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数列求和的基本方法和技巧
一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式
错位相减法求和 反序相加法求和
法， 1、
2⎩3、
)1(211+==∑=n n k S n
k n 4、)12)(1(61
1
2++==∑=n n n k S n
k n
[例1] 已知3
log 1
log 23-=
x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2
1
2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=
x x x
由等比数列求和公式得
n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32
（利用常用公式）
＝x x x n
--1)1(＝2
11211(2
1--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1
)32()(++=
n n
S n S n f 的最大值.
（利
列.
[例{1-n x }的通项之积
设
n
n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②
（设制错位）
①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错
位相减）
再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1
----⋅
+=-- ∴ 2
1)
1()
1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,
2232n
n
前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2
1
}的通项
②
12
2+-n n
[例
n
n n n n
（反序）
又由m n n m n C C -=可得
n
n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ② ①+②得 n n
n n n n
n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加）
∴ n n n S 2)1(⋅+=
[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值
解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①
将①式右边反序得
1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..
②
得
题1已知函数 （1）证明：；（2）求
的值（2
所以
.
练习、求值：
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
[例7] 求数列的前n 项和：231
,,71,
41,111
2-+⋅⋅⋅+++-n a
a a n ，… 解：设)231
()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a
a a S n n
将其每一项拆开再重新组合得
)23741()1
111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++
=-n a
a a S n n
（分组）
)13(n
n -2
)13(n
n + [例k n
k ∑=1
2
)
1(22+n （分组求和）
＝2
)
2()1(2++n n n
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目
的. 通项分解（裂项）如：
（1）)()1(n f n f a n -+= （2）
n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）1
1
1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=
n n n n n a n （5）])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n
[例
[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=
n n
n n a n ，又1
2+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前
n 项的和.
解： ∵ 2
11211n
n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=
∴
)11
1(82
122+-=+⋅=
n n n n b n
（裂项）
∴ 数列{b n }的前n 项和
)]1
1
1()4
13
1()3
12
1(2
11[(8+-
+⋅⋅⋅+-+-+-=n n
S n （裂项求和）
＝)1
11(8+-
n ＝ 18+n n
[例
n tan （裂]}
答案：
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .
[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° ∵
)180cos(cos n n --=
（找特殊性质项）
∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°
+ cos177°）+···
+（cos89°+
cos91°）+
cos90°
（合并求和）
＝ 0
[例
2002a +
(1+a [例14] 在各项均为正数的等比数列中，若10
323136
5log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.
解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++= 由
等
比
数
列
的
性
质
q p n m a a a a q p n m =⇒+=+
（找特殊性质项）
和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得
)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求
和）
＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++
[例（找 （分
＝
)91010(81
1
1n n --+ [例16] 已知数列{a n }：∑∞
=+-+++=
1
1))(1(,)3)(1(8
n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵ )
4)(2(1
)3)(1(1)[
1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项
及特征）
＝
])
4)(3(1
)4)(2(1[
8+++++⋅n n n n
（设制分组）
＝
)4
1
31(8)4121(
4+-+++-+⋅n n n n （裂项）
∴ ∑∑∑∞
∞
∞
+-+-=-+11
1(8)11(
4))(1(n n a a n （分组、裂项 1．是等比数列；
2．．
3⑵设。