空间位置关系课程目标知识提要空间位置关系空间几何体各式各样、千姿百态，如何认识和把握它们呢？一般的方法是，从构成空间几何体的基本元素—点、直线和平面入手，研究它们的性质以及相互之间的位置关系，由整体到局部，由局部再到整体，逐步认识空间几何体的性质.平面的概念与基本性质•平面的概念生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是几何中的平面是没有厚度、无限延展的．•平面的画法我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面，平行四边形的锐角通常画为45∘，且横边长等于其邻边长的2倍．如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡的部分用虚线画出来．•平面的表示为了表示平面，常把希腊字母α,β,γ等等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如图中的平面可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD．•集合符号在立体几何中的应用以点作为元素，直线和平面都是由点构成的集合．几何中许多符号的规定都是源于将图形视为点集．例如：点A在平面α内，记作A∈α；点A不在平面α内，记作A∉α．直线l在平面α内，记作l⊂α；直线l不在平面α内，记作l⊄α；直线l与m相交于点A，记作l∩m=A；平面α与平面β相交于直线a，记作α∩β=a．•平面的基本性质平面的基本性质是由三条公理描述的：公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．符号语言：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α．公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．符号语言：P∈α，且P∈β⇒α∩β=l，且P∈l．•空间位置关系与几何量的基础平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．点、线、面的位置关系•点与平面的位置关系平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点A在平面α内，记作A∈α；点A不在平面α内，记作A∉α．•直线与直线的位置关系空间直线与直线的位置关系共有以下两种：共面直线在同一平面内的两条直线．更进一步，若这两条直线有且只有一个公共点，则称它们是相交直线，若这两条直线没有公共点，则称它们是平行直线；异面直线不同在任何一个平面内的两条直线．•直线垂直如果两条直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直，记作a⊥b．在空间，两条直线垂直包括两种情形：共面垂直和异面垂直．•直线与平面的位置关系空间直线与平面的位置关系共有以下三种：直线在平面内直线上的所有点都在平面内；直线与平面相交直线与平面有且仅有一个公共点；直线与平面平行直线与平面没有公共点．•平面与平面的位置关系空间平面与平面的位置关系共有以下两种：平行 两个平面没有公共点，则称这两个平面平行；相交 两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，此时这条公共直线称为这两个平面的交线．空间的平行关系•空间四边形顺次连接不共面的四个点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．空间四边形用表示顶点的四个字母表示．例如，图中的四边形可以表示为空间四边形ABCD，线段AC，BD是它的对角线．•直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．用符号表示：a⊄α，b⊂α，且a∣∣b⇒a∣∣α．•平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．用符号表示：a⊂β，b⊂β，a∩b=P，a∣∣α，b∣∣α⇒β∣∣α．•平面与平面平行的判定定理的推论如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．•直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．用符号表示：a∣∣α，a⊂β，α∩β=b⇒a∣∣b．•平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．用符号表示：α∣∣β，α∩γ=a，β∩γ=b⇒a∣∣b．空间的垂直关系•直线与平面垂直的判定如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直．记作l⊥α．直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．用符号表示：a，b⊂α，a∩b=P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α．•平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．用符号表示：l⊥α，l⊂β⇒α⊥β．•直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行．用符号表示：a⊥α，b⊥α⇒a∣∣b．•平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号来表示：α⊥β，α∩β=CD，AB⊂α，AB⊥CD⇒AB⊥β．精选例题空间位置关系1. 有下列四个结论：①l⊥α，m⊂β，α∥β⇒l⊥m；②α⊥β，l⊂α，m⊂β⇒l⊥m；③α∥β，a⊂α，b⊂β⇒a∥b；④α⊥β，a⊂α，b⊂β，a⊥b⇒a⊥β，b⊥α．其中正确的是（把正确结论的序号填上）．【答案】①④2. 下列命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②若直线l与两平面α，β都不垂直，则α，β不平行；③若两个平面α，β与平面γ均垂直，则α∥β．则真命题的个数是．【答案】03. 在三棱锥P−ABC中，侧棱PA=PB=PC，若PO⊥平面ABC于O，则点O是△ABC 的（填内心、外心、垂心、重心之一）．【答案】外心4. 平面内一条直线把平面分成个部分；两条直线最多把平面分成个部分；三条直线最多把平面分成个部分；n条直线最多把平面分成个部分．【答案】2；4；7；n 2+n+2 25. 下列四个结论：①若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线和这个平面垂直；②过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④若一条直线不垂直于一个平面，则这条直线和这个平面内的任何一条直线不垂直．其中正确结论的序号是．【答案】②③6. 如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②直线PA∥平面BDG；③直线EF∥平面PBC；④直线EF∥平面BDG．其中正确的序号是．【答案】①②③【分析】作出立体图形，可知平面EFGH∥平面ABCD；PA∥平面BDG；EF∥HG，所以EF∥平面PBC；直线EF与平面BDG不平行．7. 有下列四个结论：（1）l⊥α，m⊂β，α∥β⇒l⊥m；（2）α⊥β，l⊂α，m⊂β⇒l⊥m；（3）α∥β，a⊂α，b⊂β⇒a∥b；（4）α⊥β，α∩β=a，b⊂β，a⊥b⇒b⊥α；（5）l⊥a，l⊥b，a,b⊂α，则l⊥α．其中正确的是．【答案】（1）（4）8. 如图，在透明塑料制成的长方体ABCD−A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，以下命题：（1）水的形状呈棱柱形；（2）水面EFGH的面积不变；（3）A1D1始终与水面EFGH平行．其中正确的是．【答案】（1）（3）【分析】（1）随着倾斜程度的不同，如图（2），水的形状可以看成以梯形ABFE为底，BC，FG，EH，AD为侧棱的四棱柱；如图（3），水的形状可以看成以△BEF为底，BC，FG，EH为侧棱的三棱柱，故水的形状始终是棱柱．（2）由于倾斜过程中水面EFGH的形状为矩形，EF逐渐变长，而FG不变，故水面EFGH的面积逐渐增大．（3）由于A1D1∥AD∥EH∥BC，所以A1D1始终与水面EFGH平行．9. 直线a和b在正方体ABCD−A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是（只填序号即可）．①a和b垂直于正方体的一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．【答案】①②③【分析】①线面垂直的性质定理；②面面平行的性质定理；③平行公理．10. 设a，b为两条直线，α，β为两个平面，给出下列命题：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α②若a∥α，b∥α，则a∥b③若a⊥b，b⊥α，则a∥α④若a⊥α，a⊥β，则α∥β其中真命题是．【答案】①④11. 若AB、BC在平面α内，证明：AC在平面α内．【解】因为AB⊂α，所以A∈α；因为BC⊂α，所以C∈α，所以AC⊂α．12. 如图，三棱锥P−ABC的底面是边长为1的正三角形，PC=1，PB=√2，PC⊥AB．(1)求证：PC⊥平面ABC；【解】由题意△PBC中，CP2+CB2=12+12=BP2．所以PC⊥BC．又因为PC⊥AB，BC∩AB=B，所以PC⊥平面ABC．(2)求三棱锥A−PCB的体积．【解】由（1）知，PC是三棱锥P−ABC的高，所以V A−PCB=V P−ABC=13S△ABC⋅PC=13×√34×12×1=√312．13. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O．(1)若AC⊥PD，求证：AC⊥平面PBD；【解】因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又因为AC⊥PD，PD∩BD=D，所以AC⊥平面PBD．(2)若平面PAC⊥平面ABCD，求证：∣PB∣=∣PD∣．【解】由（1）知AC⊥BD．因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PAC．因为PO⊂平面PAC，所以BD⊥PO．因为底面ABCD是菱形，所以∣BO∣=∣DO∣，所以∣PB∣=∣PD∣．14. 如图所示，正三棱柱ABC−A1B1C1中，E、F分别是BC、CC1的中点．(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；【解】因为三棱柱ABC−A1B1C1是正三棱柱，所以BB1⊥面ABC，所以AE⊥BB1，又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC，又因为BC∩BB1=B，因此AE⊥平面B1BCC1，而AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1．(2)若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥B1−AEF的体积．【解】V B1−AEF =V A−B1EF，S△B1EF =2×2−12×2×1−12×1×1−12×1×1=2，AE=√3，由第（1）问，可知AE⊥平面B1BCC1，所以V B1−AEF =V A−B1EF=13⋅32⋅√3=√32．15. 已知E是平面α和平面β外一点，且α∩β=CD，EA⊥α于A，EB⊥β于B．求证：AB⊥CD．【解】因为EA⊥α于A，CD⊂α，所以EA⊥CD．同理EB⊥CD．又因为EA∩EB=E，所以CD⊥平面EAB．AB⊂平面ABC，所以CD⊥AB．16. 如图，四棱锥P−ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45∘，点E、F分别为棱AB、PD的中点．(1)求证：AF∥平面PCE；【解】取PC的中点G，连接FG、EG，所以FG为△CDP的中位线，所以FG∥CD且FG=12CD．因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以AE∥CD，AE=CD，所以FG∥AE，FG=AE，所以四边形AEGF是平行四边形，所以AF∥EG，所以AF∥平面PCE．(2)求证：平面PCE⊥平面PCD；【解】因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PA∩AD=A，所以CD⊥平面ADP，又AF⊂平面ADP，所以CD⊥AF，在RT△PAD中，∠PDA=45∘，所以△PAD为等腰直角三角形，所以PA=AD=2，因为F是PD的中点，所以AF⊥PD，又CD∩PD=D所以AF⊥平面PCD，因为AF∥EG，所以EG⊥平面PCD，又EG⊂平面PCE，所以平面PCE⊥平面PCD．(3)求三棱锥C−BEP的体积．【解】PA⊥底面ABCD，在Rt△BCE中，BE=1，BC=2，所以三棱锥 C −BEP 的体积， V C−BEF =V F−BCE=13S △BCE ⋅PA =13⋅12⋅BE ⋅BC ⋅PA =13⋅12⋅1⋅2⋅2⋅2=23． 17. 如图，在三棱柱 ABC −AʹBʹCʹ 中，点 E ，D 分别是 BʹCʹ 与 BC 的中点．求证：平面AʹEB ∥平面ADCʹ．【解】 连接 DE ，因为 E ，D 分别是 BʹCʹ 与 BC 的中点，所以 DE ∥AAʹ，DE =AAʹ．所以 AAʹED 是平行四边形，所以 AʹE ∥AD ．因为 AʹE ⊄平面ADCʹ，AD ⊂平面ADCʹ，所以AʹE∥平面ADCʹ．又BE∥DCʹ，BE⊄平面ADCʹ，DCʹ⊂平面ADCʹ，所以BE∥平面ADCʹ．因为AʹE⊂平面AʹEB，BE⊂平面AʹEB，AʹE∩BE=E，所以平面AʹEB∥平面ADCʹ．18. 如图所示，四面体ABCD被一平面所截，截面与四条棱AB，AC，CD，BD相交于E，F，G，H四点，且截面EFGH是一个平行四边形．求证：棱BC∥平面EFGH，AD∥平面EFGH．【解】因为截面EFGH是一个平行四边形，所以EF∥GH．又因为GH在平面DCB内，EF不在平面DCB内，所以EF∥平面DCB．又平面ABC过直线EF且与平面DCB相交于BC，所以EF∥BC，EF⊆平面EFGH，所以BC∥平面EFGH．同理可证AD∥平面EFGH．19. 如图，a，b是异面直线，a⊂平面α，b⊂平面β，a∥β，b∥α．求证：α∥β．【解】如图，在直线b上任取一点A．因为a，b是异面直线，所以过A和a确定平面γ，设γ与β交于过A点的直线c．因为a∥β，所以c∥a．因为a⊂α，c⊄α，所以c∥α．因为a，b是异面直线，所以c和b是β内的相交直线．因为b∥α，所以α∥β．20. 已知平面α，β，γ，δ，其中γ∩δ=l，α∩γ=a，β∩γ=aʹ，a∥aʹ，α∩δ=b，β∩δ=bʹ，b∥bʹ，则α∥β是否成立？若成立，给出证明；若不成立，添加适当的条件，使α∥β．【解】α∥β不成立．如图，添加条件a与b相交，则α∥β．因为a∥aʹ，a⊄β，aʹ⊂β，所以a∥β．因为b∥bʹ，b⊄β，bʹ⊂β，所以b∥β．又a，b是α内的相交直线，所以α∥β．平面的概念与基本性质1. △ABC的三边或延长线与平面α分别相交于点P，Q，R，则P，Q，R的位置关系是．【答案】P，Q，R三点共线2. 下列说法错误的是（填上序号）．（1）P∈α，Q∈α⇒PQ∈α；（2）平面α和β有时只有一个公共点；（3）三点确定一个平面．【答案】（1）（2）（3）3. 两个相交平面把空间分成部分．【答案】44. 正方体各面所在的平面将空间分成个部分．【答案】275. 有以下三个命题：①不在平面内的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线l在平面α内，可以用符号“ l∈α“表示；③若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交．请将所有正确命题的序号写出：．【答案】①③6. 定线段AB所在的直线与定平面α相交于点O，P为直线AB外的一点，且P不在α内，若直线AP，BP与α分别交于C，D点，求证：不论P在什么位置，直线CD必过一定点．【解】因为O∈α，且O在平面PAB内，所以O在α与平面PAB的交线上，故不论P 在什么位置，直线CD必过定点O．7. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；【解】如图，连接A1B，D1C，FE．因为E，F分别为AB，A1A的中点，所以EF∥A1B，且EF=12A1B．又因为A1D1∥BC，A1D1=BC，所以四边形A1D1CB是平行四边形．所以A1B∥CD1．所以EF∥CD1，即EF，CD1确定一个平面．所以E，C，D1，F四点共面．(2)CE，D1F，DA三线交于同一点．【解】因为EF∥CD1且EF=12CD1，所以D1F与CE必相交．如图，设D1F∩CE=P，因为D1F⊂平面AA1D1D，CE⊂平面ABCD，平面AA1D1D∩平面ABCD=AD，所以P∈DA，所以CE，D1F，DA三线交于同一点．8. 如图，正方体ABCD−AʹBʹCʹDʹ中，点E是AB的中点，点F是AAʹ的中点．请问Dʹ，F，E，C四点共面吗？DʹF，CE，DA所在直线交于一点吗？动手画一画，并证明你的结论．【解】共面；能交于一点．证明：设延长DʹF交DA的延长线于点G，延长CE交DA的延长线于点H，只需证明AG= AH即可．9. 已知三条平行线a，b，c都与直线d相交，求证：它们共面．【解】如图，设a，b，c与d分别交于点A，B，C．因为a∥b，所以a，b确定一个平面，设为α．由A∈a，得A∈α，由B∈b，得B∈α，所以AB⊂α，因为A∈d，B∈d，所以d⊂α．因为C∈d，所以在α内过点C作cʹ∥a，又因为直线c也过点C且c∥a，所以直线cʹ与直线c重合（经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）．所以a，b，c，d在同一平面内．10. 如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是边BC的中点，动点P在直线BD1（除B，D1两点）上运动的过程中，平面DEP可能经过的该正方体的顶点是．（写出满足条件的所有顶点）【解】A1，B1，D点、线、面的位置关系1. 设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是( )．①．若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或l∥α．②．若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α．③．若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交．④．若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β【答案】②2. 长方体ABCD−A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系是．【答案】垂直【分析】如下图．由面面垂直的性质定理知MN⊥平面ABCD，再由线面垂直的定义知MN⊥AB．3. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，与棱AB成异面直线的棱有条．【答案】4【分析】作出图形，观察可知与AB成异面直线的棱有CC1、DD1、B1C1、A1D1，共4条．4. 给出下列命题：①α⊥β，l⊥α，m⊂β，则l∥m，②α⊥β，l⊂α，则l⊥β，③α⊥β，l∥α，则l与β相交，或l∥β，或l⊂β．其中正确的是．【答案】③5. 经过直线外一点直线与已知直线平行；经过直线外一点平面与已知直线平行；经过平面外一点直线与已知平面平行；经过两条异面直线中的一条平面与另一条直线平行（用‘‘有且只有一条”“有无数条”“有且只有一个”“有无数个”填空）．【答案】有且只有一条；有无数个；有无数条；有且只有一个6. 如图，三角形ABC在平面α外，三角形三边所在直线和平面α交于P，Q，R三点，求证：P，Q，R三点共线．【解】因为直线AB∩α=P，所以P∈AB，P∈α．又因为AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC．同理可得R∈α，R∈平面ABC；Q∈α，Q∈平面ABC．因此P，Q，R三点都在平面α与平面ABC上，平面α与平面ABC相交只有一条交线，所以P，Q，R三点在平面α与平面ABC的交线上，即P，Q，R三点共线．7. 已知三个平面两两相交，若交线不互相平行，求证：它们必交于一点．【解】如图：设α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．因为a，b，c不互相平行，所以不妨设a与b相交于点O，则O∈a，O∈b．又因为a⊂α，b⊂γ，所以O∈α，O∈γ，从而点O是α与γ的一个公共点．而α与γ的交线为c，所以点O∈c，即a，b，c交于同一点O．8. 巳知棱长为a的正方体ABCD−AʹBʹCʹDʹ中，M，N分别为CD，AD的中点．求证：四边形MNAʹCʹ是梯形．【解】如图，连AC，因为M，N为CD，AD中点，所以MN∥AC，MN=12AC，由正方体性质，可知AC∥AʹCʹ，AC=AʹCʹ，所以MN∥AʹCʹ，MN=12AʹCʹ．因此四边形MNAʹCʹ是梯形．9. 一条直线经过平面内一点，又经过平面外一点，判断这条直线与平面的位置关系，并说明理由．【解】这条直线与平面相交如图，设A∈l，A∈α，B∉α，B∈l，因为A∈l，A∈α，即直线l与平面α有公共点，所以直线l与平面α不平行．假设直线l与平面α不相交，则l⊂α，又B∈l，l⊂α，所以B∈α，这与题设B∉α矛盾，所以l⊄α，所以直线l与平面α相交．10. 如图，在空间四边形ABCD中，已知E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且BGGC =DHHC=2．求证：直线EG、FH、AC相交于一点．【解】因为E、F分别是AB、AD的中点，所以EF∥BD，且EF=12BD．又BGGC =DHHC=2，所以GH∥BD，且GH=13BD．所以四边形EFGH是梯形．设两腰EG、FH相交于一点T．因为EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD，所以T∈平面ABC，且T∈平面ACD．又平面ABC∩平面ACD=AC，所以T∈AC，于是直线EG、FH、AC相交于一点．空间的平行关系1. 棱长都相等的四面体称为正四面体．在正四面体A−BCD中，点M，N分别是CD和AD 的中点，给出下列命题：①直线MN∥平面ABC；②直线CD⊥MN；③三棱锥B−AMN的体积是三棱锥B−ACM的体积的一半．其中正确命题的序号为．【答案】①③【分析】因为点M，N分别是CD和AD的中点，所以MN∥AC．又因为MN⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以①直线MN∥平面ABC正确．易知②错误；因为分别以△AMN与△ACM为底时三棱锥B−AMN与三棱锥B−ACM的高相等，S△AMN:S△ACM=1:2，所以体积之比为1:2，所以③三棱锥B−AMN的体积是三棱锥B−ACM的体积的一半正确．故答案为①③．2. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，若经过点A1，C1，B的截面交平面ABCD于直线a，则直线a的作法是．【答案】过点B作AC的平行线【分析】直线a一定平行于直线A1C1，而直线A1C1又平行于AC，所以直线a一定平行于直线AC．3. 设m，n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α．以其中两个为条件，余下的一个为结论，构成三个命题，写出你认为正确的一个命题．【答案】①②⇒③4. 给出下列命题：(1)两条平行线与同一平面所成角相等；(2)与同一平面所成角相等的两条直线平行；(3)一条直线与两个平行平面所成角相等；(4)一条直线与两个平面所成角相等，这两个平面平行．其中正确的命题是．（填上所有正确命题的序号）【答案】(1)(3)5. 若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8，12，以过AB的中点E且平行于BD，AC的截面与空间四边形ABCD各边交点为顶点的四边形的周长为．【答案】20【分析】截面是平行四边形，且相邻两边的长分别为4，6，所以周长为2×(4+6)=20．6. 如图，两条异面直线AC，DF与三个平行平面α，β，γ分别交于A，B，C与D，E，F，AF，CD分别与β交于G，H，求证：四边形HEGB为平行四边形．【解】因为AC∩CD=C，所以AC，CD确定平面ACD．又因为α∥β，平面ACD与α，β分别交于AD，BH，所以AD∥BH．因为AF∩DF=F，所以AF，FD确定平面AFD．又因为α∥β，平面AFD分别交α，β于AD，GE，所以AD∥GE．所以BH∥GE．同理BG∥HE．所以四边形HEGB是平行四边形．7. 如图所示，在正方体ABCD−EFGH中，M，N，P，Q，R分别是EH，EF，BC，CD，AD 的中点，求证：平面MNA∥平面PQG．【解】因为M，N，P，Q，R分别是EH，EF，BC，CD，AD的中点，所以MN∥HF，PQ∥BD．因为BD∥HF，所以MN∥PQ．因为PR∥GH，PR=GH；MH∥AR，MH=AR，所以四边形RPGH为平行四边形，四边形ARHM为平行四边形，所以AM∥RH，RH∥PG．所以AM∥PG．因为MN∥PQ，MN⊄平面PQG，PQ⊂平面PQG，所以MN∥平面PQG．同理可证，AM∥平面PQG，又直线AM与直线MN相交，所以平面MNA∥平面PQG．8. 如图，在直角梯形ABEF中，将DCEF沿CD折起，使∠FDA=60∘，得到一个空间几何体．求证：BE∥平面ADF．【解】由已知条件可知BC∥AD，CE∥DF，折叠之后平行关系不变．又因为BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，所以BC∥平面ADF．同理CE∥平面ADF．又因为BC∩CE=C，BC⊂平面BCE，CE⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面ADF．所以BE∥平面ADF．9. 如图，在一个长方体木块的A1B1C1D1面上有一点P，过P点画一直线和棱CD平行，应怎样画？若要求过P点画一条直线和BD平行，又该怎样画？【解】在平面A1B1C1D1内经过点P作A1B1的平行线，设为e，则e∥CD．连接D1B1，过点P作l∥D1B1，则l∥BD．10. 如图，已知平面α的两侧分别有点P和直线a，a∥α，a上有点A，B，C，PA，PB，PC 分别交α于D，E，F．设AB=m，BC=n，AD=p，PD=q，PB=r，PF=t，求DE，PE，DF，PC的长．【解】因为P在直线α外，所以P与α确定一个平面，此平面与α交于直线DF，且E在直线DF上．因为a∥α，所以a∥DF．在△PAB中，由DEAB =PDPA，得DE=AB⋅PDPA=mqp+q．由PEPB =PDPA，得PE=PB⋅PDPA=rqp+q．在△PAC中，由DFAC =PDPA，得DF=AC⋅PDPA=(m+n)qp+q．由PFPC =PDPA，得PC=PA⋅PFPD=(p+q)tq．空间的垂直关系1. 如图，已知PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中互相垂直的面共有对．【答案】32. 在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC=6，BC=8，EC⊥平面ABC且EC=12，则ED=．【答案】133. 已知两条直线a，b及平面α，给出下列推论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若a⊥α，b⊥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥b，则b∥α；④a∥α，a⊥b，则b⊥α．其中正确的是（填序号）．【答案】①②4. 在四面体ABCD中，若AB⊥平面BCD，∠BCD=90∘，则在四个面中共有直角三角形个．【答案】45. 若α⊥β，α∩β=l，点P∈α，P∉l，则下列命题中正确的为．（只填序号）①过P且垂直于l的平面垂直于β；②过P且垂直于l的直线垂直于β；③过P且垂直于α的直线平行于β；④过P且垂直于β的直线在α内．【答案】①③④6. 已知ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，过A作AE⊥SB于E，过E作EF⊥SC于F，如图所示．(1)求证：AF⊥SC；【解】因为SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以SA⊥BC，又BC⊥AB，且SA∩AB=A，因此BC⊥平面SAB，又AE⊂平面SAB．所以BC⊥AE．又AE⊥SB，BC∩SB=B，所以AE⊥平面SBC．又SC⊂平面SBC，所以AE⊥SC．又EF⊥SC，AE∩EF=E，所以SC⊥平面AEF，又AF⊂平面AEF，因此AF⊥SC．(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD．【解】因为SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF，所以SC⊥AG，又CD⊥AD，CD⊥SA，AD∩SA=A．所以CD⊥平面SAD，又AG⊂平面SAD，所以CD⊥AG．又SC∩CD=C，所以AG⊥平面SCD，又SD⊂平面SCD，因此AG⊥SD．7. 如图，PA=BC=6，AC=8，PC=AB=10，PB=2√34，F是线段PB上一点，CF=15√3417，点E在线段AB上，且EF⊥PB．求证：PB⊥平面CEF．【解】因为PA2+AC2=36+100=136=PC2，所以△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形．同理可证，△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PBC是以∠PCB为直角的直角三角形．故PA⊥平面ABC．又因为S△PBC=12∣PC∣∣BC∣=12×10×6=30，而12∣PB∣∣CF∣=12×2√34×15√3417=30=S△PBC，故CF⊥PB，又已知EF⊥PB，所以PB⊥平面CEF．8. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，∠BCD=90∘．求证：PC⊥BC．【解】因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC．由∠BCD=90∘，得BC⊥DC．又PD∩DC=D，所以BC⊥平面PDC．又因为PC⊂平面PDC，所以BC⊥PC．9. 如图所示，在正四棱柱AC1中，AB=2，AA1=4，点E是棱CC1上一点，且CE=1．(1)求证：A1C⊥DB；【解】在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，BD⊂ABCD．所以AA1⊥BD．因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．因为AA1∩AC=A，所以BD⊥平面A1ACC1．又因为A1C⊂平面A1ACC1，所以A1C⊥DB．(2)求证：A1C⊥平面DBE．【解】连接B1C交BE于点F．因为在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，CE=1，所以BB1BC =BCCE=2．所以Rt△B1BC∽Rt△BCE．所以∠BB1C=∠CBE．因为∠BB1C+∠BCB1=90∘，所以∠CBE+∠BCB1=90∘，所以∠CFB=90∘，即B1C⊥BE．因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以A1B1⊥BE，所以BE⊥平面A1B1C．因为A1C⊂平面A1B1C，所以A1C⊥BE，又A1C⊥BD，BE∩BD=D，BE⊂平面DBE，BD⊂平面DBE，所以A1C⊥平面DBE．10. 如图，已知△BCD中，∠BCD=90∘，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60∘，E，F分别为AC，AD上的动点，且AEAC =AFAD=λ(0<λ<1)．(1)求证：无论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC；【解】因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD．又因为CD⊥BC，且AB∩BC=B，所以CD⊥平面ABC．因为AEAC =AFAD=λ(0<λ<1)，所以不论λ为何值，恒有CD∥EF．所以EF⊥平面ABC．又因为EF⊂平面BEF，所以不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC． (2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD ?【解】由（1）可知，EF⊥平面ABC．因为BE⊂平面ABC，所以EF⊥BE．假设平面BEF⊥平面ACD，则BE⊥平面ACD．因为AC⊂平面ACD，所以BE⊥AC．因为BC=CD=1，∠BCD=90∘，∠ADB=60∘，所以BD=√2，AB=√2tan60∘=√6，所以AC=√AB2+BC2=√7．由AB2=AE⋅AC，得AE=√7，所以λ=AEAC =67，故当λ=67时，平面BEF⊥平面ACD．课后练习1. 给出下列四个命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点中有三点共线，则此四点必共面；③空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面；④空间四点不共面，则任意三点不共线．其中正确命题的序号是．2. 正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面AA1CC1和平面BB1DD1的交线与棱CC1的位置关系是，截面BA1C1和直线AC的位置关系是．3. 正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在棱CC1上，画出直线AP和平面A1B1C1D1的交点．4. 平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C 的轨迹是．5. 正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面A1C1，A1B，BC1分别记作α，β，γ试用适当的符号填空：（1）A1α，B1α；（2）α∩β=，β∩γ=；（3）A1B1α，BB1β，A1B1γ．6. 如图，平行四边形ABCD的对角线交点为O，点P在平行四边形ABCD所在平面外，且PA=PC，PD=PB，则PO与平面ABCD的位置关系是．7. 下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是．（将你认为正确的都填上）8. 过平面外一点可以作条直线与已知平面平行；过平面外一点可以作个平面与已知平面平行．9. 已知正方体ABCD−EFGH，则AH与FG所成的角是．10. 平面α外有两条不同的直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是两条不同的直线m1和n1，给出下列四个命题：①m1⊥n1⇒m⊥n；②m⊥n⇒m1⊥n1；③m1与n1相交⇒m与n相交；④m1与n1平行⇒m与n平行．其中假命题的序号是．11. 正方体ABCD−A1B1C1D1中，画出平面ABC1D1和平面A1B1CD的交线．12. 一条直线和这条直线外三点，最多能确定的平面个数是．13. 语句“直线l是平面α和β的交线，直线m在平面α内，直线l和m相交于点P”用集合符号语言表述为．14. 空间中的四个点最多能确定个平面．15. n个平面把空间分成8部分，那么n的值可能是．16. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中（如图所示），和棱A1B1不相交的棱有条．17. 直线a经过平面α外一点M的符号语言是．18. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列四组平面中，互相平行的一组是（填序号）．（1）平面 A 1BC 1 与平面 ACD 1；（2）平面 BDC 1 与平面 B 1D 1C ；（3）平面 B 1D 1D 与平面 BDA 1；（4）平面 A 1DC 1 与平面 AD 1C ．19. 已知直线 a ∥平面α，直线 b ∥平面α，则 a 与 b 的位置关系为 ．20. 两条异面直线 a ，b 所成角为 60∘，则过一定点 P ，与直线 a ，b 都成 60∘ 角的直线有 条．21. 在空间四边形 ABCD 中，E ，F 分别为 AB ，BC 的中点，G ，H 分别是 CD ，DA 上的点，且CG GD =AH HD =23，若 AC =6 cm ，梯形 EFGH 的面积为 33 cm 2，则平行线 EF ，HG 间的距离为 ．22. E ，F ，G ，H 分别是空间四边形 ABCD 各边的中点，若对角线 AC =4，BD =2，则 EG 2+HF 2= ．23. 平面 α∥ 平面 β，△ABC 和 △A 1B 1C 1 分别在平面 α 和平面 β 内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形 ．24. 已知 a ，b ，c 是三条不重合的直线，α，β，γ 是三个不重合的平面，下列说法中： (1) c ∥α，c ∥β⇒α∥β；(2) γ∥α，β∥α⇒α∥β；(3) a ∥c ，α∥c ⇒a ∥α；(4) a ∥γ，α∥γ⇒a ∥α．正确的是 ．25. 分别在两个平行平面内的两个三角形：（1）若对应的顶点的连线共点，那么这两个三角形 ；（2）若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形 ．26. 在棱长为 2√3 的正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，正方形 BCC 1B 1 所在平面内的动点 P 到直线 D 1C 1，DC 的距离之和为 4，则 PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围 ．。