.学校：____________________ _______年_______班 姓名：____________________ 学号：________- - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - -绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 全国I 卷（全卷共10页）(适用地区：福建、广东、安徽、湖北、湖南、江西、山西、河南、河北)注意事项：1．本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4． 考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。

第I 卷一、 选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合{}2430A x x x =-+<，{}230x x ->,则A B =I （A ）33,2⎛⎫--⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭2. 设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，则=+yi x （A ）1（B ）2（C ）3（D ）23. 已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a = （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）974. 某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）345. 已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是（A ）()1,3- （B ）()1,3- （C ）()0,3 （D ）()0,3 6. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π7. 函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为8. 若101a b c >><<，,则.（C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c <9. 执行右面的程序框图,如果输入的011x y n ===，，,则输出x , y 的值满足 （A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =10. 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB|=DE|=则C 的焦点到准线的距离为 (A)2(B)4(C)6(D)811. 平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,αI 平面ABCD =m ,αI 平面AB B 1A 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为(A)2(B)2(C)3(D)1312. 已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为 （A ）11（B ）9（C ）7（D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13～21题为必考题，每个试题都必须作答。

第22～24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共3小题,每小题5分。

13. 设向量)1,(m a =，)2,1(=b ，且222b a b a +=+，则=m ．14. 5)2(x x +的展开式中，3x 的系数是 ．（用数字填写答案）15. 设等比数列{}n a 满足1031=+a a ，542=+a a，则n a a a ⋯21的最大值为 ．16. 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg ，用5个工时；生产一件B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg ，用3个工时.生产一件A 产品的利润为2100元，生产一件B 产品的利润为900元.该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（一）必考题：共60分。

17. （本小题满分12分）ABC △的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c A b B a C =+)cos cos (cos 2..（Ⅰ）求C ；（Ⅰ）若7=c ，ABC △的面积为233.求ABC △的周长. 18. （本小题满分12分）如图，在以F E D C B A ,,,,,为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，FD AF 2=，︒=∠90AFD ，且二面角E AF D --与二面角F BE C --都是60°.（Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅰ）求二面角A BC E --的余弦值.19. （本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后被淘汰.机器有一易损零件，在购买机器时，可以额外购买这种零件为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种三年使用期内更换的易损零件，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的频率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若要求5.0≥≤）（n X P ，确定n 的最小值； （Ⅲ）以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在19=n 与20=n 之中选其一，应选用哪个？20. （本小题满分12分）设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅰ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于N M ,两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于Q P ,两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x有两个零点. （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅰ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x .请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，OAB △是等腰三角形，︒=∠120AOB .以O 为圆心，OA 21为半径作圆.（Ⅰ）证明：直线AB 与⊙O 相切；（Ⅱ）点D C ,在⊙O 上，且D C B A ,,,四点共圆，证明：CD AB ∥. COD23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x (t 为参数，0>a ).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：θρcos 4=.（Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a .24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数321)(--+=x x x f .（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出)(x f y =的图像； （Ⅰ）求不等式1)(>x f 的解集.2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 全国I 卷 试题答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DBCBAADCCBAB二、填空题13．-2 14.10 15. 64 16. 216000 三、解答题 17.解： ⑴()2cos cos cos C a B b A c +=由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=()2cos sin sin C A B C ⋅+=∵πA B C ++=，()0πA B C ∈、、， ∴()sin sin 0A B C +=>∴2cos 1C =，1cos 2C =∵()0πC ∈， ∴π3C =⑵ 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-⋅221722a b ab =+-⋅()237a b ab +-=1333sin 2S ab C ab =⋅==∴6ab = 5a b +=∴ABC △周长为57a b c ++=+18．解：(1) ∵ABEF 为正方形 ∴AF EF ⊥∵90AFD ∠=︒ ∴AF DF ⊥ ∵=DF EF F I ∴AF ⊥面EFDCAF ⊥面ABEF∴平面ABEF ⊥平面EFDC ⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=︒∵AB EF ∥AB ⊄平面EFDC EF ⊂平面EFDC∴AB ∥平面ABCDAB ⊂平面ABCD∵面ABCD I 面EFDC CD = ∴AB CD ∥ ∴CD EF ∥∴四边形EFDC 为等腰梯形以E 为原点，如图建立坐标系，设FD a =()()000020E B a ，，，， ()302202a C a A a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，，，.()020EB a =u u u r ，，，22a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，()200AB a =-u u ur ，，设面BEC 法向量为()m x y z =u r，，.00m EB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r，即111120202a y a x ay z ⋅=⎧⎪⎨⋅-+⋅=⎪⎩11101x y z ===-，)01m =-u r，设面ABC 法向量为()222n x y z =r，，=00n BC n AB ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r .即222220220a x ay ax ⎧-=⎪⎨⎪=⎩22204x y z ===，()04n =r设二面角E BC A --的大小为θ.cos m n m n θ⋅===⋅u r r u r r ∴二面角E BC A --的余弦值为 19. 解： ⑴ 每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11记事件i A 为第一台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i = 记事件i B 为第二台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i = 由题知()()()()()()1341340.2P A P A P A P B P B P B ======，()()220.4P A P B ==16，17，18，19，20，21，22()()()11160.20.20.04P X P A P B ===⨯=()()()()()1221170.20.40.40.20.16P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=()()()()()()()132231180.20.20.20.20.40.40.24P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=()()()()()()()()()14233241190.20.20.20.20.40.2P X P A P B P A P B P A P B P A P B ==+++=⨯+⨯+⨯0.20.40.24+⨯=()()()()()()()243342200.40.20.20.40.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=()()()()()3443210.20.20.20.20.08P x P A P B P A P B ==+=⨯+⨯= (P x ⑵ 要令()0.5P x n ≤≥，0.040.160.240.5++<Q ，0.040.160.240.240.5+++≥则n 的最小值为19⑶ 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用 当19n =时，费用的期望为192005000.210000.0815000.044040⨯+⨯+⨯+⨯=当20n =时，费用的期望为202005000.0810000.044080⨯+⨯+⨯= 所以应选用19n =20. (1)圆A 整理为()22116x y ++=图，BE AC Q ∥，则∠.EBD D ∴=∠∠，则EB ED = 4AE EB AE ED AD ∴+=+==所以E 的轨迹为一个椭圆，方程为22143x y +=，(0y ≠)；⑵ 221:143x y C +=；设:1l x my =+，因为PQ l ⊥，设:PQ 221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得(23m 则||M MN y -；圆心A 到PQ 距离d ==所以||PQ ==，()2212111||||2234MPNQm S MN PQ m +⎡∴=⋅=⋅==⎣+ 21. （Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)x xf x x e a x x e a =-+-=-+． （i ）设0a =，则()(2)xf x x e =-，()f x 只有一个零点．以()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． 又(1)f e =-，(2)f a =，取b 满足0b <且ln2ab <，则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->， 故()f x 存在两个零点．（iii ）设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-．若2ea ≥-，则ln(2)1a -≤，故当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．若2ea <-，则ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0,)+∞．II （）不妨设12x x <，由（Ⅰ）知1(,1)x ∈-∞，2(1,)x ∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1)-∞上单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<.由于222222(2)(1)x f x x ea x --=-+-，而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=，所以 222222(2)(2)x x f x x e x e --=---.设2()(2)xx g x xex e -=---，则2()(1)()x x g x x e e -'=--.所以当1x >时，()0g x '<，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <..22．⑴ 设圆的半径为r ，作OK AB ⊥于K∵120OA OB AOB =∠=︒，∴30sin302OAOK AB A OK OA r ⊥∠=︒=⋅︒==，， ∴AB 与O ⊙相切 ⑵ 方法一：假设CD 与AB 不平行CD 与AB 交于F2FK FC FD =⋅① ∵A B C D 、、、四点共圆∴()()FC FD FA FB FK AK FK BK ⋅=⋅=-+ ∵AK BK =∴()()22FC FD FK AK FK AK FK AK ⋅=-+=-②由①②可知矛盾 ∴AB CD ∥ 方法二：因为,,,A B C D 四点共圆，不妨设圆心为T ，因为,OA OB TA TB ==，所以,O T 为AB 的中垂线上，同理,OC OD TC TD ==，所以OT CD 为的中垂线，所以AB CD ∥．23．⑴ cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 均为参数）∴()2221x y a +-= ①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==， ∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极⑵ 24cos C ρθ=：两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=Q ，224x y x ∴+= 即()2224x y -+= ②3C ：化为普通方程为2y x =由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ①—②得：24210x y a -+-=，即为3C ∴210a -= ∴1a =24．⑴ 如图所示： ⑵()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥()1f x >当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x < 1x -∴≤当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <113x -<<∴或312x <<当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <332x <∴≤或5x > 综上，13x <或13x <<或5x >()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U U ，，，。