2.求下列两点间的距离：
(1) A(1,1, 0) , B(1,1,1) ;
(2) C(3 ,1, 5) , D(0 , 2 , 3) .
例1 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1

D1F1

A1B1 4
，求
BE1
与
DF1
所成的角的余弦值。
z
解：设正方体的棱长为1，如图建
全国名校高二数学优质学案专题汇编（附详解）
夹角与距离
z
k i Oj
x
A(x,y,z) y
二、距离与夹角
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
设a (a1, a2 , a3 )则
| a |2 a a a12 a22 a32
（2）空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1) 、
2.两个向量夹角公式
cos a,b a b | a || b |
注意：
a1b1 a2b2 a3b3
;
a12 a22 a32 b12 b22 b32
（1）当 cos a , b 1 时，a 与 b 同向； （2）当 cos a , b 1时，a 与 b 反向；
C
A
B
思考题：
已知A（0,2,3)、B（ 2,1,6), C(1,1,5), 用向量 方法求 ABC的面积 S。
三、应用举例
例1 已知 A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求：
（1）线段 AB 的中点坐标和长度；
（2）到 A 、B两点距离相等的点 P(x , y , z) 的
D1
F1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
A1
E1 B1
D
O
A
x
Cy
15
B
cos

BE1
,
DF1

|
BE1 BE1 |

DF1 | DF1
|

16 15 . 17 17 17
44
练习二：
正方体A1B1C1D1－ABCD ，E、F分别是C1C
D1A1的中点，1)求 AB, EF 2)求点A到直线EF的距离。 (用向量方法）
B(x2 , y2 , z2 )，则 AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
d A,B ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
坐标 x , y , z 满足的条件。
A
M
到 A 、B 两点距离相等的点的坐标
B
(x , y , z) 满足的条件是 4x 6 y 8z 7 0
O
四、课堂小结：
1.基本知识： （1）向量的长度公式与两点间的距离公式； （2）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题 时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐 标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或 证明。
D1
F A1
C1 B1
E
D A
C B
练习三：
如图：直三棱柱ABC A1B1C1, 底面ABC 中，
CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M、
N分别为A1B1、AA1的中点，
C11)求BN的长；来自A1B1M
2)求 cos BA1, CB1 的值； N
3)求证：A1B C1M。
（3）当cos a , b 0 时，a b 。
思考：当 0 cos a , b 1及 1 cos a , b 时0 ， 的夹角在什么范围内？
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) a (2 , 3 , 3) , b (1, 0 , 0) ; (2) a (1, 1,1) , b (1, 0 ,1) ;