福州一中2016-2017学年第一学期初三数学综合测试二（完卷时间100分钟，满分150分）(一元二次方程，旋转，二次函数，圆）一．选择题（第小题4分，共10小题）1．一元二次方程x（x﹣1）=0的解是（）A．x=0 B．x=1 C．x=0或x=1 D．x=0或x=-12．下列图形中，既是轴对称又是中心对称的图形是（）A B C D3．如图，正三角形ABC内接于圆O，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A，B重合，则∠BPC等于（）A．30°B．60°C．90°D．45°4．正三角形ABC的内切圆半径为1，则△ABC的边长是（）A．B．2C．2 D．45．如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，弦AB与小圆相切于点C，则AB=（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm6．若⊙O的弦AB所对的圆心角∠AOB=100°，则弦AB所对的圆周角的度数为（）A．50 B．130 C．40 D．50或130第3题第4题第5题7．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：x…﹣3 -2 0 1 3 5 …y…7 0 -8 -9 ﹣5 7 …则这个函数图象的对称轴是（）A．直线x=1 B．直线x=-2 C．直线x=2 D．直线x=-88．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°9．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点．若PB切⊙O于点B，则PB的最小值是（）第8题第9题A．B．C．3 D．210．已知二次函数y=x2﹣x+，当自变量x取m时，对应的函数值小于0，当自变量x取m﹣1、m+1时，对应的函数值为y1、y2，则y1、y2满足（）A．y1＞0，y2＞0 B．y1＜0，y2＞0C．y1＜0，y2＜0 D．y1＞0，y2＜0二．填空题（每小题4分，共6小题）11．将抛物线y=2x2向上平移3单位，得到的抛物线的解析式是．12．某小区2013年绿化面积为2000平方米，计划2015年绿化面积要达到2880平方米．如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是．13．圆内接四边形ABCD的内角∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠D=度．14．已知k为实数，在平面直角坐标系中，点P（k2+1，k2﹣k+1）关于原点对称的点Q在第象限．15．如图，巳知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD=，则线段BC的长度等于．16．一块三角形材料如图所示，∠A=∠B=60°，用这块材料剪出一个矩形DEFG，其中，点D，E分别在边AB，AC上，点F，G在边BC上．设DE=x，矩形DEFG的面积s与x之间的函数解析式是s=﹣x2+x，则AC的长是．第15题第16题三．解答题（共9小题，共86分） 17．解关于x 的方程（本题满分10分）(1)用配方法解方程：x 2-8x +1=0． （2）0)3(4)3(2=-+-x x x18．(本题满分6分)如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠CAB =35°，求∠ABC 的度数19．(本题满分8分)已知：关于x 的方程x 2﹣4x +m =0． （1）方程有实数根，求实数m 的取值范围． （2）若方程的一个根是1，求m 的值及另一个根．20．(本题满分8分)已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）分别写出图中点A和点C的坐标；（2）画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB′C′；（3）在（2）的条件下，求点C旋转到点C′所经过的路线长（结果保留π）．21．(本题满分8分)如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24cm，CD=8cm．（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求（1）中所作圆的半径．22．(本题满分12分)如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D．（1）判断CD与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若∠ACB=120°，OA=2．求CD的长．23．(本题满分12分)某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）的关系符合一次函数y=﹣x+140．（1）直接写出销售单价x的取值范围．（2）若销售该服装获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价为多少元时，可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若获得利润不低于1200元，试确定销售单价x的范围．24．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．（1）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图①，求证：MN2=AM2+BN2；思路点拨：考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90°就可以了．请你完成证明过程：（2）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．25．(本题满分12分)如图，已知抛物线y=ax2+b经过点A（4，4）和点B（0，﹣4）．C是x轴上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点C在以AB为直径的圆上，求点C的坐标；（3）将点A绕C点逆时针旋转90°得到点D，当点D在抛物线上时，求出所有满足条件的点C的坐标．福州一中2016-2017学年第一学期初三数学综合测试二参考答案与试题解析一．选择题（共10小题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 CDBBDDACBA二．填空题（共9小题）11 322+=x y 12 20% 13 90 14 三 15 1 16 2 三．解答题（共9小题）17．x 1=4+15 x 2=4-15 (2)x 1=3 x 2=53 18．【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠C =90°， ∵∠CAB =35°， ∴∠ABC =90°﹣∠CAB =55°．19．【解答】解：由题意知，△=16﹣4m ≥0 ∴m ≤4．∴当m ≤4时，关于x 的方程x 2﹣4x +m =0有实数根；（2）把x =1代入得：1﹣4+m =0， 解得：m =3，将m =3代入得：x 2﹣4x +3=0，解得：x =1或x =3， 故m =3，方程的另一根为3． 20．【解答】解：（1）点A 坐标为（1，3）；点C 坐标为（5，1）；（2）（3）所经过的路线是以点A 为圆心，以AC 为半径的圆，∴经过的路线长为：π×2×=π．21.【解答】解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．（2）连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=（x﹣8）cm，则根据勾股定理列方程：x2=122+（x﹣8）2，解得：x=13．答：圆的半径为13cm．22．【解答】解：（1）CD与⊙O相切．理由如下：如图，连接OC，∵CA=CB，∴=∴OC⊥AB，∵CD∥AB，∴OC⊥CD，∵OC是半径，∴CD与⊙O相切．（2）∵CA=CB，∠ACB=120°，∴∠ABC=30°，∴∠DOC=60°∴∠D=30°，∴OC=OD∵OA=OC=2，∴D0=4，∴CD==223．【解答】解：（1）60≤x≤90；…（3分）（2）W=（x﹣60）（﹣x+140），…（4分）=﹣x2+200x﹣8400，=﹣（x﹣100）2+1600，…（5分）抛物线的开口向下，∴当x＜100时，W随x的增大而增大，而60≤x≤90，∴当x=90时，W=﹣（90﹣100）2+1600=1500．∴当销售单价定为90元时，可获得最大利润，最大利润是1500元．（3）由W=1200，得1200=﹣x2+200x﹣8400，整理得，x2﹣200x+9600=0，解得，x1=80，x2=120，…（11分）可知要使获得利润不低于1200元，销售单价应在80元到120元之间，而60≤x≤90，所以，销售单价x的范围是80≤x≤90．24．思路点拨：考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90°就可以了．请你完成证明过程：（2）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，证明△CDN≌△CBN，再利用勾股定理求出即可；（2）将△ACM沿直线CE对折，得△GCM，连GN，证明△CGN≌△CBN，进而利用勾股定理求出即可．【解答】（1）证明：将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，则△DCM≌△ACM．有CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，∠CDM=∠A．又由CA=CB，得CD=CB．由∠DCN=∠ECF﹣∠DCM=45°﹣∠DCM，∠BCN=∠ACB﹣∠ECF﹣∠ACM=90°﹣45°﹣∠ACM，得∠DCN=∠BCN．又CN=CN，∴△CDN≌△CBN．∴DN=BN，∠CDN=∠B．∴∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°．∴在Rt△MDN中，由勾股定理，得MN2=DM2+DN2．即MN2=AM2+BN2．（2）关系式MN2=AM2+BN2仍然成立．证明：将△ACM沿直线CE对折，得△GCM，连GN，则△GCM≌△ACM．有CG=CA，GM=AM，∠GCM=∠ACM，∠CGM=∠CAM．又由CA=CB，得CG=CB．由∠GCN=∠GCM+∠ECF=∠GCM+45°，∠BCN=∠ACB﹣∠ACN=90°﹣（∠ECF﹣∠ACM）=45°+∠ACM．得∠GCN=∠BCN．又CN=CN，∴△CGN≌△CBN．有GN=BN，∠CGN=∠B=45°，∠CGM=∠CAM=180°﹣∠CAB=135°，∴∠MGN=∠CGM﹣∠CGN=135°﹣45°=90°．∴在Rt△MGN中，由勾股定理，得MN2=GM2+GN2．即MN2=AM2+BN2．【点评】此题主要考查了勾股定理以及全等三角形的证明，根据已知作出正确的辅助线是解题关键．25．【分析】（1）根据抛物线y=ax2+b的图象经过点A（4，4）和点B（0，﹣4），利用待定系数法求解二次函数的解析式即可．（2）过点A作AE⊥x轴于E，连接AB交x轴于点M，得到△OMB≌△EMA后得到MB=MA，OM=ME=，然后求得线段MB的长后即可表示出点C的坐标；（3）分点C在点（4，0）的右侧时和当点C在点（4，0）的左侧时两种情况分类讨论即可确定答案．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+b的图象经过点A（4，4）和点B（0，﹣4），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：；…（3分）（2）过点A作AE⊥x轴于E，连接AB交x轴于点M，OB=AE=4，∠MOB=∠AEM=90°，∠OMB=∠AME，∴在△OMB与△EMA中，∴∴△OMB≌△EMA，∴MB=MA，OM=ME=，∴以M为圆心，MB为半径的⊙M，即为以AB为直径的圆．由勾股定理得，∴点C的坐标为，．（3）如图2，当点C在点（4，0）的右侧时，作AE⊥x轴于E，DF⊥x轴于F，∵△ACD为等腰直角三角形，∴AC=DC，∠ACD=90°，即∠ACF+∠DCF=90°，∵∠FDC+∠DCF=90°，∴∠ACF=∠FDC，又∵∠DFC=∠AEC=90°，在△DFC与△CEA中，∴△DFC≌△CEA，∴EC=DF，FC=AE，∵A（4，4），∴AE=OE=4，∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，∴OF=CE，∴OF=DF，当点C与点（4，0）的重合时，点D与原点重合；当点C在点（4，0）的左侧时，同理可得OF=DF；∴综上所述，点D在直线y=﹣x的图象上．设点C的坐标为（m，0），则点D的坐标为（m﹣4，4﹣m），（13分）又∵点D在抛物线的图象上，∴，解得：m1=0，m2=6，∴当点C的坐标为（6，0）或（0，0）时，点D落在抛物线的图象上．【点评】本题考查了二次函数的综合知识，特别是题目中涉及到的分类讨论的数学思想更是中考中的高频考点，同时也是一个易错点．。