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2001年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷)

2001年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷(选择题 60分)注意事项:1. 答第I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写 在答题卡上。

2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上。

3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式:三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin正棱台、圆台的侧面积公式()l c c S +'=21台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长,l 表示斜高或母线长台体的体积公式()h S S S S V +'+'=31台体 其中S '、S 分别表示上、下底面积,h 表示高一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若sin cos 0θθ>,则θ在A .第一、二象限B .第一、三象限C .第一、四象限D .第二、四象限2.过点(1,1)A -,(1,1)B -且圆心在直线20x y +-=上的圆的标准方程是A .22(3)(1)4x y -++= B .22(3)(1)4x y ++-=C .22(1)(1)4x y -+-=D .22(1)(1)4x y +++=3.设{}n a 是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是A .1B .2C .4D .64.若定义在区间(1,0)-内的函数2()log (1)a f x x =+满足()0f x >,则a 的取值范围是A .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B .10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C .1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D .()0,+∞5.极坐标方程2sin()4πρθ=+的图形是6.函数cos 1(0)y x x π=+-≤≤的反函数是A .arccos(1)(02)y x x =--≤≤B .arccos(1)(02)y x x π=--≤≤C .arccos(1)(02)y x x =-≤≤D .arccos(1)(02)y x x π=+-≤≤7.若椭圆经过原点,且焦点为1(1,0)F ,2(3,0)F ,则其离心率为A .34B .23C .12D .148.若04παβ<<<,sin cos a αβ+=,sin cos b ββ+=,则A .a b <B .a b >C .1ab <D .2ab >9.在正三棱柱111ABC A B C -中,若1AB =,则AB 与1C B 所成的角的大小为A .60°B .90°C .105°D .75°10.设()f x ,()g x 都是单调函数,有如下四个命题: ①若()f x 单调递增,()g x 单调递增,则()()f x g x 单调递增; ②若()f x 单调递增,()g x 单调递减,则()()f x g x 单调递增; ③若()f x 单调递减,()g x 单调递增,则()()f x g x 单调递减; ④若()f x 单调递减,()g x 单调递减,则()()f x g x 单调递减. 其中,正确的命题是A .①③B .①④C .②③D .②④11.一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法:①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为1P ,2P ,3P .若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则A .321P P P >>B .321P P P >=C .321P P P =>D .321P P P ==12.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联,连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点A 向结点B 传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为 A .26B .24C .20D .19第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项:用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上.二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共20分,把答案填在题中横线上.13.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,则这个圆锥的侧面积是 .14.双曲线221916x y -=的两个焦点为1F ,2F ,点P 在双曲线上.若12PF PF ⊥,则P 点到x 的距离为 .15.设数列{}n a 是公比为q 的等比数列,n S 是它的前n 项和.若{}n S 是等差数列,则q = .16.圆周上有n 个等分点(1)n >,以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 .三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)如图,在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD -中,90ABC ∠=,SA ⊥面ABCD ,1SA AB BC ===,12AD =. (1)求四棱锥S ABCD -的体积;(2)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值.SADCB18.(本小题满分12分)已知复数31(1)z i i =-. (1)求1arg z 及1||z ;(2)当复数z 满足||1z =,求1||z z -的最大值.19.(本小题满分12分)设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,经过F 的直线交抛物线于A ,B 两点,点C 在抛物线的准线上,且BC ∥x 轴.证明:直线AC 经过原点O .20.(本小题满分12分)已知i ,m ,n 是正整数,且1i m n ≤≤<. (1)证明:i i i im n n P m P <; (2)证明:(1)(1)nmm n +>+.21.(本小题满分12分)从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少15.本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后旅游业收入每年会比上年增加14. (1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为n a 万元,旅游业总收入为n b 万元.写出n a ,n b 的表达式;(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?22.(本小题满分12分)设()f x 是定义在R 上的偶函数,其图像关于直线1x =对称,对任意121,0,2x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,都有1212()()()f x x f x f x +=.(1)求1()2f 及1()4f ; (2)证明()f x 是周期函数; (3)记1(2)2n a f n n=+,求lim(ln )n n a →∞.参考解答及评分标准说明:一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生物解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定部分的给分,但不得超过该部分正确解答得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四. 只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分60分.(1)B (2)C (3)B (4)A (5)C (6)A (7)C (8)A (9)B (10)C (11)D (12)D 二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.(13)2π (14)516(15)1 (16)2n (n -1) 三.解答题:(17)本小题考查线面关系和棱锥体积计算,以及空间想象能力和逻辑推理能力.满分12分.解:(Ⅰ)直角梯形ABCD 的面积是M 底面()43125.0121=⨯+=⋅+=AB AD BC , ……2分 ∴ 四棱锥S —ABCD 的体积是⨯⨯=SA V 31M 底面43131⨯⨯=41=. ……4分(Ⅱ)延长BA 、CD 相交于点E ,连结SE 则SE 是所求二面角的棱.……6分∵ AD ∥BC ,BC = 2AD , ∴ EA = AB = SA ,∴ SE ⊥SB ,∵ SA ⊥面ABCD ,得SEB ⊥面EBC ,EB 是交线,又BC ⊥EB ,∴ BC ⊥面SEB , 故SB 是CS 在面SEB 上的射影,∴ CS ⊥SE ,所以∠BSC 是所求二面角的平面角. ……10分 ∵ 22AB SA SB +=2=,BC =1,BC ⊥SB ,∴ tan ∠BSC =22=SB BC . 即所求二面角的正切值为22. ……12分 (18)本小题考查复数基本性质和基本运算,以及分析问题和解决问题的能力.满分12分.解:(Ⅰ)z 1 = i (1-i ) 3 = 2-2i , 将z 1化为三角形式,得⎪⎭⎫⎝⎛+=47sin47cos 221ππi z , ∴ 47arg 1π=z ,221=z . ……6分 (Ⅱ)设z = cos α+i sin α,则z -z 1 = ( cos α-2)+(sin α+2) i , ()()22212sin 2cos ++-=-ααz zsin 249+=(4πα-), ……9分当sin(4πα-) = 1时,21z z -取得最大值249+.从而得到1z z -的最大值为122+. ……12分 (19)本小题考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能力.满分12分.证明一:因为抛物线y 2 =2px (p >0)的焦点为F (2p,0),所以经过点F 的直线的方程可设为2pmy x +=; ……4分代入抛物线方程得y 2 -2pmy -p 2 = 0,若记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1,y 2是该方程的两个根,所以y 1y 2 = -p 2. ……8分因为BC ∥x 轴,且点c 在准线x = -2p 上,所以点c 的坐标为(-2p,y 2),故直线CO 的斜率为111222x y y p p y k ==-=. 即k 也是直线OA 的斜率,所以直线AC 经过原点O . ……12分证明二:如图,记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ,过A 作AD ⊥l ,D 是垂足.则AD ∥FE ∥BC . ……2分连结AC ,与EF 相交于点N ,则ABBF AC CN AD EN ==,,ABAF BCNF = ……6分根据抛物线的几何性质,AD AF =,BC BF =, ……8分∴ NF ABBC AF ABBF AD EN =⋅=⋅=,即点N 是EF 的中点,与抛物线的顶点O 重合,所以直线AC 经过原点O .…12分 (20)本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力.满分12分.(Ⅰ)证明: 对于1<i ≤m 有 im p = m ·…·(m -i +1),⋅-⋅=m m m m m p i im 1…m i m 1+-⋅,同理 ⋅-⋅=n n n n np i i n 1…n i n 1+-⋅, ……4分 由于 m <n ,对整数k = 1,2…,i -1,有mkm n k n ->-, 所以 i im i i n mp n p >,即im i i n i p n p m >. ……6分(Ⅱ)证明由二项式定理有()inni i nC m m ∑==+01, ()i m mi i mC n n ∑==+01, ……8分 由 (Ⅰ)知i n i p m >im i p n (1<i ≤m <n =,而 !i p C i m im=,!i p C in in =, ……10分所以, im i i n i C n C m >(1<i ≤m <n =. 因此,∑∑==>mi imi mi i niC n Cm 22. 又 10==m n C n C m ,mn nC mC m n ==11,()n i m C m in i≤<>0.∴∑∑==>mi imi ni iniC n Cm 0. 即 (1+m )n >(1+n )m . ……12分 (21)本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识;考查综合运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.解:(Ⅰ)第1年投入为800万元,第2年投入为800×(1-51)万元,……,第n 年投入为800×(1-51)n -1万元. 所以,n 年内的总投入为a n = 800+800×(1-51)+…+800×(1-51)n -1∑=--⨯=nk k 11)511(800= 4000×[1-(54)n]; ……3分 第1年旅游业收入为400万元,第2年旅游业收入为400×(1+41)万元,……,第n 年旅游业收入为400×(1+41)n -1万元.所以,n 年内的旅游业总收入为b n = 400+400×(1+41)+…+400×(1+41)n -1∑=-⨯=nk k 11)45(400= 1600×[ (54)n-1]. ……6分 (Ⅱ)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此b n -a n >0,即 1600×[(45)n -1]-4000×[1-(54)n ]>0. 化简得 5×(54)n +2×(54)n -7>0, ……9分设=x (54)n ,代入上式得5x 2-7x +2>0,解此不等式,得52<x ,x >1(舍去). 即 (54)n <52,由此得 n ≥5.答:至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入. ……12分 (22)本小题主要考查函数的概念、图像,函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识;考查运算能力和逻辑思维能力.满分14分.(Ⅰ)解:因为对x 1,x 2∈[0,21],都有f (x 1+x 2) = f (x 1) · f (x 2),所以=)(x f f (2x ) · f (2x )≥0,x ∈[0,1].∵ =)1(f f (2121+) = f (21) ·f (21) = [f (21)]2,f (21)=f (4141+) = f (41) · f (41) = [f (41)]2. ……3分0)1(>=a f ,∴ f (21)21a =,f (41)41a =. ……6分(Ⅱ)证明:依题设y = f (x )关于直线x = 1对称, 故 f (x ) = f (1+1-x ),即f (x ) = f (2-x ),x ∈R . ……8分 又由f (x )是偶函数知f (-x ) = f (x ) ,x ∈R , ∴ f (-x ) = f (2-x ) ,x ∈R , 将上式中-x 以x 代换,得f (x ) = f (x +2),x ∈R .这表明f (x )是R 上的周期函数,且2是它的一个周期. ……10分 (Ⅲ)解:由(Ⅰ)知f (x )≥0,x ∈[0,1].∵ f (21)= f (n ·n 21) = f (n 21+(n -1)·n 21) = f (n 21) · f ((n -1)·n 21)= f (n 21) · f (n 21) · … ·f (n 21)= [ f (n21)]n,f (21) = 21a ,∴ f (n21) = n a 21.∵ f (x )的一个周期是2,∴ f (2n +n 21) = f (n21),因此a n = n a 21, ……12分∴ ()∞→∞→=n n n a lim ln lim (a nln 21) = 0. ……14分。

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