反比例函数的常见模型解决反比例函数的问题，除了掌握反比例函数的图像及性质以及反比例函数常见的面积模型之外，还要熟练掌握以下几个经典模型：【模型1】正比例函数图像被反比例函数图像所截得的线段相等【模型2】一次函数图像被坐标系和反比例函数图像所截得的相等线段【模型3】同一象限内反比例函数图像上两点连线的平行线【模型4】反比例函数与矩形（1）【模型5】反比例函数与矩形（2）【模型6】反比例函数与最值【模型7】反比例函数与黄金分割让我们一起领略反比例函数的神奇一、个人对反比例函数的几点困惑与感悟 1.为何正比例函数的比例系数是比xyk =，而反比例函数的比例系数却不是比xy k =？ 2.为何我市中考的反比例函数问题总不像其它函数那么深入？只探究一些皮毛问题！至 多探究一下k 的几何意义（面积），例如2016年台州市中考考查的也是“函数的研究 通法”，并非专门深入研究反比例函数.3.过去我们遇到稍难一点的反比例函数问题，就只有“暴力设元”这一途径，总无法避开 多元方程、分式方程、高次方程.4.个人认为作为老师，不应该只应付中考，而应该研究更纯粹的数学，站在更高的位置来 了解数学本质！做到居高临下、解有依据！5.实际上，反比例函数中也存在很多的“比”，斜比、直比（纵比、横比、纵横比）、面积 比，可以说“比比皆是”！现在就让我们一起来比出精彩、比出神奇. 二、一道曾经困惑我多时的中考题某年宁波市中考的填空压轴题: 如图，AOB Rt Δ的顶点B (2，4)，双曲线xky =经过 点C 、D ，当以B 、C 、D 为顶点的三角形与AOB Δ的相似时，则=k .1.常规性解法：通过设元，例如设C (m ，m 2)，则D (2，2m )，再根据条件列方程： (1)利用CD BC 2=、224=CD BC 、CD BD 5=或225=CD BD 列方程；(2)利用)(D C C D y y x x -2=-列方程；(3)利用“一线三等角”模型、和D D C C y x y x ⋅=⋅列方程.实际上，在上述常规处理方法中，已经透着一点智慧、一点灵性了，具体操作方法中也具 备了一定的技巧性. 但我本人对此，却一直难言满意，耿耿于怀！2.挖掘隐含性质，巧解此题(1)实际上，此图中含有一些很重要的性质：过点C 作y CP ⊥轴于P ，连接PA ，直线CD 分别交坐标轴于点M 、N . 则有①PA ∥CD ；②AN PC =，AD PM =； ③DN MC =，CN MD =. 基于以上这些性质，有如下解法. (2)我的第一种解法（整体思想）：由OM ON 2=，PM AD AN 2=2=可得，)(PM OM AN ON -2=-，即OP OA 2=，于是1=21=OA OP ，21=21=OP PC ，…… (3)我一个同事的解法（斜边转直比）：由421=::::CN OC MC ，DN MC =可得，131=::::DN CD MC ，转为横比，131=--::)(:)(:D N C D C x x x x x ，因此21=41=OA x C ，…… (4)我一个学生的解法（斜等转直等）： 由CN MD =得2==-OA x x C N ，则1=-21=)(C N C x x y ，…… (5)我的第二种解法（平行导角度）：由PA ∥CD 得，B MNO PAO ∠=∠=∠，于是1=21=OA OP ，…… (6)下面我们要着重解决两件事： ①上述性质是否永远成立？如何证明？②解题技巧除上述方法：整体思想、斜边转直比、斜等转直等、平行导角度外，还有斜长转直长、面积比与边比互转、纯面积转化等等，后面将一、一介绍.三、探究性质 1.如图，双曲线xky =与矩形OABC 边交于点M 、N ，直线MN 交坐标轴于点D 、E . ①如图1，若21=::AB AM ，则=CB CN : ； ②如图2，若41=::AB AM ，则=CB CN : ； ③如图3，若n AB AM ::1=，则=CB CN : ，直线MN 与AC 的位置关系是 ，EN 与MD 的大小关系 .图1 图2 图3 2.①如图1，双曲线xky =与直线DE 交于点M 、N ，y MA ⊥轴于点A ，x NC ⊥轴于 点C ，请探究直线MN 与AC 的位置关系，线段EN 与MD 的大小关系. ②如图2，双曲线xky =与直线EF 交于点M 、N ，y MA ⊥轴于A ，x MC ⊥轴于C ， y ND ⊥轴于D ，x NB ⊥轴于B ，请探究直线MN 与AB 、CD 的位置关系，以及线段ME 与FN 的大小关系.图1 图2四、最常见思想方法（斜转直）：斜边转直比、斜等转直等、斜长转直长 1.如图，直线4+-=x y 反比例函数xky =(0>x )图象交直线AB 于点C 、D ，且CD AB 2=， 则k 的值为 . (1)常规方法（斜长转直长）：22=21=AB CD ，则2=22=-CD x x C D ， 可设C (m ，m -4)，则D (2+m ，m -2)，列方程解决； (2)口算巧解（斜边转直比）：由DB AC =，CD AB 2=得，121=::::DB CD AC ，转为横比得，121=--::)(:)(:D B C D C x x x x x ，则1=C x ，3=1-4=C y ，……2.同类变式题：如图，直线2+-=x y 交坐标轴于点A 、B ， 双曲线xky =交直线AB 于点C 、D . 若AB CD 2=，则k 的值为 ；3.难题展示（中国数学教育名师讲堂481230254，每日一题第8题，2017/3/29）如图，点A (2，2)，B ，C 在双曲线上，o BAC 45=∠，AB 分别交x ，y 轴于D ，F ， AC 分别交x ，y 轴于D ，E . (1)求DOE Δ的面积； (2)求证：DBCE ADE S S 四边形=Δ.4.原创清新小题和近年的中考题：(1)如图1，BC AB =，AOB Δ的面积为3，则k 的值为 . (2)如图2，点A ，B 在双曲线xky =上运动，x AB ⊥轴，BC AC =. ①在运动过程中，ABC Δ的面积是不是定值？答： ； ②若32=k ，且ABC Δ是正三角形，则点A 的坐标为 .(3)如图3，□OABC 中，o B 60=∠，3=OA ，双曲线经过点C 和AB 中点D ，则该双曲线的解析式为 . (4)如图4，直线x y 21=与3+21=x y 分别与双曲线xky =交于点A 、B ，BC OA 2=，则k 的值为 .图1 图2 图3 图4(5)(十堰)如图5，正AOB Δ的边长为5，双曲线xky =经过点C 、D ，且OB CD ⊥， 则k 的值为 . (6)如图6，双曲线xky =与直线b mx y +=交于点C 、D . ①(原创、铺垫②)若3-=m 、6=b ，且CD AB 3=，则=k ；②(常州模拟·改编)若6=b ，且CD AB 3=，则=⋅m k ；③(杭州模拟·改编)若3-=m ，且8=⋅AD AC ，则=k . (7)(据上题改编)如图7，P 为双曲线xy 2-=上的动点，过点P 作矩形PAOB ，直线 CD 的解析式为b x y +2=，交矩形边于M ，N ，则=⋅DN CM .图5 图6 图7五、面积比、边比互转1.①(原创、铺垫)如图1①，直线x y 23=与双曲线xy 6=交于点A ，C 为双曲线上一点， 射线CA 交y 轴于点D ，若COD Δ的面积为9，则点C 坐标为 ； ②(成都)如图1②，直线x y 23=与双曲线xy 6=交于点A 、B ，C 为双曲线上一点， 射线CA 交y 轴于点D ，若BCD Δ的面积为20，则点C 坐标为 . 2.(无锡)如图2，x AB ⊥轴，BC ∥x 轴，双曲线过点C 、D ，且21=::DB OD ， 已知OBC Δ的面积为3，则k 的值为 .图1① 图1② 图33.(宁波)如图3，正AOB Δ的顶点A 在双曲线xy 9=上，双曲线x y 1=与边OA 交于点C ，连接BC ，则ABC Δ的面积为 . 4.(丽水)如图4，双曲线xy 4=与直线b x y +-=交于点A 、B ，⊥AE x 轴，设点A 的 横坐标为m .①用含m 的式子表示=b ；②若AOF Δ与四边形BCEF 的面积和为4，则=m . 5.如图5，双曲线xky =与直线b mx y +=交于点C 、D . ①(常州模拟)若6=b ，且COD AOB S S ΔΔ3=，则=⋅m k ；②(改编自①)若6=k 、3-=m ，且CD AB 2=，则=COD S Δ .图3 图4 图56.如图6，⊥AB x 轴，C 为AB 中点，延长OC 到E ，延长OA 到D ，若双曲线xk y =恰 好经过点D ，E ，且CE OC =，则=OD OA : . 7.如图7，双曲线x k y 1=过点A ，B ，xky 2=过点C ，D ，若AC ，BD 均与x 轴平行， 6=AC ，4=BD ，且它们之间的距离EF 长为5，则=-21k k . 8.如图8，直线AB 交双曲线xy 5=于点C ，D ，若8=AOB S Δ，则=BOC S Δ .图6 图7 图89.如图，点A 在双曲线xky =上，x AB ⊥轴，CD AD 2=，DB 延长线交y 轴于E ，若 BCE Δ的面积为4，则k 的值为 . 10.如图，点A 、B 在双曲线xky =上，x AC ⊥轴，x BD ⊥轴，垂足C 、D 分别在x 轴的 正半轴和负半轴上，k CD =，AC AB 25=，E 是AB 的中点，若BCE Δ面积是ADE Δ的2倍，则k 的值为 .六、反比例函数图象中的“一线三等角”构造，初探黄金比例 1.如图1，ABC Δ中，BA OB =，o OBA 90=∠，双曲线xky =经过点A 、B ，且点B 的 纵坐标为2，则k 的值为 .(1)剖析：对于坐标系中的一个直角，若两条边均“倾斜”，我们经常构造“K ”形全等或相似，即“一线三等角”模型，或叫“矩形大法”，见图2，得1-5=m .(2)后感：我们可以发现，矩形ODCE 恰好是一个“黄金矩形”，这到底是一种偶然的巧 合，还是一种必然的存在呢？这有待于我们进一步探究… (3)探究(2016临沭模拟)：如图3，双曲线xky =与矩形ODCE 的边交于点A ，B ，若 设点B 的坐标为(a ，b )，且有AB OB =，AB OB ⊥，则=b a : .图1 图2 图32.类似题：①(2015临海模拟·填空压轴题)如图， AB OA =，oOAB 90=∠，双曲线xky =经过 点A ，双曲线xk y -=经过点B ，已知点A 的纵坐标为2-，则=k ，点B 的坐标为 . ②(个人原创)如图2，ABC Δ中，BA OB =，o OBA 90=∠，双曲线x k y =经过点B ，双曲线xk y 1+=经过点A ，且 点B 的纵坐标为2，则k 的值为 .3.难题展示（常州·于新华老师原创题） (1)如图1，点A (3，4)，B 均在双曲线xky =上，过点A 作y 轴垂线，过点B 作x 轴 垂线，两垂线交于点P ，垂足分别为E ，F ，将PAB Δ沿AB 翻折，点P 恰好落在x 轴上的点Q 处. 求点B 的坐标.(2)如图2，点A (3，4)，B 均在双曲线xky =上，过点A 作y 轴垂线，过点B 作x 轴 垂线，两垂线交于点P ，垂足分别为E ，F ，将PAB Δ沿AB 翻折，点P 恰好落在x 轴上的点Q 处. 求点B 的坐标.图1 图24.如图，矩形ABCD 的边AB 的解析式为2+=kx y ，顶点C ，D 在双曲线xmy =上. ①若2=∠ADB tan ，则点D 的坐标为 ； ②连接OC ，OD ，若COD Δ是等边三角形，则=∠ADB tan .后感：若能发现OB OA =，本题将更简单！拓展：如图，正方形ABCD 的顶点A 、B 在双曲线x y 3=上，C 、D 在双曲线xy 7=上， 则正方形ABCD 的面积为 .5.(2013湖州模拟) 如图1，矩形OABC 的顶点A 、B 在 双曲线xky =上，若点A (1，2)，则点B 的坐标为 . 6.如图2，矩形ABCD 中，AD AB 2=，点A (0，1)，点C ，D 在双曲线xky =上，若E 为 AB 中点，则k 的值为 .图1 图27.①如图1，点A ，B 在双曲线xy 2=上运动，以AB 为底边作等腰直角ABC Δ，则点 C 也在一条双曲线上运动，则该双曲线的解析式为 ；②如图2，点A ，B 在双曲线xy 2=上运动，以AB 为底边作等腰ABC Δ，则点C 也 在一条双曲线上运动，若2=∠CAB tan ，则该双曲线解析式为 ； ③如图3，点A ，B 在双曲线xky =上运动，以AB 为底作等腰ABC Δ，点C 在另一 双曲线xk y '=上运动，若m CAB =∠tan ，请用m ，k 表示='k .图1 图2 图3七、平行导角度，角度导比例 1.如图，点A ，B 在双曲线xky =上，AB 经过原点O ，过点A 作AC ∥x 轴，连接BC 并延长，交双曲线于点D . ①求证：CD AD =； ②求BD AD :的值.根据本题的发现，改编了一个清新小题： 如图，点A ，B 在双曲线xky =上，AB 经过原点O ，过点A 的直线b x y +3=交该 双曲线于点C ，分别交x 轴，y 轴于点D ，E ，若4=BC ，8=AC . 求k 的值.2.如图，直线x y 3=交在双曲线xky =于点A 、B ，AB 经过原点O ，过A 作AB AC ⊥ 交y 轴于点C ，连接BC 并延长，交双曲线于点D .求BD AD :的值.3.如图，双曲线xky =与过原点的直线l 交于点A 、B ，点M 在双曲线上，直线AM 、 BM 分别交y 轴于点P 、Q .若设PM m AM ⋅=，QM n BM ⋅=，则=-n m .4.如图，AB OA =，双曲线经过点C 、D 、E ，求证：AE AC AD ⋅=2.八、纯面积推导1. 如图，点A (2，2)，B ，C 在双曲线上，o BAC 45=∠，AB 分别交x ，y 轴于D ，F ， AC 分别交x ，y 轴于D ，E . 求证：DBCE ADE S S 四边形=Δ.(此方法感谢江苏·于新华老师的指导！)2.(2016菏泽)如图，AOC Δ，ABD Δ均是等腰直角三角形，双曲线xy 6=经过点B ，交线 段OA 与点E ，求AOC Δ与ABD Δ的面积之差.后感：①题中条件“AOC Δ，ABD Δ均是等腰直角三角形”可如何改变？ ②写出2OA ，2OE ，2AB 的关系： . 3.(十堰)如图5，正AOB Δ的边长为5，双曲线xky =经过点C 、D ，且OB CD ⊥， 则k 的值为 .4.(常州)如图1，AB OA =，双曲线经过点C 、D ，且a b OC BD =，求ADAC的值； 5.如图2，AB OA =，双曲线经过点C 、D 、E ，求证：AE AC AD ⋅=2.图1 图2。