数列求和的七种基本方法甘志国部分内容(已发表于 数理天地(高中)，2014(11)：14-15)数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题(这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法.1 运用公式法很多数列的前n 项和n S 的求法，就是套等差、等比数列n S 的公式，因此以下常用公式应当熟记：221231123(1)2135(21)12222111111122222n nn n n n n n n -++++=+++++-=++++=-++++=-还要记住一些正整数的幂和公式：2233332222)1(41321)12)(1(61321+=++++++=++++n n n n n n n例1 已知数列}{n a 的前n 项和232n n S n -=，求数列}{n a 的前n 项和n T . 解 由232n n S n -=,可得n a n 233-=,160≤⇔>n a n ，所以： (1)当16≤n 时,n T =232n n S n -=. (2)当17≥n 时，512322)()()(21616161817162121+-=-=--=+++++++=+++=n n S S S S S a a a a a a a a a T n n n nn所以 2232(1,2,,16)32512(17,)n n nn T n n n n *⎧-=⎪=⎨-+≥∈⎪⎩N 且例2 求1)2(3)1(21⋅++-⋅+-⋅+⋅=n n n n S n .解 设2)1()1(k n k k n k a k -+=-+=，本题即求数列}{k a 的前n 项和.)2)(1(61)12)(1(61)1()1(21)321()1)(321(2222++=++-+⋅+=++++-+++++=n n n n n n n n n n n n S n高考题1 (2014年高考浙江卷文科第19题(部分))求数列{}21n -的前n 项和n S . 答案：2n S n =.高考题2 (2014年高考四川卷理科第19题(部分))求数列{}24n -的前n 项和n S . 答案：23n S n n =-.高考题3 (2014年高考福建卷文科第17题)在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.(1)求n a ； (2)设3log nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .答案：(1)13n na -=；(2)22n n nS -=.高考题4 (2014年高考重庆卷文科第16题)已知{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和.(1)求n a 及n S ；(2)设{}n b 是首项为2的等比数列，公比q 满足244(1)0q a q S -++=，求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .答案：(1)221,n n a n S n =-=；(2)2122,(41)3n n n n b T -==-.2 倒序相加法事实上，等差数列的前n 项和n S 的公式推导方法就是倒序相加法. 例3 求正整数m 与()n m n <之间的分母为3的所有既约分数的和S . 解 显然，这些既约分数为：31,32,34,,34,32,31---+++n n n m m m有 )31()32()34()34()32()31(-+-+-++++++=n n n m m m S 也有 )31()32()34()34()32()31(++++++-+-+-=m m m n n n S所以 2222),(2)(2)(2m n S m n m n n m S -=-=-⋅+=例4 设4()42xx f x =+，求和12320012002200220022002f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.解 可先证得()(1)1f x f x +-=，由此结论用倒序相加法可求得答案为20012. 3 裂项相消法例5 若}{n a 是各项均不为0的等差数列，求证：1113221111++=+++n n n a a n a a a a a a . 证明 设等差数列}{n a 的公差为d ：若0d =，要证结论显然成立；若0≠d ，得)11(1111++-=n n n n a a d a a11111113221132211111)11()11()11(1111+++++=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-=+++n n n n n n n a a na a nd d a a d a a a a a a d a a a a a a 例8 证明222211112(123n n*++++<∈N 且2)n ≥. 证明 22221312111n++++11111223(1)11111111223111121n nn n n <++++⋅⋅-⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭高考题5 (2014年高考全国大纲卷理科第18题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 答案：(1)133n a n =-；(2)10(103)n nS n =-.高考题6 (2014年高考广东卷文科第19题)设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足()()*∈=+--+-N n n n S n n S n n,033222. (1)求1a 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有31)1(1)1(1)1(12211<++++++n n a a a a a a .答案：(1)12a =；(2)2n a n =；(3)当1n =时，可得欲证成立.当2n ≥时，111111(1)2(21)(21)(21)22121n n a a n n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪++-+-+⎝⎭，再用裂项相消法可得欲证.高考题7 (2014年高考山东卷理科第19题)已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列. (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)令n b =,4)1(11+--n n n a a n求数列}{n b 的前n 项和n T . 答案：(1)21n a n =-，2221221n n n n T n n n +⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+⎩为奇数为偶数.4 分组求和法例9 求11111111111224242n nS -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 解 设11111242n n a -=++++，得1122n n a -=-.所以本题即求数列1122n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和： 111111212222422n n n n S n n a n --⎛⎫=-++++=-=-+ ⎪⎝⎭例10 设数列}{n a 的前n 项和n S 满足221⎪⎭⎫⎝⎛+=n n a S ，又n n n S b )1(-=，求数列}{n b 的前n 项和n T .解 在221⎪⎭⎫⎝⎛+=n n a S 中，令1n =可求得11=a .还可得22114(1),4(1)n n n n S a S a ++=+=+相减，得20)2)((22411112211=-=--+-+-=++++++n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a所以}{n a 是首项为1公差为2的等差数列，得12-=n a n所以 222)1(,21n b n a S n n n n ⋅-==⎪⎭⎫⎝⎛+=当n 为偶数时，2)1()12(1173])1([)43()21(222222+=-++++=+--+++-++-=n n n n n T n 当n 为奇数时，2)1()(2)1(21+-=--=+=-n n n n n b T T n n n 用以上结论 总之，2)1()1(+⋅-=n n T n n .高考题8 (2014年高考北京卷文科第15题)已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n b 的前n 项和.答案：(1)1=3,=32n n n a n b n -+；(2)3(1)212n n n ++-. 高考题9 (2014年高考山东卷文科第19题)在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设(1)2n n n b a +=，记1234(1)nn n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .答案：(1)2n a n =，2(1)2(1)2n n n T n n n ⎧+-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数为偶数.高考题10 (2014年高考浙江卷理科第19题(部分))求数列12(1)n n n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n S .答案：1221n nn +--+. 5 错位相减法高考题11 (2014年高考江西卷理科第17题)已知首项都是1的两个数列{}{}∈≠n b b a n n n ,0(,N *)满足02111=+-+++n n n n n n b b b a b a .(1)令nnn b a c =，求数列{}n c 的通项公式； (2)若13-=n n b ，求数列{}n a 的前n 项和n S .解 (1)12-=n c n .(2)得13)12(-⋅-==n n n n n c b a .先写出n S 的表达式：13213)12(37353311-⋅-++⋅+⋅+⋅+⋅=n n n S ①把此式两边都乘以公比3，得n n n n n S 3)12(3)32(35333131321⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=- ②①-②，得n n n n S 3)12(32323232121321⋅--⋅++⋅+⋅+⋅+=-- ③ 13)12()3232323232(213210-⋅--⋅++⋅+⋅+⋅+⋅=--n n n n S ④由等比数列的前n 项和公式，得13)12(132-⋅---=-n n n n S23)22(13)12(132+⋅-=+⋅-++-=n n n n n n S ⑤13)1(+⋅-=n n n S因为此解答确实步骤多，且有三步容易出错：(1)等式③右边前n 项的符号都是“+”，但最后一项是“—”；(2)当等式③右边的前n 项不组成等比数列时，须把第一项作微调，变成等比数列(即等式④)，这增加了难度；(3)等式⑤中最后一步的变形(即合并)有难度.但这种方法(即错位相减法)又是基本方法且程序法，所以备受命题专家的青睐，在高考试卷中频频出现就不足为怪了.考生在复习备考中，应彻底弄清、完全掌握，争取拿到满分.这里笔者再给出一个小技巧——检验：算得了n S 的表达式后，一定要抽出万忙的时间检验一下21,S S 是否正确，若它们均正确，一般来说就可以确定算对了，否则就算错了，需要检查(重点是检查容易出错的三点)或重算.对于本题，已经算出了13)1(+⋅-=n n n S ，所以10,121==S S .而由通项公式可知1033,1111121=⋅+==⋅=S S S ，所以求出的答案正确.高考题12 (2014年高考课标全国卷I 文科第17题)已知{}n a 是递增的等差数列，42,a a 是方程2560x x -+=的根.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 答案：(1)121+=n a n . (2)用错位相减法可求得答案为1242++-n n . 高考题13 (2014年高考安徽卷文科第18题)数列{}n a 满足111,(1)(1),n n a na n a n n n +==+++∈N *.(1)证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(2)设3nn b =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 答案：(1)略.(2)由(1)可求得2n a n =，所以3n n b n =⋅，再用错位相减法可求得433)12(1+⋅-=+n n n S .高考题14 (2014年高考四川卷文科第19题)设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图象上(n ∈N *). (1)证明：数列{}n b 为等比数列；(2)若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列2{}n n a b 的前n 项和n S .答案：(1)略.(2)可求得,2n n n a n b ==，所以24n n n a b n =⋅，再用错位相减法可求得944)13(1+⋅-=+n n n S .高考题15 (2014年高考四川卷理科第19题)设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图象上(n ∈N *).(1)若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； (2)若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 答案：(1)2=3n S n n -.(2)可求得,2n n n a n b ==，所以2n n n a nb =，再用错位相减法可求得答案为n n n T 222+-=. 6 待定系数法例11 数列}3)12{(nn ⋅-的前n 项和=n S .解 设等差数列{}m a 的公差为d ，等比数列{}m b 的公比为(1)q q ≠，得111[(1)](1,2,,)m m m a b a m d b q m n -⋅=+-⋅=先用错位相减法求数列{}m m a b ⋅的前n 项和n S ：21111112111111211112111111{()(2)[(1)]}{()[(2)][(1)]}(1){[(1)]}{()[(1)]}[(1n n n n n n n n n n n S b a a d q a d q a n d q qS b a q a d q a n d q a n d q q S b a dq dq dq a n d q b d dq dq dq a n d q a d d dq b a n q ----=+++++++-=+++++-++--=++++-+-=++++-+-+---+-＝11)]n d q a d ⎧⎫-+-⎨⎬⎩⎭111111n n q d dS dn a d q a d b q q ⎛⎫-=+---++ ⎪--⎝⎭所以有下面的结论成立：若{},{}m m a b 分别是等差数列、等比数列(其公比1≠q )，且11,a b 均是与n 无关的常数，则数列{}m m a b ⋅的前n 项和b q b an S n n -+=)(，其中,a b 是与n 无关的常数.由此结论就可以用待定系数法快速求解本题： 可设()3n n S an b b =+⋅-(其中,a b 是常数). 可得123,32730S S ==+=，所以3()39(2)30a b b a b b +-=⎧⎨+-=⎩，解得33a b =⎧⎨=-⎩，所以33)1(1+⋅-=+n n n S .例12 求和12212+22+32++(1)2+2n n n n S n n --=⋅⋅⋅-⋅⋅.解 得012111111+2+3++22222n n n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.用待定系数法可求出该等式的右边为1242n n -+-，所以2224n n S n +=--. 七、求导法、积分法例13 (1)求证：)1(111132≠--=++++++x x x x x x x n n； (2)求证：)1()1(1]1)1[(321212≠-+--=++++-x x x n x nx x x n n ；(3)求数列{}(21)3nn -⋅的前n 项和nS(此即例6).解 (1)当0=x 时，显然成立.当0≠x 时，由等比数列的前n 项和公式知，欲证结论也成立.(2)视(1)的结论为两个函数相等，两边求导后即得欲证成立.(3)1(21)3=6(3)3nn n n n --⋅⋅-.由(2)的结论中令3=x ，得数列{}13n n -⋅的前n 项和为413)12(+⋅-n n ；又数列{}3n的前n 项和为2331-+n .所以数列{}(21)3nn -⋅的前n 项和为33)1(233413)12(611+⋅-=--+⋅-⋅=++n n n n n n S高考题16 (2008年高考江苏卷第23题)请先阅读：在等式∈-=x x x (1cos 22cos 2R )的两边对x求导，得)1cos 2()2(cos 2'-='x x .由求导法则，得)sin (cos 42)2sin (x x x -⋅=⋅-，化简后得等式x x x cos sin 22sin =.(1)利用上题的想法(或其他方法)，试由等式∈++++=+x x C x C x C C x nn n n n n n ()1(2210 R ，整数)2≥n 证明：∑=--=-+nk k k n n x kC x n 211]1)1[(.(2)对于整数3≥n ，求证： (i))1(1=-∑=nk knkkC ； (ii))1(12=-∑=nk k n kC k ；(iii)1121110+-=++=∑n C kn nk kn . 答案：(1)在已知等式两边对x 求导后移项可得欲证.(2) (i)在结论(1)中令1-=x 可证.(ii)由已知等式两边对x 求导后再求导，又令1-=x ，得0)1()1(22=--∑=-nk k k nCk k ，即0)()1(12=--∑=nk kn kC k k ，再由结论(i)得结论(ii)成立.(iii)在已知等式两边在[0,1]上对x 积分后可得欲证.。