统计学
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【例3-12】

设某种报刊的每版上错别字个数服从 λ =2的泊松分布。随机翻看一版，求：
（1）没有错别字的概率； （2）至多有5个错别字的概率。
解：设X＝每版上错别字个数，则所求概
率为：
P( X＝0)＝ 2
0
e
2
0.1353
0!
P( X 5)＝
x 0
5
2
E ( XY ) E ( X ) E (Y )
• 如果X,Y独立（不相关），则
Cov(X,Y)＝0 即 E(XY)＝E(X) E(Y) • 协方差在一定程度上反映了X、Y之间的相关性 •协方差受两个变量本身量纲的影响。
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相关系数
XY
Cov( X , Y )
X Y
x
e
2
0.9834
x!
利用EXCEL计算泊松分布的概率
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二项分布的泊松近似
【前提】当n很大而 p又很小时，二项分布可
用参数λ＝np 的泊松分布近似 【例3-13】一工厂有某种设备80台，配备了3 个维修工。假设每台设备的维修只需要一个维 修工，设备发生故障是相互独立的，且每台设 备发生故障的概率都是0.01。求设备发生故障 而不能及时维修的概率是多少？ 解：X~B(n=80，p=0.01)，由于np=0.8很小， 可以用λ＝0.8的泊松分布来近似计算其概率:
f ( x) ba ,
a xb
P(c≤X≤d)
X 落在子区间 [c，d ] 内的
概率与该子区间的长度成正 比，与具体位置无关
f(x)
a c
d
b
x
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2. 正态分布
( x ) 2
2 2
X～N (μ、σ 2 )，其概率密度为：
1

f ( x)

2
e
-∞< x <∞
P( X x) C M C N M CN
D( X )＝ ＝np(1 p)
2
数学期望和方差:
E ( X )＝＝np,
n
N n N 1
N很大而n相对很小时，趋于二项分布(p=M/N)
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五、常见的连续型概率分布
1. 均匀分布 – X只在一有限区间 [a，b] 上取值 – 且概率密度是一个常数 1 – 其概率密度为：
E(X+Y)＝E(X)＋E(Y)
若两个随机变量X、Y相互独立，则
E(XY)＝E(X) E(Y)
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2. 随机变量的方差
方差是它的各个可能取值偏离其均值的
离差平方的均值，记为D(X)或σ2 公式： 2 2 D( X )＝ ＝E ( X )
– 离散型随机变量的方差：
D( X )＝ ＝ ( x i－ ) p i
2 2
– 连续型随机变量的方差：
D( x )＝ ＝
2
i
[ x ] f ( x )dx
2
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方差和标准差（续）
标准差＝方差的平方根 方差和标准差都反映随机变量取值的分散
程度。
– 它们的值越大，说明离散程度越大，其概率 分布曲线越扁平。
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3.2 随机变量及其概率分布
一、随机变量的概念 二、随机变量的概率分布 三、随机变量的数字特征 四、常见的离散型概率分布 五、常见的连续型概率分布
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3.2 随机变量及其概率分布 一、随机变量的概念
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【例3-11】
某单位有4辆汽车，假设每辆车在一年中至
多只发生一次损失且损失的概率为0.1。试求 在一年内该单位：（1）没有汽车发生损失 的概率；（2）有1辆汽车发生损失的概率； （3）发生损失的汽车不超过2辆的概率。 解：每辆汽车是否发生损失相互独立的，且 损失的概率相同，因此，据题意，在4辆汽 车中发生损失的汽车数X ～B(4,0.1)。
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2. 泊松分布

x
X 服从泊松分布，记为X～P(λ）:
P( X x) e

x!
E(X)=D(X)=λ 当λ 很小时，泊松分布呈偏态，并随着λ增
大而趋于对称 当λ为整数时，λ 和（λ-1）是最可能值
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泊松分布（应用背景）
通常是作为稀有事件发生次数X的概率分布模
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二项分布图形
p＝0.5时，二项分布是以均值为中心对称 p≠0.5时，二项分布总是非对称的
– p<0.5时峰值在中心的左侧 – p>0.5时峰值在中心的右侧
随着n无限增大，二项分布趋近于正态分布
p=0.5 p=0.3 p=0.7
二项分布图示
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一、随机变量的概念
随机变量——表示随机试验结果的变量 – 取值是随机的，事先不能确定取哪一个值 – 一个取值对应随机试验的一个可能结果 – 用大写字母如X、Y、Z...来表示，具体取值 则用相应的小写字母如x、y、z…来表示 根据取值特点的不同，可分为： – 离散型随机变量——取值可以一一列举 – 连续型随机变量——取值不能一一列举
i
D( X )＝ ( x i－ ) pi＝(0 1.2) 0.1 (1 1.2) 0.6 ( 2 1.2) 0.3＝0.36
2 2 2 2 i
σ ＝0.6
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3.两个随机变量的协方差和相关系数
协方差的定义
Cov( X , Y ) E{[ X E ( X )][Y E (Y )]}
相关系数ρ具有如下的性质：
相关系数ρ是一个无量纲的值
0≤| ρ| ≤1 – 当ρ=0，两个变量不相关（不存在线
性相关）
– 当 | ρ|=1，两个变量完全线性相关
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3.2 随机变量及其概率分布 四、常见离散型随机变量 的概率分布
1. 二项分布 2. 泊松分布 3. 超几何分布
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3.2 随机变量及其概率分布 二、随机变量的概率分布
1. 离散型随机变量的概率分布 2. 连续型随机变量的概率密度 3. 分布函数
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1. 离散型随机变量的概率分布
xi与其概率 pi（i=1，2，3，…，n）之间 的对应关系。
X的概率分布——X的有限个可能取值为
只能计算随机变量落在一定区间内的概率
——由x轴以上、概率密度曲线下方面积来表示
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概率密度f (x) 的性质


（1） f (x)≥0。概率密度是非负函数。 （2）

f ( x)dx 1
所有区域上取值的概率总和为1。 • 随机变量X在一定区间（a，b）上的概率：
服从参数为n、p的二项分布，记为 X ～B(n ,
p)
二项分布的概率函数： x x n x P ( X x ) C n p (1 p) 二项分布的数学期望和方差：
E ( X )＝＝np, D( X )＝ ＝np(1 p)
2
n＝1时，二项分布就成了二点分布（0-1分布）
2
x
图3-5 例3-9的概率分布
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2. 连续型随机变量的概率密度
连续型随机变量的概率分布只能表示为：
– 数学函数——概率密度函数f (x)和分布函数F (x) – 图 形——概率密度曲线和分布函数曲线
概率密度函数f (x)的函数值不是概率。
连续型随机变量取某个特定值的概率等于0
概率分布具有如下两个基本性质：
（1） pi≥0，i=1,2,…,n；
（2）
p
i
i
1
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离散型概率分布的表示：
概率函数：P(X= xi)= pi
分布列：
X = xi
x1 p1
x2 p2
… …
xn pn
P(X =xi)=pi
分布图
P( x ) 0.6 0.3 0 0 1
f(x)
P ( a X b)
a
b
f ( x)dx
a
b
x
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3. 分布函数
适用于两类随机变量概率分布的描述
分布函数的定义： F(x)＝P{X≤x}
– 离散型随机变量的分布函数
F(x)＝
pi
xi x
–连续型随机变量的分布函数
F ( x )＝
x
f(x) f(x) σ较小
σ较大

2x
x
μ相同而σ不同的正态曲线
σ相同而μ不同的正态曲线
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标准正态分布
μ＝0、σ＝1的正态分布，记为N (0, 1) 其概率密度φ(x)，分布函数 Ф(x) X～N (μ、σ 2 ), 则 ：
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利用Excel计算二项分布概率
进入Excel表格界面，点击任一空白单元格（作
为输出单元格） 点击表格界面上的 fx 命令 在 “选择类别”中点击“统计”，在“选择函 数”中点击“BINOMDIST”