QV 7 R 1 0 1 0 1 1 1 1
P ∧ (Q ∨ 7 R ) 1 0 0 0 1 1 0 0
（3）
P Q P → Q P ∧ (P → Q ) 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0
((P ∧ (P → Q )) → Q
1 1 1 1
（4）
P Q P → Q ¬(P → Q ) ¬(P → Q ) ∧ Q 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
（5）
P Q P ∨ Q P ∧ Q ( P ∨ Q) ↔ ( P ∧ Q) 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0
（4）P→（Q→S） 前提 （5）7P∨（7Q∨S）等价置换（4） （6）7Q∨S （7）Q （8）S 析取三段式（3）、（5） 前提 析取三段式（6）、（7）
（3） 证明： （1）P 附加前提 （2）P→Q 前提 （3）Q 假言推理（1）、（2） （4） 合取
（4） 证明： （1） P ∨ Q （3） Q → S （4） S ∨ R 前提 前提 构造二难性(1)、(2)、(3)
(P →(Q∧ R))
• （3）
7( P ↔ Q) ⇔ 7(( P → Q) ∧ (Q → P) ) ⇔ 7((7 P ∨ Q) ∧ (7Q ∨ P) ) ⇔ (7(7 P ∨ Q) ) ∨ (7(7Q ∨ P) ) ⇔ (P ∧ 7Q ) ∨ (Q ∧ 7 P ) ⇔