椭圆焦半径公式的证明及巧用
2008年08月31日星期日 21:56
命题：
证明：
说明：
巧用焦半径公式能妙解许多问题，下面举例说明。

一、用于求离心率
例
分析：
所以，
所以。

二、用于求椭圆离心率的取值范围
例
分析：
由得
故，即，又。

所以。

三、用于求焦半径的取值范围
例
分析：
所以。

四、用于求两焦半径之积
例
分析：
由知，所以的最小值为，最大值为。

五、用于求三角形的面积
例
分析：。

由余弦定理得。

解得
所以
六、用于求点的坐标
例
分析：
及得
，
解得
所以。

七、用于证明定值问题
例
分析：
化简得
所以为定值。

八、用于求角的大小
例
分析：
所以
所以。

九、用于求线段的比。

例
分析：
由两式相减并化简得。

所以。

所以。

令，则，故
所以，
所以。

如图设的坐标为，椭圆与双曲线的离心率分别为，则
，，消去得
，。

不妨设，由成等差数列得，即。

易知易知
的最值不妨设为椭圆的左焦点，而
，则。

故。

设的坐标为，则如图，连，则
，由焦半径公式得，即。

若椭圆的焦点在轴上，则有。

我们把椭圆上的点
到两焦点的距离称为焦半径，而（或）、（或）称为焦半径公式。

如图1，椭圆的准线方程为和。

由椭圆的第二定义得
，化简即得1如图为椭圆
的两个焦点，以线段为直径的圆交椭圆于四点，顺次连结这四点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则离心率。

2已知
为椭圆的焦点，若椭圆上恒存在点，使，求离心率的取值范围。

3若是椭圆上的点，
为椭圆的焦点，求的取值范围。

4若为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，求的最值。

5 若是椭圆上一点，为椭圆的左、右焦点，且，求
的面积S。

6 若为椭圆上的点，为椭圆的焦点，且，则的横坐标为_________。

由，，7已知为椭圆上两点，为椭圆的顶点，F为焦点，若成等差数列，求证：
为定值。

，8 如图3，设椭圆与双曲线
有公共焦点，为其交点，求。

9过椭圆的左焦点作与长轴不垂直的弦的垂直平分线交轴于，则。

4，设的坐标分别为，AB的中点为，则。

AB的垂直平行线方程为N的坐标为若椭圆的焦点为。