等号两边无法求导的导数恒成立求参数范围几种处理方法 常见导数恒成立求参数范围问题有以下常见处理方法： 1、求导之后，将参数分离出来，构造新函数，计算例：已知函数1ln ()xf x x+=． （Ⅰ）若函数在区间1(,)2a a +（其中0a >）上存在极值，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）如果当1x ≥时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围；解：（Ⅰ）因为1ln ()x f x x +=，0x > ，则ln ()xf x x'=-， … 1分 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<． 所以()f x 在（0，1）上单调递增；在(1,)+∞上单调递减， 所以函数()f x 在1x =处取得极大值．… 2分因为函数()f x 在区间1(,)2a a +（其中0a >）上存在极值， 所以1,112a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩ 解得1 1.2a << … 4分（Ⅱ）不等式()1k f x x ≥+，即为(1)(1ln ),x x k x ++≥ 记(1)(1ln )(),x x g x x++= 所以22[(1)(1ln )](1)(1ln )ln (),x x x x x x xg x x x '++-++-'==… 6分令()ln ,h x x x =-则1()1h x x'=-，1,()0.x h x '≥∴≥()h x ∴在[1,)+∞上单调递增，min [()](1)10h x h ∴==>，从而()0g x '>故()g x 在[1,)+∞上也单调递增，min [()](1)2g x g ∴==，所以2k ≤ …8分2、直接求导后对参数展开讨论，然后求出含参最值，从而确定参数范围 例题：设，其中．（1）若有极值，求的取值范围； （2）若当，恒成立，求的取值范围．解：（1）由题意可知：，且有极值，则有两个不同的实数根，故，解得：，即（4分）（2）由于，恒成立，则，即（6分）由于，则① 当时，在处取得极大值、在处取得极小值， 则当时，，解得：； （8分）② 当时，，即在上单调递增，且，则恒成立； （10分）③ 当时，在处取得极大值、在处取得极小值， 则当时，，解得：综上所述，的取值范围是：但是对于导数部分的难题，上述方法不能用时，我们得另辟蹊径：一、分开求左右最值：1、已知函数x x x f ln )(=。

（1）求函数)(x f 在[])0(2,>+t t t 上的最小值；（2）求证：对一切()+∞∈,0x ，都有exe x x 21ln ->解（1）1ln )(+='x x f ,令0)(='x f ，得ex 1=，当)1,0(ex ∈时，)(,0)(x f x f <'单减；当),1(+∞∈ex 时，)(,0)(x f x f >'单增。

（2分）∴>0t ① 当e t 10<<时，)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡e t 1,上单减，在⎥⎦⎤⎝⎛+2,1t e 上单增，所以e ef x f 1)1()(min -==；（4分） ② 当et 1≥时，)(x f 在[]2,+t t 上单增，所以t t t f x f ln )()(min ==。

（6分）（2）要证原命题成立，需证：)0(2)(>->x e ex x f x成立。

设e e x x g x 2)(-=，则xe xx g -='1)(，令0)(='x g 得1=x ，当)1,0(∈x 时，)(,0)(x g x g >'单增；当),1(+∞∈x 时，)(,0)(x g x g <'单减，所以当1=x 时，ex g 1)(max -=。

（9分）又由（1）得)(x f 在)1,0(e 上单减，在),1(+∞e 上单增，所以当e x 1=时，ex f 1)(min -=，又)()(),1(10)1(x g x f g ef >∴=->= ，（11分）所以对一切),0(+∞∈x ，都有ex ex x21ln ->成立。

（12分） 2、设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是 ．设，令，，发现函数在上都单调递增，在上都单调递减，于是函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，所以函数有零点需满足，即.二、适当处理后能够简化运算：3(2014)()=xlnx g(x)=k(x-1)()=g(x),k f x f x 、年一测已知函数，（1）若>求的范围.⑴解:注意到函数()f x 的定义域为(0,)+∞, 所以()()f x g x ≥恒成立()()f xg x x x⇔≥恒成立, 设(1)()ln (0)k x h x x x x-=->,则221()k x kh x x x x-'=-=, ------------2分 当0k ≤时,()0h x '>对0x >恒成立,所以()h x 是(0,)+∞上的增函数, 注意到(1)0h =,所以01x <<时,()0h x <不合题意.-------4分 当0k >时,若0x k <<,()0h x '<;若x k >,()0h x '>. 所以()h x 是(0,)k 上的减函数,是(,)k +∞上的增函数,故只需min ()()ln 10h x h k k k ==-+≥. --------6分 令()ln 1(0)u x x x x =-+>, 11()1xu x x x-'=-=, 当01x <<时,()0u x '>; 当1x >时,()0u x '<. 所以()u x 是(0,1)上的增函数,是(1,)+∞上的减函数. 故()(1)0u x u ≤=当且仅当1x =时等号成立. 所以当且仅当1k =时,()0h x ≥成立,即1k =为所求.三、放缩后，求参数范围4、设函数2()1xf x e x ax =---。

（1） 若0a =，求()f x 的单调区间； （2） 若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围 （1）0a =时，()1xf x e x =--，'()1xf x e =-.当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少，在(0,)+∞单调增加（II ）'()12xf x e ax =--由（I ）知1xe x ≥+，当且仅当0x =时等号成立.故'()2(12)f x x ax a x ≥-=-，从而当120a -≥，即12a ≤时，'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =， 于是当0x ≥时，()0f x ≥. 由1(0)xe x x >+≠可得1(0)xe x x ->-≠.从而当12a >时，'()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--，故当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <.综合得a 的取值范围为1(,]2-∞.5、（2014年二测）()(1)()(2)01()(),k x f x xe f x kx f x f x-=<<>已知求的和极值，求取值范解（Ⅰ）由题知()(1)()R x f x x e x -'=-∈，当()0f x '>时，1x <，当()0f x '<时，1x >，----3分所以函数()f x 的增区间为(,1)-∞，减区间为(1,)+∞，其极大值为1(1)f e=，无极小值．-----------5分（Ⅱ）由题知01x <<， 当0k ≤时，因为01kx x≤<<，由⑴知函数在(,1)-∞单调递增，所以()()kf x f x>，符合题意；-------7分当01k <<时，取x k =，可得()(1)f k f >，这与函数在(,1)-∞单调递增不符；9分当1k ≥时，因为11k x x≥>，由⑴知函数()f x 在(1,)+∞单调递减， 所以1()()k f f x x ≤，即只需证1()()f x f x>，即证11xx xe e x -->，即1ln ln x x x x ->--，12ln 0x x x -+>，令1()2ln (01)h x x x x x=-+<<， 则222221(1)()0x x x h x x x -+--'==-<对01x <<恒成立， 所以()h x 为(0,1)上的减函数，所以()(1)0h x h >=，所以()()kf x f x>，符合题意．-------11分综上：(,0][1,)k ∈-∞+∞为所求．------------12分6、（2013年辽宁）已知函数()()()[]321,12cos .0,12e xx f x x g x ax x x x -=+=+++∈当时，(I)求证:()11-;1x f x x≤≤+ (II)若()()f x g x ≥恒成立,求实数a 取值范 第一问略：。