在四边相等的空间四边形，所以必须证B′、E、D、
F四点共面. 第(3)小题应用了课本一道习题的结论， 才证明了AD在平面B′EDF内的射影在B′D上
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误解分析
1. 求异面直线所成的角，要注意角的范围是 0，
，π 2
，如能力·思维·方法3，平移后得AB1C，计
算得
cosAB1C
5 ，不能说两异面直线成角 5
(A)θ0θ0
(B)θ40θ50
(C)θ40θ90
(D)θ50θ90
5.如图，ABC-A1B1C1是直三棱柱，∠BCA=90°， 点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA= CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( A )
(A) 30 10
(B) 1 2
(C) 30 15
(D) 为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、 F分别是BC、A′D′
(1)求证：四边形B′EDF是菱形； (2)求直线A′C与DE所成的角； (3)求直线AD与平面B′EDF所成的角.
【解题回顾】对于第(1)小题，若仅由B′E=ED= DF=FB′就断定B′EDF是菱形，那是不对的，因存
设E、F分别为AB、PD的中点.
(1)求证：AF∥平面PEC； (2)求二面角P-BC-A的大小；
【解题回顾】找二面角的平面角时不要盲目去作，而 应首先由题设去分析，题目中是否已有.
3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中点，求平 面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.
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课前热身
1. 二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内的 点(不在棱AB上)，D是C在平面β上的射影，E是棱 AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，则( A )
(A)∠CEB＞∠DEB
(B)∠CEB=∠DEB
(C)∠CEB＜∠DEB
(D)∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定
2. 直线AB与直二面角α-l-β的两个半平面分别交于A、
成角为0°
(3)范围： 0
，π 2
(4) 射影定理：从平面α外一点向这个平面所引的 垂线段和斜线段中： ①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线 段也较长； ②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射 影也较长； ③垂线段比任何一条斜线段都短
(5)最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜 线和平面内过斜足的直线所成的一切角中的最小 的角.
(B) 3 2
6 (C)
3
6 (D)
2
3.如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所 在的平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所
2 成角的余弦值是_____4______.
4.异面直线a、b成80°角，P为a、b外一定点，若 过P有且仅有2条直线与a、b所成角都为θ，则θ的
范围是( B )
2.如图，在正方体AC1中， (1)求BC1与平面ACC1A1所成的角； (2)求A1B1与平面A1C1B所成的角.
【解题回顾】“线线角抓平移，线面角定射影”. 也
就是说要求直线与平面所成的角，关键是找到直 线在此平面上的射影，为此，必须在这条直线上 的某一点处作一条(或找一条)平面的垂线，本题 ①中BO就是平面的垂线，②垂足H的位置也必须 利用图形的性质来确定.
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第３课时 二面角(二)
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展 • 误解分析
要点·疑点·考点
1.熟练掌握求二面角大小的基本方法： (1)先作平面角，再求其大小； (3)直接用公式cosθ=S射/S原
2.掌握下列两类题型的解法： (1)折叠问题——将平面图形翻折成空间图形. (2)“无棱”二面角——在已知图形中未给出二面角 的棱.
4.三棱锥A—BCD中，AB=AC=BC=CD=AD=a ， 要使三
棱锥A—BCD的体积最大，则二面角B-AC-D的大小是
π
2 π
3 2π
3 （D） π
4
（A） （B） （C）
（A）
5. 在二面角α-a-β内，过a作一个半平面γ，使二面角 α-a-γ=45°，二面角γ-a-β=30°，则γ内的任意一
【解题回顾】①先由第(1)小题的结论易知BC⊥AA1， 再利用作出棱AA1的垂面BNC来确定平面角∠BNC.
② 将 题 设 中 “ AA1 与 底 面 ABC 所 成 的 角 为 60°” 改 为
“ BA1⊥AC1 ” 仍可证得三角形AA1C为正三角形，所
求
23
arctan
二面角仍为
3.
③本题的解答也可利用三垂线定理来推理.
2.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角B1-AA1-C1 的大小为__4_5_°_，二面角B-AA1-D的大小为___9_0_°_，二 面角C1-BD-C的正切值是____2___.
3. 在二面角α-l-β的一个平面α内有一条直线AB，它 与棱 l 所成的角为45°，与平面β所成的角为30°，则 这个二面角的大小是___4_5_°__或__1_3_5_°____.
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能力·思维·方法
1. 如图所示，ABCD是一个正四面体，E、F分别
为BC和AD的中点.求： (1)AE与CF所成的角； (2)CF与平面BCD所成的角.
【解题回顾】本题解法是求异面直线所成角常采
用的“平移转化法”：把异面直线转化为求两相 交
直线所成的角，需要通过引平行直线作出平面图
形，化归为平面几何问题来解决.
4. 在120°的二面角α-l-β的两个面α、β内分别有A、
B两点，这两点到棱的距离分别为2和4，AB =10，求： (1)AB与l 所成的角； (2)AB与平面β所成的角.
【解题回顾】本例是综合题，解题过程常常是作 图(包括添辅助线或辅助面)、论证、计算三个阶 段，这样就综合考查了空间想象能力、逻辑推理 能力和运算能力.
B两点，且A、B l. 如果直线AB与α、β所成的角
分别是θ1、θ2，则θ1+θ2的取值范围是(
)D
(A) 0θ1θ2π
(B)
θ1
θ2
π 2
(C)
θ1
θ2
π 2
(D)0θ1
θ2
π 2
3. 在长、宽、高分别为1、1、2的长方体ABCD－A1B1
C1D1中，截面BA1C1与底面ABCD所成角的余弦值是__
1. 二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫二面 角，其大小通过二面角的平面角来度量.
2. 二面角的平面角： (1)定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面 内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角 叫做二面角的平面角. (2)范围：[0，π ]
3.二面角的平面角的作法：
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课前热身
1. 平面α的斜线与α所成的角为30°，则此斜线和α
内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值是( )C
(A)30°
(B)60°
(C)90°
(D)150°
2. 相交成90°的两条直线与一个平面所成的角分别 是30°与45°，则这两条直线在该平面内的射影所 成角的正弦值为( C )
(A) 3 3
③△AOC为正三角形；
④过B点作直线l⊥平面BCD，则直线l∥平面AOC其 中正确命题的序号是__①__③__④____
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能力·思维·方法
1.平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B=90°， ∠DCB=135°，沿对角线AC将四边形折成直二面角. 证：(1)AB⊥面BCD； (2)求面ABD与面ACD所成的角.
【解题回顾】准确画出折叠后的图形，弄清有关点、 线之间的位置关系，便可知这是一个常见空间图形 (四个面都是直角三角形的四面体).
2.在直角梯形P1DCB中，P1D∥CB，CD⊥P1D，P1D= 6，BC=3，DC=3，A是P1D的中点. 沿AB把平面P1AB 折起到平面PAB的位置，使二面角P-CD-B成45°，
(1)定义法 (2)三垂线定理法 (3)作棱的垂面法
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课前热身
1.下列命题中： ①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、
b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补； ③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面 内作射线所成角的最小角； ④正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角. 其中，正确命题的序号是____②__、__④______.
(1)定义：设a、b是异面直线，过空间任一点O引 a //a， b//b，则 a，b所成的锐角(或直角)，叫做异
面直线a、b所成的角.
(2)范围：
0 ，π 2
2. 线面角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所 成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角
(2)若直线l ⊥平面α，则 l 与α所成角为直角 若直线l∥平面α，或直线l 平面α，则l与α所
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误解分析
1. 二面角是立体几何的重点、热点、难点，求二面角 的大小方法多，技巧性强．但一般先想定义法，再想 三垂线定理法，如课前热身4，及能力•思维•方法1中， 如果盲目作垂线，则会干扰思维．
2. 实施解题过程仍要注意“作、证、指、求”四环节， 计算一般是放在三角形中，因此，“化归”思想很重 要.
3.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，侧棱
长为
2 2
a
，若经过对角线AB1且与对角线BC1平行的平
面交上底面一边A1C1于点D.
(1)确定点D的位置，并证明
你的结论；
(2)求二面角A1-AB1-D的大小.
【解题回顾】第(2)题中二面角的放置属于非常规位置
的图形(同例(1)的变题)，看起来有些费劲，但是一旦
【解题回顾】本题是1990年全国高考题，(1)的证明关 系较复杂，需仔细分析。(2)的平面角就是∠CDE，很 多考生没有发现，却去人为作角，导致混乱.