第5节 垂直关系义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.知 识 梳 理(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直. (2)判定定理与性质定理文字语言 图形表示 符号表示判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥ba ∩b ＝O a αb α⇒l ⊥α性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b (1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.(2)X 围：⎣⎢⎡⎥⎤0，π2.(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角. (3)二面角的X 围：[0，π].(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl β⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝al⊥alβ⇒l⊥α[微点提醒](1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( )(2)垂直于同一个平面的两平面平行.( )(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( )解析(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或lα或l∥α，故(1)错误.(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(必修2P40例3改编)已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为( )A.bαB.b∥αC.bα或b∥αD.b与α相交答案 C3.(必修2P42A5改编)已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，有下列结论：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的是( )A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④解析如图，因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，且PB平面PBC，PC平面PBC，所以PA⊥平面PBC.又BC平面PBC，所以PA⊥BC，同理可得PB⊥AC，PC⊥AB，故①②③正确.答案 A4.(2019·某某江南十校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )A.α⊥β且mαB.m⊥n且n∥βC.m∥n且n⊥βD.m⊥n且α∥β解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确.答案 C5.(2017·全国Ⅲ卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( )A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC解析如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1，从而A1B1⊥BC1.又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.答案 C6.(2018·某某二模)已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是( )a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥ba⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βa⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥βα∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β解析对于A，若a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，故a∥b，故A正确；对于B，若a⊥α，a⊥b，则bα或b∥α，∴存在直线mα，使得m∥b，又b⊥β，∴m⊥β，∴α⊥β.故B正确；对于C，若a⊥α，a⊥b，则bα或b∥α，又α∥β，所以bβ或b∥β，故C错误；对于D，若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β，故D正确.答案 C考点一线面垂直的判定与性质【例1】 (2018·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离.(1)证明因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2 3.连接OB.因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 且OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC . (2)解 作CH ⊥OM ，垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM . 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离.由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.规律方法 1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；(3)面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a ，l ⊥a ，l β⇒l ⊥α).2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【训练1】 (2019·某某二中、某某高中联考)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°.(1)求证：BC 1⊥平面ABC ；(2)E 是棱CC 1上的一点，若三棱锥E －ABC 的体积为312，求线段CE 的长. (1)证明 ∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，BC 1平面BB 1C 1C ， ∴AB ⊥BC 1，在△CBC 1中，BC ＝1，CC 1＝BB 1＝2，∠BCC 1＝60°，由余弦定理得BC 21＝BC 2＋CC 21－2BC ·CC 1·cos∠BCC 1＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，∴BC 1＝3，∴BC 2＋BC 21＝CC 21，∴BC ⊥BC 1，又AB ，BC 平面ABC ，BC ∩AB ＝B ，∴BC 1⊥平面ABC .(2)解 ∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴V E －ABC ＝V A －EBC ＝13S △BCE ·AB ＝13S △BCE ·1＝312，∴S △BCE ＝34＝12CE ·BC ·sin∠BCE ＝12CE ·32， ∴CE ＝1.考点二 面面垂直的判定与性质【例2】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证：(1)PA ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面PAD ； (3)平面BEF ⊥平面PCD .证明 (1)∵平面PAD ⊥底面ABCD ，且PA 垂直于这两个平面的交线AD ，PA 平面PAD ， ∴PA ⊥底面ABCD .(2)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点， ∴AB ∥DE ，且AB ＝DE . ∴四边形ABED 为平行四边形. ∴BE ∥AD .又∵BE 平面PAD ，AD 平面PAD ， ∴BE ∥平面PAD .(3)∵AB ⊥AD ，而且ABED 为平行四边形. ∴BE ⊥CD ，AD ⊥CD ， 由(1)知PA ⊥底面ABCD ，CD平面ABCD ，∴PA ⊥CD ，且PA ∩AD ＝A ，PA ，AD 平面PAD ，∴CD⊥平面PAD，又PD平面PAD，∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，又CD平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.规律方法 1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【训练2】(2019·某某模拟)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，AD＝SD，BC＝CD＝12AB，侧面SAD⊥底面ABCD.(1)求证：平面SBD⊥平面SAD；(2)若∠SDA＝120°，且三棱锥S－BCD的体积为612，求侧面△SAB的面积.(1)证明设BC＝a，则CD＝a，AB＝2a，由题意知△BCD是等腰直角三角形，且∠BCD＝90°，则BD＝2a，∠CBD＝45°，所以∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝45°，在△ABD中，AD＝AB2＋DB2－2AB·DB·cos 45°＝2a，因为AD2＋BD2＝4a2＝AB2，所以BD⊥AD，由于平面SAD⊥底面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，BD平面ABCD，所以BD⊥平面SAD，又BD平面SBD，所以平面SBD⊥平面SAD.(2)解由(1)可知AD＝SD＝2a，在△SAD中，∠SDA＝120°，SA＝2SD sin 60°＝6a. 作SH⊥AD，交AD的延长线于点H，则SH ＝SD sin 60°＝62a ， 由(1)知BD ⊥平面SAD ，因为SH 平面SAD ，所以BD ⊥SH . 又AD ∩BD ＝D ，所以SH ⊥平面ABCD ， 所以SH 为三棱锥S －BCD 的高， 所以V S －BCD ＝13×62a ×12×a 2＝612，解得a ＝1.由BD ⊥平面SAD ，SD 平面SAD ，可得BD ⊥SD ， 则SB ＝SD 2＋BD 2＝2＋2＝2. 又AB ＝2，SA ＝6， 在等腰三角形SBA 中， 边SA 上的高为4－64＝102， 则△SAB 的面积为12×6×102＝152.考点三 平行与垂直的综合问题多维探究角度1 多面体中平行与垂直关系的证明【例3－1】 (2018·卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.(1)求证：PE ⊥BC ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ； (3)求证：EF ∥平面PCD .证明 (1)因为PA ＝PD ，E 为AD 的中点， 所以PE ⊥AD .因为底面ABCD 为矩形， 所以BC ∥AD . 所以PE ⊥BC .(2)因为底面ABCD 为矩形， 所以AB ⊥AD .又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以AB ⊥平面PAD . 所以AB ⊥PD .又因为PA ⊥PD ，且PA ∩AB ＝A ， 所以PD ⊥平面PAB .又PD 平面PCD ， 所以平面PAB ⊥平面PCD .(3)如图，取PC 中点G ，连接FG ，DG . 因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点， 所以FG ∥BC ，FG ＝12BC .因为ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝12BC .所以DE ∥FG ，DE ＝FG .所以四边形DEFG 为平行四边形. 所以EF ∥DG .又因为EF 平面PCD ，DG 平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .规律方法 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. 2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. 角度2 平行与垂直关系中的探索性问题【例3－2】 如图，三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P －ABC 的体积；(2)在线段PC 上是否存在点M ，使得AC ⊥BM ，若存在点M ，求出PMMC的值；若不存在，请说明理由.解 (1)由题知AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32，由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P －ABC 的高.又PA ＝1，所以三棱锥P －ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝36.(2)在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM .由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC . 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM 平面MBN ，所以AC ⊥BM . 在Rt△BAN 中，AN ＝AB ·cos∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32.由MN ∥PA ，得PM MC ＝AN NC ＝13.规律方法 1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点. 角度3 空间位置关系与几何体的度量计算【例3－3】 (2019·某某六市联考)如图，在Rt△ABC 中，AB ＝BC ＝3，点E ，F 分别在线段AB ，AC 上，且EF ∥BC ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，使得二面角P －EF －B 的大小为60°.(1)求证：EF ⊥PB ；(2)当点E 为线段AB 的靠近B 点的三等分点时，求四棱锥P －EBCF 的侧面积．(1)证明 因为在Rt△ABC 中，AB ＝BC ＝3， 所以BC ⊥AB .又因为EF ∥BC ，所以EF ⊥AB ，翻折后垂直关系没变，仍有EF ⊥PE ，EF ⊥BE ，又因为PE ∩BE ＝E ，PE ，BE 平面PBE ， 所以EF ⊥平面PBE ，所以EF ⊥PB .(2)解 因为EF ⊥PE ，EF ⊥BE ，所以∠PEB 是二面角P －EF －B 的平面角， 即∠PEB ＝60°，在△BEP 中，PE ＝2，BE ＝1，由余弦定理得PB ＝3， 所以PB 2＋BE 2＝PE 2，所以PB ⊥BE ，所以PB ，BC ，BE 两两垂直， 又EF ⊥PE ，EF ⊥BE ，所以△PBE ，△PBC ，△PEF 均为直角三角形． 由△AEF ∽△ABC 可得，EF ＝23BC ＝2，S △PBC ＝12BC ·PB ＝332，S △PBE ＝12PB ·BE ＝32，S △PEF ＝12EF ·PE ＝2. 在四边形BCFE 中，过点F 作BC 的垂线，垂足为H ，则FC 2＝FH 2＋HC 2＝BE 2＋(BC －EF )2＝2，∴FC ＝ 2.在△PFC 中，FC ＝2，PC ＝BC 2＋PB 2＝23，PF ＝PE 2＋EF 2＝22，由余弦定理可得cos∠PFC＝PF 2＋FC 2－PC 22PF ·FC ＝－14，则sin∠PFC ＝154，S △PFC ＝12PF ·FC sin∠PFC ＝152. 所以四棱锥P －EBCF 的侧面积为S △PBC ＋S △PBE ＋S △PEF ＋S △PFC ＝2＋23＋152.规律方法 1.本题的综合性较强，属于翻折问题，其关键是看翻折前后线面位置关系的变化情况．根据翻折的过程，把翻折前后一些线、面位置关系中没有变化和发生变化的量准确找出来，应用到求解中．2．第(1)问证明线线垂直，这类问题的一般是通过证明线面垂直来证明．第(2)问的解决过程中要清楚二面角P －EF －B 的平面角是哪一个，并且利用这个角的大小找出四棱锥中各线、面的位置关系，确定各侧面三角形的形状，即可求四棱锥的侧面积．【训练3】 (2019·某某模拟)在如图所示的几何体中，四边形CDEF 为正方形，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ＝3，AB ＝2BC ＝2，AC ⊥FB .(1)求证：AC ⊥平面FBC ； (2)求四面体FBCD 的体积；(3)线段AC 上是否存在点M ，使EA ∥平面FDM ？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．(1)证明 在△ABC 中，因为AC ＝3，AB ＝2，BC ＝1， 所以AC 2＋BC 2＝AB 2，所以AC ⊥BC .又因为AC ⊥FB ，BC ∩FB ＝B ，BC ，FB 平面FBC ， 所以AC ⊥平面FBC .(2)解 因为AC ⊥平面FBC ，FC 平面FBC ， 所以AC ⊥FC .因为CD ⊥FC ，AC ∩CD ＝C ，所以FC ⊥平面ABCD . 在等腰梯形ABCD 中可得CB ＝DC ＝1，所以FC ＝1. 所以△BCD 的面积为S ＝34. 所以四面体FBCD 的体积为V F －BCD ＝13S ·FC ＝312.(3)解 线段AC 上存在点M ，且点M 为AC 中点时，有EA ∥平面FDM .证明如下：连接CE ，与DF 交于点N ，取AC 的中点M ，连接MN . 因为四边形CDEF 是正方形，所以点N 为CE 的中点． 所以EA ∥MN .因为MN 平面FDM ，EA 平面FDM ，所以EA ∥平面FDM .所以线段AC 上存在点M ，且M 为AC 的中点，使得EA ∥平面FDM 成立． 考点四 线面角、二面角的概念及应用【例4】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°.若△SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为________．解析 由题意画出图形，如图，设AC 是底面圆O 的直径，连接SO ，则SO 是圆锥的高．设圆锥的母线长为l ，则由SA ⊥SB ，△SAB 的面积为8，得12l 2＝8，得l ＝4.在Rt△ASO 中，由题意知∠SAO ＝30°，所以SO ＝12l ＝2，AO ＝32l ＝2 3.故该圆锥的体积V ＝13π×AO 2×SO ＝13π×(23)2×2＝8π.答案 8π(2)已知正三棱锥P －ABC 的侧面与底面所成的二面角为60°，且正三棱锥的体积为324，则其侧面积为________．解析 如图所示，设AB 的中点为M ，连接CM ，PM ，由正三棱锥的性质可知PM ⊥AB ，CM ⊥AB ，所以∠PMC ＝60°，设点P 在平面ABC 上的射影为H ，则H 是CM 靠近M 的三等分点，设AB ＝a ，则MH ＝36a ，在直角三角形PMH 中，PH ＝12a ，故三棱锥P －ABC 的体积为13×34a 2×12a ＝324a 3＝324，解得a ＝1，则PM ＝33，故S △PAB ＝12×1×33＝36，所以三棱锥的侧面积为3S△PAB＝3×36＝32.答案3 2规律方法(1)解决这类问题的关键是根据线面角、二面角的定义找出或做出这个角，利用线面角或二面角的大小计算几何体中的相关的量．(2)找出或做出线面角和二面角的平面角都要根据其定义，恰当地利用图形中的垂直关系．如(1)题中圆锥的轴线与底面垂直，(2)题中PM与AB，CM与AB垂直．【训练4】(1)(2018·全国Ⅰ卷)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( )A．8 B．6 2C．82D．8 3解析连接BC1，因为AB⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B＝30°，AB⊥BC1，所以△ABC1为直角三角形．又AB＝2，所以BC1＝2 3.又B1C1＝2，所以BB1＝（23）2－22＝22，故该长方体的体积V＝2×2×22＝8 2.答案 C(2)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且AB＝2，若平面A1BD和平面ABCD 所成的二面角为45°，则A1A＝________．解析如图所示，连接AC，交BD于O，则AO⊥BD，连接A1O，由于A1B＝A1D，所以A1O⊥BD，则∠A1OA即为二面角的平面角，即∠A1OA＝45°，所以A1A＝AO＝22AB＝ 2.答案 2[思维升华]1.证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；(2)判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m ，n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n⇒l ⊥α；(3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a α，a ⊥l ⇒a ⊥β；(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a α，a ⊥β⇒α⊥β. 3.转化思想：三种垂直关系之间的转化[易错防X]1.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件.2.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视. 时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.直观想象——立体几何中的动态问题1．直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．2．立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的X 围等． 3．一般是根据线、面垂直，线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹．【例1】 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别是直线CD 、AB 上的动点，点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)，记直线D 1P 与MN 所成角为θ，若θ的最小值为π3，则点P 的轨迹是( )A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．抛物线的一部分D ．双曲线的一部分解析 把MN 平移到平面A 1B 1C 1D 1中，直线D 1P 与MN 所成角为θ，直线D 1P 与MN 所成角的最小值是直线D 1P 与平面A 1B 1C 1D 1所成角，即原问题转化为：直线D 1P 与平面A 1B 1C 1D 1所成角为π3，点P 在平面A 1B 1C 1D 1的投影为圆的一部分，因为点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)， 所以点P 的轨迹是椭圆的一部分．故选B.答案 B【例2】 (2018·某某一模)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝4，M 是PB 上的一个动点(不与P ，B 重合)，过点M 作平面α∥平面PAD ，截棱锥所得图形的面积为y ，若平面α与平面PAD 之间的距离为x ，则函数y ＝f (x )的图像是( )解析 过M 作MN ⊥AB ，交AB 于N ，则MN ⊥平面ABCD ，过N 作NQ ∥AD ，交CD 于Q ，过Q 作QH ∥PD ，交PC 于H ，连接MH ，则平面MNQH 是所作的平面α， 由题意得2－x 2＝MN4，解得MN ＝4－2x ，由CQ CD ＝QHPD.即2－x 2＝QH25，解得QH ＝5(2－x )，过H 作HE ⊥NQ ，在Rt△HEQ 中，EQ ＝HQ 2－HE 2＝2－x ，∴NE ＝2－(2－x )＝x ，∴MH ＝x . ∴y ＝f (x )＝（x ＋2）（4－2x ）2＝－x 2＋4(0<x <2)．∴函数y ＝f (x )的图像如图．故选C. 答案 C基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n解析因为α∩β＝l，所以lβ，又n⊥β，所以n⊥l.答案 C2.(2018·某某调研)已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是( )mα，则m⊥βmα，nβ，则m⊥nmα，m⊥β，则m∥αα∩β＝m，n⊥m，则n⊥α解析对于A：若mα，则m与平面β可能平行或相交，所以A错误；对于B：若mα，nβ，则m与n可能平行、相交或异面，所以B错误；对于C：若mα，m⊥β，则m∥α，C正确；对于D：α∩β＝m，n⊥m，则n不一定与平面α垂直，所以D错误.答案 C3.(2019·某某模拟)在下列四个正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是( )解析如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知E，F，G，M，N，Q 六个点共面，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D中的直线BD1与平面EFG不垂直，满足题意，故选D.答案 D4.(2019·某某一模)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥nm⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βm⊥n，mα，nβ，则α⊥βα∥β，mα，nβ，则m∥n解析若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴α⊥β，故B正确；若m⊥n，mα，nβ，则α与β的位置关系不确定，故C错误；若α∥β，mα，nβ，则m∥n或m，n异面，故D错误.答案 B5.(2018·某某模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在( )AC上AB上BC上 D.△ABC内部解析连接AC1，如图.∵∠BAC＝90°，∴AC⊥AB，∵BC1⊥AC，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1.又AC在平面ABC内，∴根据面面垂直的判定定理，知平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质定理知，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上.故选B.答案 B二、填空题6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC 垂直的直线有____________；与AP垂直的直线有____________.解析因为PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC.因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC ＝C，所以AB⊥平面PAC，又因为AP平面PAC，所以AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案AB，BC，ACAB7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).解析连接AC，BD，则AC⊥BD，因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(或BM⊥PC)8.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________.解析 连接A 1C 1，则∠AC 1A 1为AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成的角. 因为AB ＝BC ＝2，所以A 1C 1＝AC ＝22， 又AA 1＝1，所以AC 1＝3， 所以sin∠AC 1A 1＝AA 1AC 1＝13. 答案 13三、解答题9.(2019·某某摸底)如图，在多面体ABCDPE 中，四边形ABCD 和CDPE 都是直角梯形，AB ∥DC ，PE ∥DC ，AD ⊥DC ，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝PD ＝DA ＝2PE ，CD ＝3PE ，F 是CE 的中点.(1)求证：BF ∥平面ADP ；(2)已知O 是BD 的中点，求证：BD ⊥平面AOF . 证明 (1)如图，取PD 的中点为G ，连接FG ，AG .∵F 是CE 的中点，∴FG 是梯形CDPE 的中位线， ∵CD ＝3PE ， ∴FG ＝2PE ，FG ∥CD . ∵CD ∥AB ，AB ＝2PE ，∴AB ∥FG ，AB ＝FG ，即四边形ABFG 是平行四边形， ∴BF ∥AG ，又BF 平面ADP ，AG 平面ADP ， ∴BF ∥平面ADP .(2)延长AO 交CD 于M ，连接BM ，FM .∵BA⊥AD，CD⊥DA，AB＝AD，O为BD的中点，∴四边形ABMD是正方形，则BD⊥AM，MD＝2PE，∴FM∥PD.∵PD⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，∴FM⊥BD，∵AM∩FM＝M，∴BD⊥平面AMF，∴BD⊥平面AOF.10.如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由.(1)证明因为PC⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为AC⊥DC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.(2)证明因为AB∥CD，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PC⊥AB.又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.(3)解棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又因为E为AB的中点，所以EF∥PA.又因为PA平面CEF，且EF平面CEF，所以PA∥平面CEF.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·某某一模)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有( )A.AG⊥平面EFHB.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEFD.HG⊥平面AEF解析根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，又HE∩HF＝H，∴AH⊥平面EFH，B正确. ∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确.∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF平面AEF，∴平面HAG⊥平面AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确.由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确.答案 B12.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，将△ACD沿AC折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于( )A.2B.3C.4解析设D1在平面ABC上的射影为E，连接D1E，则D1E⊥平面ABC.∵D1E平面ABD1，∴平面ABD1⊥平面ABC.∵D1E⊥平面ABC，BC平面ABC，∴D1E⊥BC，又AB⊥BC，D1E∩AB＝E，∴BC⊥平面ABD1.又BC平面BCD1，∴平面BCD1⊥平面ABD1.∵BC ⊥平面ABD 1，AD 1平面ABD 1， ∴BC ⊥AD 1，又CD 1⊥AD 1，BC ∩CD 1＝C ， ∴AD 1⊥平面BCD 1，又AD 1平面ACD 1，∴平面ACD 1⊥平面BCD 1. ∴共有3对平面相互垂直.故选B. 答案 B13.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E ，要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________.解析 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF 平面C 1DF ， 所以AB 1⊥DF ， 由已知可得A 1B 1＝2，设Rt△AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ， 则DE ＝12h .又12×2×2＝12×h 22＋（2）2， 所以h ＝233，DE ＝33.在Rt△DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66. 由面积相等得12×66×x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫222＝12×22x ， 得x ＝12.答案 1214.如图①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，BD ⊥DC ，点E 是BC 边的中点，将△ABD沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE ，得到如图②所示的几何体.(1)求证：AB ⊥平面ADC ；(2)若AD ＝1，AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角的正切值为6，求点B 到平面ADE 的距离.(1)证明 因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，BD ⊥DC ，DC 平面BCD ，所以DC ⊥平面ABD .因为AB 平面ABD ，所以DC ⊥AB ， 又因为AD ⊥AB ，且DC ∩AD ＝D ， 所以AB ⊥平面ADC .(2)解 由(1)知DC ⊥平面ABD ，所以AC 在平面ABD 内的正投影为AD ，即∠DAC 为AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角. 依题意得tan∠DAC ＝CDAD＝6， 因为AD ＝1，所以CD ＝6， 设AB ＝x (x >0)，则BD ＝x 2＋1， 因为△ABD ∽△DCB ，所以AB AD ＝DC BD ，即x 1＝6x 2＋1， 解得x ＝2，故AB ＝2，BD ＝3，BC ＝3. 由于AB ⊥平面ADC ，AC 平面ADC ， 所以AB ⊥AC ，又E 为BC 的中点， 所以由平面几何知识得AE ＝BC 2＝32，因为BD ⊥DC ，E 为BC 的中点，所以DE ＝BC 2＝32，所以S △ADE ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22. 因为DC ⊥平面ABD ，所以V A －BCD ＝V C －ABD ＝13CD ·S △ABD ＝33.设点B 到平面ADE 的距离为d .则由13d ·S △ADE ＝V B －ADE ＝V A －BDE ＝12V A －BCD ＝36，得d ＝62， 即点B 到平面ADE 的距离为62.。