固体物理第章固体电子
论参考答案
集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]
第四章 固体电子论 参考答案 1. 导出二维自由电子气的能态密度。

解： 二维情形，自由电子的能量是： 2π
L x x k n =，
2πL y y k n =
在/k =到d k k +区间： 那么：2d ()d Z Sg E E =
其中：22
()πm g E =
2. 若二维电子气的面密度为n s ，证明它的化学势为：
解：由前一题已经求得能态密度：
电子气体的化学势μ由下式决定：
()()22
2E-/E-/001d ()d πe
1e 1
B B k T
k T
L m E N g E L E μμ∞
∞==++⎰⎰ 令()/B
E k T x μ-≡，并注意到：2s N n L
= 那么可以求出μ：
证毕。

3. He 3
是费米子，液体He 3
在绝对零度附近的密度为0.081 g ／cm 3。

计算它的费米能E F 和费米温度T F 。

解：He 3
的数密度：
其中m 是单个He 3
粒子的质量。

可得：
代入数据，可以算得：
E F ＝ erg = eV.
则：F
F E T k ＝ K.
4.已知银的密度为3
10.5/g cm ，当温度从绝对零
度升到室温（300K ）时，银金属中电子的费米
能变化多少
解：银的原子量为108，密度为3
10.5/g cm ，
如果1个银原子贡献一个自由电子，1摩尔物质包含有个原子，则单位体积内银的自由电子数为
在T=0K 时，费米能量为
代如相关数据得
2/3
272
2
27
3
028
12(6.6310)()3 5.910()29.110()8 3.148.8710() 5.54()
F
erg s cm E g erg eV -----⎛⎫⨯⋅⨯⨯= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭
≈⨯≈
在≠T 0K 时，费米能量
所以，当温度从绝对零度升到室温（300K ）时, 费米能变化为 代如相关数据得
可见，温度改变时，费米能量的改变是微不足道的。

5. 已知锂的密度为3
0.534/g cm ，德拜温度为370K ，试求
（1）室温（300K ）下电子的摩尔比热； （2）在什么温度下，锂的电子比热等于其晶格比热
解：（1）金属中每个电子在常温下贡献的比热
2
'0()2B V
B F
k T
C k E π= （1）
式中0F E 为绝对零度下的费米能：
2
2/33()28F h n E m π= （2）
锂的密度3
0.534/g cm ，原子量，每立方厘米锂包含的摩尔数为，1摩尔物质中包含个原子，每个锂贡献一个电子，则每立方厘米中的电子数 已知
将数据代入（2）得
在室温（300K ）下，0.026B k T eV =，由（1）式可以求得电子的摩尔比热 代入相关数据得
（2）电子比热只在低温下才是重要的。

在低温下，由德拜理论知道，晶格比热
依题设，'''V
V
C C = 把（1）式代入，即得 代入相关数据得 T=（K ）
6. 已知长为L 的一维方阱中有N 个电子，电子的能级为
22
28n n h
E mL =.
证明，T=0K 时电子的平均能量
式中0F E 为绝对零度下的费米能。

解：
电子在能级上的填充要受泡利原理的限制。

从n=1的基态起，每个能级只能填充自旋相反的2个电子，N 个电子将填满N/2个能级。

这个最后填充的能级是绝对零度下的费米能级，因此，
2
2
2
/032⎪⎭
⎫ ⎝⎛==L N m h E E N F
（1）
电子的平均能量总等于总能量除以电子数。

n E 写成
则平均能量
因N//2远大于1，我们可以用一积分代替上面的求和，并将（1）代入，即得。